Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

First partial exam

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 13/04/2019 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri l'insieme di numeri A=f1;2;3;4;5;6;7;8;9;10g. Qual e la probabilita che, pescando a caso un sottoinsieme di 5 numeri diA, ci sia almeno un numero pari?2Si supponga di svolgere 5 esercizi in ogni prova scritta, e per ogni esercizio di vedersi assegnati o 0 o 6 punti, rispettivamente con probabilita 1pep= 1=2, indipendentemente da tutti gli altri esercizi. In ordine cronologico ci sono 2 prove in itinere e 1 appello completo. Supponendo di partecipare a tutti gli appelli se necessario, e che l'accesso alla seconda prova in itinere e condizionata ad aver ottenuto un punteggio di almeno 18 nella prima prova in itinere, calcolare la probabilita di non aver sostenuto l'appello sapendo di aver superato l'esame. Il punteggio nale e la media del le prove in itinere o, in alternativa, il punteggio del la prova di appel lo.3Sia X U[0;2] eY= minf1; X2 g. La v.a.Ye discreta, continua o mista? Trovare la legge cumulata di probabilita diYe rappresentarla gra camente.4Considerare la regione Rin gura delimitata dal triangolo. Due v.a.XeYhanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneRe zero altrimenti. (a)Determinare l'espressione dellaf X;Y, della f X, e della f XjY. (b)Le variabiliXeYsono indipendenti? Perche? (c)CalcolareE[X] eE[XjY=y] per ogniy2Rx0 211y R 5Sia X N(0;1) eY N(2;4), con[X; Y] = 0:5. Trovare (a)il valore attesoE[X+Y] (b)la varianzaVar[X+Y] (c)la probabilita Pr(X+Y >1)6Si consideri un dado ben bilanciato a 6 facce. Si lancia il dado no ad osservare la faccia 1 per la prima volta. Qual e il valore atteso della somma dei risultati dei lanci? Soluzioni Problema 1 Lo spazio di probabilita e uniforme. Conviene calcolare la probabilita dell'evento complementareBc =fpescare nessun numero parig. Bisogna estrarre, senza reinserimento, 5 numeri su 10. Siccome tra i 10 numeri solamente 5 sono dispari, l'eventoBc rimane soddisfatto solamente in un modo. Il numero di cinquine possibili sono 10 5
, quindi la probabilita e: Pr(B) = 1Pr(Bc ) = 11 10 5
0;996: Problema 2 SiaA=fAppello sostenutog,Xla v.a. che conta il punteggio totale, eX 1e X 2le v.a. che contano i punteggi delle due prove in itinere. Dal testo del problema si sa cheX 1? X 2e che X 1= 6Bin(n= 5; p= 1=2) e X2 X 1. La probabilita richiesta e Pr(Ac jX18) =Pr( X18jAc ) Pr(Ac )Pr( X18): (1) Siccome non aver sostenuto l'appello signi ca che la media delle due prove in itinere e18, si ha che Pr(X 18jAc ) = 1. Inoltre: Pr(Ac ) = Pr(X 1+ X 2 36; X 1 18) =5 X i=3Pr( X 1= 6 i)5 X j=6iPr( X 2= 6 j) (2) =12 105 X i=3 5 i 5 X j=6i 5 j =12 10(10(10 + 5 + 1) + 5(10 + 10 + 5 + 1) + (5 + 10 + 10 + 5 + 1)) =3211024 (3) dove abbiamo usato le leggi di probabilita binomiali con probabilita di successo 1=2. In ne, grazie alle probabilita totali si calcola Pr(X18) = Pr(X18jAc ) Pr(Ac ) + Pr(X18jA) Pr(A) = 1
3211024 + 12
1024 3211024  0:6567 dove abbiamo sfruttato il fatto chefXjAg Bin(5;1=2). Il risultato nale e: Pr(Ac jX18)0:4773:(4) Problema 3 Da come e de nitaYsi vede subito che 0< Y1. Tutti i valori diXcompresi tra 1 e 2 vengono mappati in Y= 1 formando cos una massa di probabilita, quindi la v.a.Ye mista e Pr(Y= 1) = Pr(1X2) = 1=2. Per i valori 0< y