Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

First partial exam

Informazione e stima { 21/04/2021 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. Nominare il le da caricare con il proprio codice persona. Indicare l'esercizio da escludere dal punteggio nale.1Tom e Jerry vengono invitati al matrimonio di Romeo e Giulietta. Al ricevimento, oltre agli sposi, ci saranno 70 invitati, tra cui Tom e Jerry. Gli invitati vengono disposti casualmente su 10 tavoli circolari, con 7 posti ciascuno. Qual e la probabilita che Tom e Jerry siedano vicini?2Si consideri un quiz con 10 domande con 4 opzioni ciascuna, di cui solo una corretta. Ad ogni risposta corretta si riceve 1 punto, mentre ad ogni risposta errata si perde 1=3 di punto. Quali sono valore atteso e varianza del punteggio totale se si risponde a caso?3Si consideri la funzione g(x) =x=2 perx 0. SiaX U[1;1]. Determinare la legge di probabilita diY=g(X). Consiglio: control lare che la legge diYintegri a1.4Sia Y=X+Z+ 1, doveX U f1;1g(v.a. discreta),Z N(0;1), eX?Z. Sapendo cheY= 1:5, calcolare la probabilita diX=1.5Si consideri il quadrilatero di vertici (0 ;0), (1;1), (1;2), e (0;1). Le v.a.XeYhanno una legge di probabilita congiunta uniforme dentro il quadrilatero, e zero altrove. CalcolareCov[X; Y].6Siano X n Exp(1=n) eY n Exp(n), pern2N. Per ogni sequenzafX ng ne fY ng n, determinare se c'e convergenza in probabilita e, se s, a quale valore. Soluzioni Problema 1 Strada breve.Anche l'evento si veri chi Tom si puo sedere dove vuole, mentre Jerry puo scegliere 2 posti (quelli adiacenti a Tom) su 69 rimanenti. Dunque la probabilita cercata e 2=69. Strada lunga. Siano V=fTom e Jerry si siedono vicinig(1) T=fTom e Jerry si siedono allo stesso tavolog(2) Ti= fTom e Jerry siedono entrambi al tavoloig; i= 1; : : : ;10:(3) Notando cheT=S 10 i=1T i, e che gli eventi T isono tutti disgiunti, possiamo scrivere Pr(T) =10 X i=1Pr( T i) (4) = 10 Pr(T 1) (5) = 10 2 2
68 5
70 7
(6) dove il passaggio (5) e dovuto al fatto che ci troviamo in uno spazio di probabilita uniforme, mentre l'ultimo passaggio deriva dall'interpretazione del problema con una partizione di 70 invitati in un insieme di 2 (Tom e Jerry) e 68 (altri invitati), da cui si deve estrarre, senza reinserimento, un gruppo di 7 invitati (di cui 2 devono essere Tom e Jerry). In ne abbiamo che: Pr(V) = Pr(VjT) Pr(T) + Pr(VjTc ) Pr(Tc ) (7) = Pr(VjT) Pr(T) (8) =26
10 2 2
68 5
70 7
0:029;(9) dove possiamo dire che Pr(VjTc ) = 0 e che Pr(VjT) = 2=6. Infatti, se sappiamo che Tom e Jerry si siedono allo stesso tavolo, allora se ssiamo la posizione di uno, i casi favorevoli sono 2 (posti adiacenti) su 6 (posti rimanenti totali in un tavolo da 7). Problema 2 SiaX ila v.a. Bernoulliana che indica se la risposta i-esima e corretta o meno, dunqueX i Bern(1=4). Il punteggio assegnato alla domandai-esima saraY i=43 X i13 . Il punteggio totale sara Y=P 10 i=1Y i, dunque E[Y] =E" 10 X i=1Y i# = 10E[Y 1] = 10 E 43 X 113  = 10 43
14 13  = 0;(10) Var[Y] =Var" 10 X i=1Y i# = 10Var[Y 1] = 10 Var 43 X 113  = 10
169 Var [X 1] = 10
169
14
34 = 103 : (11) Problema 3 La funzioneg(x) e monotona crescente, dunque invertibile, ma conviene comunque considerare i due intervalli x 0 disgiuntamente. In particolare, ddx g (x) =g0 (x) = 2x x >0 12 x < 0g 1 (y) = py y > 0 2y y 0 fX(2 y)1 =2y < 0(13) =8 < :14 py 0 < y " ) (38) = limn!1e n" (39) = 0;8" >0;(40) quindi rimane dimostrata la convergenza in probabilita a zero. Nei calcoli abbiamo usato cheF Xn( x) = 1e xn perx >0, eF Yn( y) = 1e ny pery >0. 4