Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 27/07/2018 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri il lancio di due dadi bilanciati a 6 facce e gli eventi A=fSomma7g,B=fSomma parig, e C=fSomma multiplo di 5g. (a)Calcolare le probabilita degli eventi (b)Gli eventiAeBsono indipendenti? (c)Sapendo che l'eventoCsi e veri cato, gli eventiAeBsono indipendenti?2Si consideri l'oggetto in gura: la forma e un triangolo isoscele rettangolo di lato `ed e composto da un materiale di densita uniforme. L'oggetto viene appoggiato su un cuneo posto ad una distanzaUdal vertice sinistro, doveUe una v.a. uniformemente distribuita tra 0 e`. Calcolare la probabilita che l'oggetto triangolare, soggetto alla sola forza di gravita, cada alla sinistra del cuneo. Saranno contate valide solo le giusti cazioni ottenute tramite il calcolo del le proba- bilita.` ` U 3Un amico vi promette di regalarvi 10 edopo che voi abbiate giocato un totale di 100ealla Roulette. Dopo aver ragionato un po', vi convincete che la miglior strategia sia di giocare sempre la puntata minima (1e) sul nero. Qual e la probabilita che alla ne del gioco abbiate guadagnato qualcosa? Si usi l'approssimazione Gaussiana per trovare il valore numerico. Per ogni euro puntato si vincono2ese esce il nero e si perde la puntata altrimenti. Si assuma una Roulette con numeri da1a36e con un unico0, che e sempre perdente.4Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in gura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 0. Si consideri la successione aleatoria degli stati visitati: (a)qual e la probabilita che la sequenza inizi con una serie di cinque'1' ? (incluso lo stato '1' al tempo 0) (b)Trovare la distribuzione asintotica della catena. (c)Qual e la probabilita asintotica di osservare una serie di cinque '1' ?12 0 :30 :75I bus arrivano alla fermata (e partono istantaneamente) secondo un processo di Poisson con intensita di 10 bus all'ora. I bus sono pieni e non accettano altri passeggeri, indipendentemente dagli altri bus, con probabilita 0:3. Un signore arriva alla fermata del bus in un istante di tempo casuale. Qual e il tempo medio che il signore deve attendere prima di poter prendere il primo bus non pieno?6Partendo da un generatore di campioni indipendenti U idistribuiti come U U[0;1], descrivere un al- goritmo che genera la sequenza di stati campionati secondo la legge Markoviana illustrata nella gura dell'esercizio 4. Si inizializzi il processo partendo dallo stato '1'. Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 27/07/2018 { Compito II Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Sia Xun processo Gaussiano con media nulla e funzione di autocorrelazioneR X X( ). Determinare se il processoYconY(t) =X(t)X(t1) e stazionario in senso lato.2Si vuole trasmettere un segnale Xcon legge GaussianaN(0;4). Al ricevitore sono presenti due antenne la cui uscita e modellizzata comeY 1= X+N 1e Y 2= X+N 2, dove N 1 N (0;1) eN 2 N (0;2) e N1; N 2; X sono indipendenti. Trovare lo stimatore lineare LMS diXbasato sulle osservazioniY 1e Y 2. Suggerimento: lo stimatore sara del tipoaY 1+ bY 2dove aebsono costanti da calcolare opportunamente.3Un amico vi consegna 10 eper giocare alla Roulette, ma vi vengono regalati solo se il totale delle puntate e di almeno 100eo se perdete tutto. Dopo aver ragionato un po', vi convincete che la miglior strategia sia di puntare 100 volte sul nero con la puntata minima (1e), ed eventualmente fermarvi se perdete tutto il capitale. (a)Si usi una catena di Markov per rappresentare l'evoluzione del capitale nel tempo. Individuare glistati della catena, le probabilita di transizione, e lo stato iniziale. (b)Classi care gli stati in transienti e ricorrenti (c)Individuare l'evento che serve per calcolare la probabilita di terminare le 100 puntate con un guadagno. Per ogni euro puntato si vincono2ese esce il nero e si perde la puntata altrimenti. Si assuma una Roulette con numeri da1a36e con un unico0, che e sempre perdente.4Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in gura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 0. Si consideri la successione aleatoria degli stati visitati: (a)qual e la probabilita che la sequenza inizi con una serie di cinque'1' ? (incluso lo stato '1' al tempo 0) (b)Trovare la distribuzione asintotica della catena. (c)Qual e la probabilita asintotica di osservare una serie di cinque '1' ?12 0 :30 :75I bus arrivano alla fermata (e partono istantaneamente) secondo un processo di Poisson con intensita di 10 bus all'ora. I bus sono pieni e non accettano altri passeggeri, indipendentemente dagli altri bus, con probabilita 0:3. Un signore arriva alla fermata del bus in un istante di tempo casuale. Qual e il tempo medio che il signore deve attendere prima di poter prendere il primo bus non pieno?6Partendo da un generatore di campioni indipendenti U idistribuiti come U U[0;1], descrivere un al- goritmo che genera la sequenza di stati campionati secondo la legge Markoviana illustrata nella gura dell'esercizio 4. Si inizializzi il processo partendo dallo stato '1'. Soluzioni Problema 1 Tutti gli esiti della somma del lancio di due dadi a 6 facce possono essere organizzati in una tabella a doppia entrata 66. Ogni elemento della tabella ha probabilita 1=36 di veri carsi. 1.Sull'anti-diagonale principale di questa tabella la somma sara sempre 7 e tutti gli elementi che stannosopra questa diagonale saranno minori di 7. Dunque si ha che Pr(A) =18+336 =712 . Andando sempre a contare i casi favorevoli sulla tabella si ottengono Pr(B) =1836 = 0 :5 e Pr(C) =736 . 2.La probabilita congiunta e Pr(A; B) =936 =14 , mentre il prodotto delle probabilita degli eventi singoli e Pr(A) Pr(B) =724 6 =14 . Dunque gli eventi AeBnon sono indipendenti. 3.Condizioniamo tutto lo spazio di probabilita all'eventoC. La probabilita congiunta e Pr(A; BjC) = 0 perche l'unica somma7 e multiplo di 5 e proprio 5, che non soddisfa l'eventoB. Le probabilita condizionate sono Pr(AjC) =47 , e Pr( BjC) =37 . Anche in questo caso si vede che gli eventi AeBnon sono indipendenti condizionatamente all'eventoC. Problema 2 L'oggetto triangolare cadra alla sinistra del cuneo se il suo baricentro, di coordinateB= (b x; b y), si trova alla sinistra del cuneo. Formalmente, l'evento si scrive comefb x Ug. Il baricentro si puo calcolare tramite il formalismo del calcolo delle probabilita, ricordandosi l'interpretazione del valore atteso come baricentro della distribuzione di probabilita. Siccome l'oggetto ha densita uniforme, allora anche la densita di probabilita congiuntaf X;Ysara uniforme dentro la regione triangolare. Questo permette di calcolare: bx= E[X] =E[E[XjY]] =E[` +Y2 ] = `2 + E [Y]2 = `2 + ` E[X]2 dove abbiamo usato, in ordine, (i) la legge delle aspettazioni iterate, (ii) il fatto chef XjYe uniforme nell'intervallo ( y; `), dando cosE[XjY=y] =y +`2 , (iii) per ragioni di simmetria della guraE[X] =`E[Y].x0y `f X;YRisolvendo l'equazione di primo grado nell'incognita E[X] si ottieneE[X] =23 ` . Questo e un risultato noto in geometria, ma solo un'argomentazione che coinvolge il calcolo delle probabilita da punteggio valido per l'esame.Si conclude che Pr(b x U) = Pr(23 ` U) =13 . Problema 3 La strategia dice di fare 100 giocate sul nero. Tutte le giocate rappresentano prove indipendenti e identicheX i, i= 1; : : : ;100, con probabilita di successop= 18=37. I valori diX isono binari, dove 1 rappresenta il successo e 0 l'insuccesso. Il bilancio nale si puo scrivere come: T= 2100 X i=1X i 100 + 10; dove mettiamo in evidenzaE[P 100 i=1X i] = 100
1837 e Var[P 100 i=1X i] = 100
1837 1937 . La probabilita di avere un bilancio positivo e Pr(T0) = Pr 100 X i=1X i 45! = Pr0 @P 100 i=1X i 100
1837 q 100
1837 1937  45 100
1837 q 100
1837 1937 1 A Pr (Z 0:73) = Pr(Z0:73) = (0:73)0:7673 dove abbiamo usato l'approssimazione Gaussiana della Binomiale. Problema 4 Indichiamo conX ilo stato della catena al tempo i. La probabilita di avere la sequenza '11111' partendo dal tempo zero e: Pr(X 0= X 1= : : :=X 4= 1) = Pr( X 0= 1)( p 1;1)4 = (10:7)4 8:1
10 3 : 3 La distribuzione asintotica della catena e  1= 0 :3 e 2= 0 :7. La probabilita asintotica di osservare la sequenza '11111' e lim n!1Pr( X n= X n+1= : : :=X n+4= 1) = lim n!1Pr( X n= 1)( p 1;1)4 (1) = 1
(p 1;1)4 = 0:3
(10:7)4 2:4
10 3 :(2) Problema 5 Il signore e interessato solamente ai bus non pieni, quindi bisogna considerare uno splitting del processo originale di Poisson. L'intensita dei bus che accettano passeggeri e dunque 10
(10:3) = 7 bus all'ora. Il tempo di attesa al primo bus utile e dunque una v.a. esponenziale di parametro 7, il cui valor medio e 1=7 di ora, cioe circa 8 minuti e mezzo. Problema 6 L'algoritmo deve mantenere una memoria che e lo stato della catena Markoviana, e generare il numero casuale che decide se saltare all'altro stato o meno. 1.InizializzaX 0= 1 e i= 1. 2.GeneraU i U [0;1]. Non cambiare stato se accadono gli eventifU i 0:3; X i1= 1 goppurefU i 0:7; X i1= 2 g, altrimenti cambia lo stato. 3.i i+ 1, e torna al punto 2. 4 Soluzioni Problema 1 Per determinare se il processoYe stazionario in senso lato bisogna controllare se i momenti del primo e secondo ordine sono stazionari. Per il valor medio si ha E[Y(t)] =E[X(t)X(t1)] = 0 mentre per la funzione di autocorrelazione si ha RY Y( t 1; t 2) = E[Y(t 1) Y(t 2)] = E[(X(t 1) X(t 1 1))(X(t 2) X(t 2 1))] =E[X(t 1) X(t 2)] E[X(t 1) X(t 2 1)]E[X(t 1 1)X(t 2)] + E[X(t 1 1)X(t 2 1)] = 2R X X( t 1 t 2) R X X( t 1 t 2+ 1) R X X( t 1 t 2 1) =R Y Y( t 1 t 2) : Siccome la funzione di autocorrelazione diYdipende solo dalla dierenza degli istanti di tempo, e la media e sempre nulla, il processoYe stazionario in senso lato. Problema 2 Per de nizione, lo stimatore LMS e quello con minimo errore quadratico medio. Calcoliamo il MSE parametri- camente inaeb: E[(XaY 1 bY 2)2 ] =E[X2 ] +a2 E[(Y 1)2 ] +b2 E[(Y 2)2 ]2aE[X Y 1] 2bE[X Y 2] + 2 abE[Y 1Y 2] e per minimizzarlo calcoliamo le derivate e imponiamole a zero:(2aE[(Y 1)2 ]2E[X Y 1] + 2 bE[Y 1Y 2]! = 0 2bE[(Y 2)2 ]2E[X Y 2] + 2 aE[Y 1Y 2]! = 0 la cui soluzione e a=E [Y 1Y 2] E[X Y 2] E[X Y 1] E[(Y 2)2 ]E [Y 1Y 2]2 E[(Y 1)2 ]E[(Y 2)2 ]; b =E [X Y 1] E[Y 1Y 2] E[(Y 1)2 ]E[X Y 2]E [Y 1Y 2]2 E[(Y 1)2 ]E[(Y 2)2 ]: Siccome tutte le variabili in gioco sono Gaussiane, e le relazioni sono lineari, allora ancheY 1e Y 2sono Gaussiane. Inoltre siccome la media e nulla, varianza e momento quadrato sono la stessa cosa. Si passa a valutare tutti i valori attesi: E[(Y 1)2 ] =Var[Y 1] = Var[X] +Var[N 1] = 4 + 1 = 5 E[(Y 2)2 ] =Var[X] +Var[N 2] = 4 + 2 = 6 E[Y 1Y 2] = E[(X+N 1)( X+N 2)] = E[X2 ] = 4 E[X Y 1] = E[X2 ] = 4 E[X Y 2] = E[X2 ] = 4 che dannoa=47 ; b =27 : Dunque lo stimatore lineare LMS diXeb XLin=4 Y 1+2 Y 27 . Problema 3 La strategia dice di fare 100 giocate sul nero. Tutte le giocate rappresentano prove indipendenti e identiche con probabilita di successop= 18=37. Se indichiamo conC iil capitale al tempo i, allora abbiamoC 0= 10 e poi il capitale dopo la prima giocata puo salire di 1e(se c'e una vincita) o scendere di altrettanto (se c'e una perdita). Quindi in 100 puntate il capitale puo oscillare tra 0 e 110. Ad ogni stato della catena (tranne gli estremi) si puo salire di 1 con probabilitapoppure scendere di 1 con probabilita 1p. Gli stati 0 e 110 sono ricorrenti, mentre tutti gli altri sono transienti. Alla ne delle puntate si ha un guadagno solo se non ci si trova nello stato 0: Pr(C 100> 0) = 1Pr(C 100= 0). 5 0123: : : 109110 1 p1 ppp 1 pp 1 pp Problema 4 Indichiamo conX ilo stato della catena al tempo i. La probabilita di avere la sequenza '11111' partendo dal tempo zero e: Pr(X 0= X 1= : : :=X 4= 1) = Pr( X 0= 1)( p 1;1)4 = (10:7)4 8:1
10 3 : La distribuzione asintotica della catena e 1= 0 :3 e 2= 0 :7. La probabilita asintotica di osservare la sequenza '11111' e lim n!1Pr( X n= X n+1= : : :=X n+4= 1) = lim n!1Pr( X n= 1)( p 1;1)4 (3) = 1
(p 1;1)4 = 0:3
(10:7)4 2:4
10 3 :(4) Problema 5 Il signore e interessato solamente ai bus non pieni, quindi bisogna considerare uno splitting del processo originale di Poisson. L'intensita dei bus che accettano passeggeri e dunque 10
(10:3) = 7 bus all'ora. Il tempo di attesa al primo bus utile e dunque una v.a. esponenziale di parametro 7, il cui valor medio e 1=7 di ora, cioe circa 8 minuti e mezzo. Problema 6 L'algoritmo deve mantenere una memoria che e lo stato della catena Markoviana, e generare il numero casuale che decide se saltare all'altro stato o meno. 1.InizializzaX 0= 1 e i= 1. 2.GeneraU i U [0;1]. Non cambiare stato se accadono gli eventifU i 0:3; X i1= 1 goppurefU i 0:7; X i1= 2 g, altrimenti cambia lo stato. 3.i i+ 1, e torna al punto 2. 6