Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 04/09/2017 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato.1Si consideri il gioco del Lotto. Qual e la probabilita che giocando 5 numeri si vinca una cinquina? E se si giocano 10 numeri?Nel gioco del Lotto vengono estratti 5 numeri vincenti senza reinserimento da un'urna con 90 numeri. Si vince una cinquina se i cinque numeri estratti sono tra i numeri giocati.2Siano XeYdue v.a. indipendenti con media nulla e varianza unitaria. ConsiderandoZ=X+Ye W=XY (a)determinareE[Z] eE[W] (b)determinareE[Z2 ] eE[W2 ] (c)determinare seZeWsono correlate.3Un cliente viene servito alla cassa di un supermercato in un tempo casuale distribuito in modo Esponenziale con tasso, indipendentemente da tutto il resto. I clienti arrivano ad una cassa seguendo un processo di Poisson a tasso. Si consideri l'istante iniziale dove la coda alla cassa e vuota e un cliente inizia ad essere servito. Quanti clienti saranno in coda, mediamente, quando il primo cliente lascera la cassa? Suggerimento: considerare il merging di due opportuni processi di Poisson.4Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in gura. La catena si trova nello stato 2 al tempo 0. (a)Determinare la probabilita mancante. (b)Classi care gli stati in transienti e ricorrenti. (c)Qual e la probabilita di essere ancora nello stato 2 dopon passi della catena, pern= 1;2; : : :? (d)Qual e la probabilita di essere nello stato 1 doponprove? (e)Qual e la probabilita di essere nello stato 5 doponprove?123 450 :50 :20 :81 0 :4? 0 :55Si vuole caratterizzare la distribuzione di una v.a. X. Precedenti osservazioni hanno mostrato che X N(0;1) (ipotesi nullaH 0). Si vuole testare la validita di un nuovo modello in cui X N(2;1) (ipotesi alternativaH 1). Per fare cio si osservano nv.a.x 1; x 2; : : : ; x ne si ri uta il vecchio modello se 1n P n i=1x i> 1. (a)Determinare il valore dintale che la probabilita di falso ri uto sia minore di 0:05. (b)Qual e la corrispondente probabilita di falsa accettazione?6Avendo a disposizione un generatore di v.a. uniformi in [0 ;1], descrivere un algoritmo che genera una coppia di v.a. (X 1; X 2) tale che X i U [0; i] e tale cheX 1+ X 2> 1. Mediamente quanti numeri casuali bisogna generare prima di osservare una coppia (X 1; X 2) valida? Soluzioni Problema 1 Il problema si puo risolvere con le probabilita ipergeometriche. Si hanno 90 numeri partizionati in 5 numeri giocati e 85 non giocati. Si estraggono 5 numeri di cui ne vogliamo 5 coincidenti con quelli giocati e 0 non coincidenti: Pr(Cinquina con 5 numeri giocati) = 85 0
5 5
90 5
=5
4
3
290
89
88
87
86: Analogamente, se si giocano 10 numeri, la probabilita cercata e: Pr(Cinquina con 10 numeri giocati) = 85 5
5 5
90 10
=10
9
8
7
690
89
88
87
86: Problema 21.E[Z] =E[X+Y] =E[X] +E[Y] = 0,E[W] =E[XY] =E[X]E[Y] = 0 2.PoicheE[X2 ] =Var[X] = 1 eE[Y2 ] =Var[Y] = 1, e dall'indipendenza diXeYsegue cheE[X Y] = 0, si haE[Z2 ] =E[(X+Y)2 ] =E[X2 + 2X Y+Y2 ] = 2, eE[W2 ] =E[(XY)2 ] =E[X2 2X Y+Y2 ] = 2 3.La correlazione traZeWdipende dal termineE[Z W] =E[(X+Y)(XY)] =E[X2 Y2 ] = 0, che dunque ne dimostra l'incorrelazione. Problema 3 I tempi di servizio esponenziali alla cassa possono essere interpretati come tempi di interarrivo di un processo di Poisson a tasso. Facendo il merging tra i due processi di Poisson, si ha un processo con tasso+. Nel processo unione, il numero di arrivi di tipoclienteprima dell'arrivo di tiposervizio completatoe una v.a. Geometrica con supportof0;1;2; : : :ge probabilita di successo=(+). Pertanto, il numero medio di arrivi di tipo cliente prima di un arrivo di tipo servizio e + 1 ==. Problema 41.La probabilita mancante e 0:6, perche la somma delle probabilita uscenti dallo stato 4 deve dare 1. 2.Gli stati sono tutti transienti tranne lo stato 1 che e ricorrente. 3.Di sicuro negli istanti di tempo dispari non e possibile trovarsi nello stato 2. Negli istanti di tempo parici si puo trovare in 2 solo se si fanno sempre transizioni nello stato 3. Quindi si ha Pr(X n= 2) = 0ndispari 0:8n= 2 npari 4.La probabilita di trovarsi nello stato 1 si puo calcolare come il complemento a 1 delle probabilita di trovarsiin 2 e in 3. Seguendo un ragionamento analogo al punto precedente, si ha Pr(X n= 1) = 1 Pr(X n= 2) Pr(X n= 3) = 10:8( n+1)=2 ndispari 10:8n= 2 npari 5.Non e possibile raggiungere lo stato 5 dallo stato 2, quindi Pr(X n= 5) = 0. Problema 51.Poiche tutte le v.a.X isono i.i.d., si ha1n P n i=1X i N (0;1=n)1p n Z sotto l'ipotesiH 0. La probabilita di falso ri uto e Pr 1n n X i=1X i> 1;H 0! ! 0:05 Pr 1p n Z > 1 = 1(pn )! 0:05 (pn )0:95 Il primo valore dinche soddisfa la diseguaglianza en= 3. 2 2.La probabilita di falsa accettazione e Pr 13 3 X i=1X i< 1;H 1! = Pr Z+ 2p 3 < 1 = (p3 2)0:3944 Problema 6 L'algoritmo e come segue: 1.Genero due v.a.U 1 U [0;1] eU 2 U [0;1] indipendentemente. 2.AssegnoX 1= U 1, e X 2= 2 U 2. 3.SeX 1+ X 2> 1 allora tengo la coppia (X 1; X 2), altrimenti torno al punto 1. Siccome tutte le prove sono indipendenti, il numero di prove al primo successo e distribuito in modo Ge- ometrico con prob. di successo Pr(X 1+ X 2> 1). Per valutare questa probabilita si puo ricorrere al metodo gra co: Pr(X 1+ X 2> 1) = 1Pr(X 1+ X 2 1) = 11 =22 = 1 14 = 34 ; dunque il primo successo accade in media dopo 4=3 prove. 3