Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 08/07/2020 ˆOgni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆNon riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆRiportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆNominare il le da caricare con il proprio codice persona. ˆEsercizio da escludere dal punteggio nale:1Una moneta di raggio rviene lanciata su un foglio quadrettato con quadretti di latod >2r. Assunte equiprobabili le posizioni del centro della moneta, qual e la probabilita che la moneta cada ricoprendo un vertice dei quadretti?2Si consideri una variabile aleatoria continua con la legge di probabilita come in gura. (a)Determinare il valore dit. (b)SiaYla v.a. tale cheY= 0 seX2[0;1], eY= 1 altrimenti. Determinare la legge di probabilita diE[XjY]. (c)DeterminareE[X].x 210tf X( x)3Siano X U[0;1] eYExp(1) conXindipendente daY. Calcolare la legge di probabilita diZ=X= Y.4Due trasmettitori emettono successioni indipendenti di bit fX ng ne fY ng n, con Pr( X n= 1) = pe Pr(Y n= 1) = q, per ognin. Il ricevitore osservaR n= ( X n_ Y n) ^Z n, dove fZ ng e una sequenza binaria di errori introdotti dal canale di comunicazione, con Pr(Z n= 1) = zper ognin, indipendentemente dalle sequenze trasmesse. I simboli_e^rappresentano gli operatori logicioreand, rispettivamente. Determinare la legge di probabilita del numero di bit 1 ricevuti inn= 1000 usi di canale.5Osservando un processo di Poisson per un periodo di = 5 minuti, si contanoX= 10 arrivi. Determinare la stima MAP dell'intensita incognitadel processo di Poisson basata sull'osservazioneX, supponendo che la distribuzione a priori disia  U[0;10].6Partendo da un generatore casuale di numeri distribuiti come U U[0;1], scrivere un algoritmo che permetta di stimare il valore dell'integraleI=R  0cos( x2 )dx. Quale risultato del calcolo delle probabilita bisogna usare per dimostrare che la stima numerica converge al valore vero diI? Soluzioni Problema 1 Poiche i risultati consistono nella caduta del centro della moneta in un quadretto, possiamo assumere come spazio campionario l'insieme dei punti di un quadrato di latod. La probabilita cercata e la probabilita che un punto casualmente scelto in cada in uno dei quattro settori circolari rappresentati in gura. Siccome lo spazio di probabilita e uniforme la probabilita cercata e il rapporto tra le aree:P=r 2d 2 .Problema 2 1.Il valore ditsi ottiene imponendo che l'area della gura sia unitaria:t
1 +t
1=2! = 1, la cui soluzione e t= 2=3. 2.Una volta ssato il valoreY=y, il valore attesoE[XjY=y] rappresenta il baricentro della gura corrispondente al rettangolo (sey= 0) o al triangolo (sey= 1). DunqueE[XjY] e una variabile aleatoria che assume solo 2 valori: E[XjY= 0] =E[U[0;1]] = 1=2 (1) E[XjY= 1] =Z 2 1xf XjY( xj1)dx(2) =Z 2 1x t (2x)Pr( Y= 1)dx (3) = 2 x2 x 33  2 x=1(4) = 2 483 1 +13  =43 (5) con probabilita rispettivamente Pr(Y= 0) = 2=3 e Pr(Y= 1) = 1=3. 3.Per calcolare il valore atteso diXsi puo sfruttare il risultato del punto precedente: E[X] =E[E[XjY]] =12
23 + 43
13 = 79 : (6) Problema 3 Innanzitutto notiamo cheZe una variabile aleatoria positiva. Procediamo con il calcolo della legge cumulata diZperz >0: FZ( z) = Pr(Zz) = Pr(X= Yz) (7) = Pr YXz  (8) =Z +1 1 1F Y xz  fX( x)dx(9) =Z 1 0e x=z dx(10) =h ze x=zi 1 x=0(11) =z(1e 1=z ); z >0:(12) La legge di probabilita diZe: fZ( z) =ddz F Z( z) = 1e 1=z e 1=zz z > 0 0z0:(13) Problema 4 Le successionifX ng ,fY ng , efZ ng sono tre processi di Bernoulli, indipendenti tra loro. L'operatoreortra processi di Bernoulli indipendenti crea un merging di processi di Bernoulli, mentre l'operatoreandtra due processi di Bernoulli indipendenti crea uno splitting. Unendo queste due osservazioni, si puo concludere che fR ng e un processo di Bernoulli con parametror=z(p+qpq). Osservandon= 1000 usi di canali, il numero di bit 1 ricevuti e distribuito secondo una Bin(1000; r). Problema 5 Applichiamo la regola di Bayes per la ricerca della stima MAP di  basata sull'osservazione diX: b MAP( X= 10) = argmax 2[0;10]f jX( j10) (14) = argmax2[0;10]p Xj(10 j)f ( ) (15) = argmax2[0;10](5 )1010! e 5110 (16) = argmax2[0;10]10 e 5 (17) dove abbiamo ignorato le costanti moltiplicative indipendenti da. Per trovare il massimo, poniamo la derivata a zero e risolviamo in: 109 e 5 510 e 5! = 0 (18) le cui soluzioni sono= 0 e= 2. Siccomef jX(2 j10)> f jX(0 j10), allora la stima MAP eb (10) = 2. Problema 6 SiaU0 =U U[0; ]. L'integrale si puo reinterpretare come I=Z  0cos( x2 )f U0 (x)f U0 (x)dx=E cos((U0 )2 )f U0 (U0 ) =E[cos(2 U2 )]:(19) Grazie alla legge debole dei grandi numeri, possiamo aermare che la media campionariab In= 1n n X i=1cos( 2 U2 i) (20) converge al proprio valore attesoI, dove le v.a.U isono i.i.d. e distribuite come U. 3