Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Informazione e stima { 09/09/2021 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. Esercizio da escludere dal punteggio nale:1Si estraggono due carte da un mazzo di 52. Si considerino gli eventi A=fla prima estratta e di cuorige B=fentrambe sono di cuorig. Si calcolino le probabilita dell'unione e dell'intersezione diAeB. Nel mazzo ci sono13carte di cuori. Le estrazioni sono senza reinserimento.2Si esegue 100 volte un esperimento che produce una variabile casuale con legge esponenziale con valore atteso 1. Si calcolino le probabilita che almeno una variabile causale sia maggiore di 5, e che una sola sia maggiore di 5.3Sia Xuna v.a. con legge uniforme tra 0 e 1, eY=3 pX . Si calcoli la legge diY, e da questa si ricavino valore atteso e varianza diY.4Mario riceve sul suo cellulare mediamente 10 messaggi al giorno da Laura e 4 messaggi al giorno da Carlo. I messaggi arrivano secondo due processi di Poisson indipendenti. Per semplicita, assumiamo l'assenza di altri tipi di messaggi. Trovare: (a)la probabilita che l'ultimo messaggio ricevuto sia stato da Laura; (b)la probabilita che negli ultimi 3 messaggi ci siano stati piu messaggi di Carlo che di Laura.5In 10000 lanci indipendenti di moneta si sono ottenute 4700 teste. Ipotizzando di non avere alcuna infor- mazione a priori sul bilanciamento della moneta (vale a dire,  U[0;1], con  il bilanciamento incognito della moneta), e lecito sospettare che la moneta non sia ben bilanciata? Giusti care adeguatamente la risposta.6Si consideri un mazzo ben mescolato di 52 carte, e si sveli la sequenza ordinata di carte cos generata. Qual e la quantita di bit di informazione svelata? Soluzioni Problema 1 L'eventoBe incluso inA, vale a direBA. Quindi Pr (A[B) = Pr (A) =1352 = 14 ePr (A\B) = Pr (B) =1352
1251 = 117 : Problema 2 La probabilita che nella singola prova la variabile casuale superi 5 ep=e 5 . La probabilita di un successo in 100 prove e una probabilita binomiale: 100 1 p(1p)99 0:345; e di almeno un successo e1(1p)100 0:491: Problema 3 La relazione che legayexey=g(x) =x1 =3 . Siccomege una funzione invertibile nel dominio (0;1), possiamo calcolare la legge diYtramite il metodo diretto: g 1 (y) =y3 ddx g (x) =13 x2 =3( x=y3 ) =13 y2f X( x) = 1 0x1 0 altrimenti; fY( y) =f X( g 1 (y)) ddx g (x) x=g 1 (y)=( 11 3 y20 y1 0 altrimenti= 3y2 0y1 0 altrimenti.(1) Valor atteso e varianza si possono calcolare come segue: E[Y] =Z 1 0y
3y2 dy=34 E Y2  =Z 1 0y 2
3y2 dy=35 Var [Y] =35  34  2 =380 = 0 :0375: Problema 41.Tutti i tipi di messaggio ricevuti sono indipendenti, perche per ipotesi i due processi di Poisson sonoindipendenti, e perche gli istanti di arrivo sono indipendenti. Dunque, la probabilita che un messaggio sia stato mandato da Laura e proporzionale all'intensita del processo di Poisson di Laura, vale a dire: 1010 + 4 = 57 = 0 :7143 (2) 2.Il numero di messaggi arrivati da Carlo tra gli ultimi 3 messaggi e una v.a. BinomialeXBin 3;414 =27
. Dunque, la probabilita che questi siano di piu rispetto a quelli ricevuti da Laura e: Pr(X >3X) = Pr X >32  = Pr(X2) =p X(2) + p X(3) (3) = 3 2  27  2 57 + 27  3 0:1983:(4) Problema 5 SiaTil numero di teste osservate in 10000 lanci di moneta. Allora la funzione di verosimiglianza e una binomiale: Pr(T=tj =) = 10000 t t (1)10000 t :(5) La densita a posteriori di una moneta bilanciata, cioe per  = 1 =2, si calcola tramite la legge di Bayes: fjT 12 j 4700 =Pr( T= 4700j = 1=2)f (1 =2)Pr( T= 4700)(6) =1Pr( T= 4700) 10000 4700  12  4700 112  100004700 :(7) Dato che e dicile valutare il coeciente binomiale, possiamo approssimare la Binomiale su 10000 prove con una legge Gaussiana con valor atteso 10000
12 = 5000 e varianza 10000
12
(11=2) = 2500. Dunque: fjT 12 j 4700 1Pr( T= 4700)1p 2 2500e (4700 5000)22
2500 (8) 1Pr( T= 4700)1 :21
10 10 ;(9) che e un numero molto piccolo. Da questo si evince che  = 1=2 non e una stima accurata del bilanciamento della moneta. Problema 6 Siccome il mazzo e ben mescolato, possiamo considerare uno spazio di probabilita uniforme dove ogni sequenza di 52 carte ha la stessa probabilita di veri carsi. In tutto ci sono 52! possibili sequenze ordinate. Associamo ad ogni possibile sequenza di 52 carte un numero naturale progressivo, da 1 a 52!. Dobbiamo valutare l'entropia di una v.a.Xche e uniformemente distribuita nell'insieme discretof1;2; : : : ;52!g. Nel caso di v.a. uniformi, l'entropia e uguale al logaritmo della cardinalita dell'insieme discreto: H(X) = log 2(52!) =52 X i=1log 2( i)225:581 bit:(10) 3