Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 17/06/2020 ˆOgni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆNon riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆRiportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆNominare il le da caricare con il proprio codice persona ˆEsercizio da escludere dal punteggio nale:1Si consideri un mazzo ben mescolato di 52 carte da poker, e si estraggano 10 carte dal mazzo. Sapendo che la quarta carta estratta e il re di picche, qual e la probabilita che la decima carta estratta (a)sia un asso? (b)sia il secondo re estratto? Il mazzo contiene 4 assi e 4 re.2Da una stazione ferroviaria ogni ora partono due treni regionali per Brescia, sempre agli stessi minuti x ey. In fase di progetto, i valori diX=xeY=ysono stati scelti secondoXY U[0;60], conX eYindipendenti. Se si arriva alla stazione quando la lancetta dei minuti segna un valoreZ U[0;60], indipendente daXeY, qual e la probabilita di aspettare la partenza di un treno per piu di mezz'ora? Suggerimento: immaginarsi di disporre i puntiX,YeZsu una circonferenza.3Sia XExp(1). Calcolare Pr(cos(X)>0:5).4Un supermercato ha deciso di assegnare un biglietto di lotteria istantanea per ogni scontrino emesso. Ogni biglietto e vincente con probabilita 1=100. Supponendo che ci siano 10 casse, e che ogni cassa emetta scontrini secondo un processo di Poisson con intensita 10 scontrini ogni ora, indipendentemente dalle altre casse, qual e la legge di probabilita del numero totale di biglietti vincenti in 10 ore?5Sia fX ng1 n=1una successione di variabili aleatorie con X n N (0;1=n). SiafY ng1 n=1una successione di variabili aleatorie tale cheY n= eX n . Dire sefY ng converge in probabilita e, se s, a quale valore.6Si consideri una variabile aleatoria discreta Xche puo assumere al piumvalori diversi. Quali sono i valori minimi e massimi diH(X)? Dare un esempio esplicito di variabile aleatoria che raggiunge il valore minimo di entropia, e un esempio di variabile aleatoria che raggiunge il valore massimo di entropia. Soluzioni Problema 11.L'unica informazione a disposizione e che un re e gia stato estratto, quindi la probabilita che una cartaestratta sia un asso e 4=51. 2.Sappiamo che il re di picche e gia stato estratto in quarta posizione, e vogliamo imporre che non sianostati estratti altri re in tutte le prime 9 posizioni, e che sia estratto un re nella decima posizione. La probabilita di non estrarre altri re in 8 posizioni e ipergeometrica (estrazioni senza reinserimento): 3 0
48 8
51 8
;(1) mentre la probabilita di avere un re in decima posizione, sapendo di avere estratto solo il re di picche nelle prime 9 posizioni e 3=43. La probabilita cercata e dunque 3 0
48 8
51 8

343  0:0413 (2) Problema 2 Siccome lo schema di partenza dei treni si ripresenta identico ogni ora, le distanze in minuti tra le partenze dei treni si possono misurare su una circonferenza di lunghezza 60, come se i puntiX,YeZvenissero scelti casualmente sul quadrante di un orologio: In rosso e stato indicato l'arco temporale in cui i puntiXeYnonX Y Z60 15 3045 devono cadere per soddisfare l'evento di interesse, vale a dire, l'utente arrivato in Zdeve aspettare un treno piu di mezz'ora. Considerata una particolare realizzazioneZ=z, i puntiXeYnon devono cadere in un arco di 180 gradi. SiccomeXeYsono indipendenti, questo accade con probabilita 1=2
1=2 = 1=4. Giacche questo risultato e valido per ogni realizzazionez, lo sara anche in media. Quindi la risposta nale e 1=4. Problema 3 La soluzione della disequazione cos(x)>0:5 e f0x1=3g [1 [ k=1f 2k1=3x2k+ 1=3g(3) per valori positivi dellax. Siccome tutti gli intervalli nella (3) sono disgiunti, e in un'in nita numerabile, la probabilita cercata e la somma delle probabilita: Pr(cos(X)>0:5) = Pr(X1=3) +1 X k=1Pr(2 k1=3X2k+ 1=3) (4) =F X(1 =3) +1 X k=1F X(2 k+ 1=3)F X(2 k1=3) (5) = 1e 1=3 +1 X k=1e 2 k1=3 e2 k+1=3 (6) = 1e 1=3 +e 21 e2( e 1=3 e1 =3 );(7) dove abbiamo usato il fatto cheF X( x) = 1e x . Problema 4 Per determinare il processo degli arrivi dei biglietti vincenti, facciamo prima un merge dei 10 processi di Poisson degli scontrini, ottenendo cos unP P(10
10 = 100). Ogni scontrino e vincente con probabilita 1=100, indipendentemente dagli altri. Questo genera un processo splitP P(100
1=100 = 1) di biglietti vincenti, dove 1 e l'intensita media di biglietti vincenti in un'ora. Se si osserva questo processo per 10 ore, si ottiene il numerodi biglietti vincenti, che e distribuito comeP(1
10 = 10), ovvero una Poisson con media 10. Problema 5 Perngrande, le v.a.X ntendono a concentrarsi attorno al valore medio 0, siccome la varianza decresce con n. Questo fatto suggerisce che la successionefY ng potrebbe convergere in probabilita al valoree0 = 1. Proviamo a dimostrarlo: lim n!1Pr( jY n 1j> ") = lim n!1Pr( jeX n 1j> ") (8) = limn!1Pr( eX n >1 +") + Pr(eX n