Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima { 19/07/2021 ˆOgni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti ˆVerranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori ˆNon riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆRiportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato ˆSe consegnato online, nominare il le solo con il proprio codice persona ˆEsercizio da escludere dal punteggio nale:1Si lancia 100 volte un dado a 6 facce non truccato. Si calcoli la probabilita di ottenere esattamente 30 volte un risultato maggiore o uguale 5, sia in modo esatto sia utilizzando un'appropriata approssimazione.2X eYsono variabili casuali Gaussiane con coeciente di correlazione[X; Y] non nullo, valore medio nullo e varianza 4 e 9, rispettivamente. Si calcolino il valore massimo e minimo possibili della varianza della v.a.Z=X+Y.3Sia XExp(). Determinare la densita di probabilita diY= log(X).4Sia X n N 3;1n
, pern2N, una successione di v.a. indipendenti, e siaY n= ( 1)n Xn. Determinare se la successionefY ng1 n=1converge in probabilita e, se s, a quale valore.5La distribuzione standard di Cauchy e data da f X( x) =1 (1+x2 )per x2R. Partendo da un generatore di campioni indipendentiU idistribuiti come U U[0;1], descrivere un algoritmo per generare campioni distribuiti comeX. Quant'e l'ecienza media dell'algoritmo proposto? Si ricorda cheddx arctan( x) =11+ x2 .6Si vogliono salvare su le i primi 1000 istanti di arrivo di un processo di Bernoulli con parametro p= 0:3. In particolare, si decide di salvare su le il valore di tutti i primi 1000 tempi di interarrivo. Mediamente quanto sara lungo (in bit) il piu piccolo le che contiene queste informazioni? Soluzioni Problema 1 La probabilita di ottenere un numero maggiore o uguale a 5 in un lancio di dado e13 . La probabilita di avere 30 successi in 100 prove indipendenti e una prob Binomiale: 100 30  13  30 23  70 0:0673:(1) Utilizzando l'approssimazione di De Moivre-Laplace per la Binomiale, si ha:Pr(X= 30) = Pr(29:5X30:5) (2) = Pr0 @29 :51003 q 100 3 23  X 1003 q 100 3 23  30 :51003 q 100 3 23 1 A(3) Pr (0:8132Z 0:601) (4) = Pr (0:601Z0:8132) (5) = (0:8132)(0:601) (6) 0:7910:7291 = 0:0619:(7) Problema 2 Poiche E Z2  =Eh (X+Y)2i =E X2  +E Y2  + 2E[X Y] (8) E[X Y] =Cov[X; Y] +E[X]E[Y] =[X; Y]pVar [X]Var[Y];(9) dove l'ultimo passaggio e dovuto aE[X] =E[Y] = 0, si ottiene Var[Z] =E X2  +E Y2  + 2[X; Y]pVar [X]Var[Y] = 13 + 12[X; Y]:(10) Sapendo dalla teoria1[X; Y]1, i valori massimo e minimo cheVar[Z] puo assumere sono Var[Z]13 + 12 = 25 (11) Var[Z]1312 = 1:(12) Problema 3 La cumulata di probabilita diYe FY( y) = Pr(Yy) = Pr(log(X)y) (13) = Pr(Xey ) (14) = 1e ey ; y2R(15) e la densita di probabilita si ottiene derivando:fY( y) =e ey +y ; y2R:(16) Problema 4 La successionefX ng sembra dover convergere al valore 3, dato che e una successione di v.a. Gaussiane con varianza che diminuisce inne con valore medio sso a 3. La successionefY ng sembra essere oscillante inn, a causa del termine (1)n , dunque non dovrebbe esserci convergenza. Proviamo a veri carlo; per ogni" >0 deve succedere che Pr(jY n aj ") = Pr(j(1)n Xn aj ") (17) = Pr(a"X n a+")npari Pr(a"X n a+")ndispari(18) deve tendere a 1, pern! 1. Questo pero non e possibile, perche richiederebbe che pernpariX ntenda al valorea, mentre neglindispari al valorea. 2 Problema 5 Un possibile metodo e quello della cumulata inversa. Calcoliamo la cumulata della distribuzione di Cauchy: FX( x) =Z x 11 (1 +t2 )dt = 1 arctan( t) x 1= 1 arctan( x) +12 ; x 2R:(19) Determiniamo la funzione inversa della cumulata:u=1 arctan( x) +12 (20)  u12  = arctan(x) (21) x= tan u12   :(22) L'algoritmo funziona come segue:1.Genero campioniU i U [0;1] in maniera indipendente 2.PongoX i= tan Ui12

. Per ogni campione uniforme generato, ottengo un campione valido della Cauchy, dunque l'ecienza e del 100%. Problema 6 SianoT i Geom(p= 0:3) i tempi di interarrivo del processo di Bernoulli. L'entropia totale generata e H(T 1; T 2; : : : ; T 1000) =1000 X i=1H (T i) (23) (identic. distr.) = 1000H(T 1) (24) = 1000E[log 2p T1( T 1)] (25) = 1000E[log 2(0 :3
0:7T 1 1 )] (26) =1000 [log 2(0 :3) + log 2(0 :7)E[T 1 1]] (27) =1000 log2(0 :3) + log 2(0 :7) 10 :3 1 (28) 2937:6 bit (29) dove il primo passaggio e dovuto all'indipendenza di tutte le v.a. Dal teorema di codi ca di sorgente sappiamo che mediamente il piu piccolo le che contiene queste informazione non puo essere piu piccolo di 2937:6 bit. 3