Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 21/02/2018 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato.1Si consideri un mazzo di 52 carte da poker. Vi vengono distribuite 5 carte a caso dal mazzo. Avendo osservato che la prima carta e un 5 di cuori, qual e la probabilita di ottenere una scala colore?Una scala colore si ottiene con5carte in sequenza del lo stesso seme (in questo caso cuori). Nel la scala l'asso puo precedere il2o seguire il re.2Due v.a. XeYsono Gaussiane e indipendenti, conX N(0;1) eY N(3;9). Determinare: (a)la distribuzione congiunta diXeY; (b)il coeciente di correlazione traXeY; (c)il valore atteso diZ=X2 Y;3Un segnale ha un'ampiezza casuale Xdistribuita esponenzialmente con media 1. Prima della trasmissione, l'ampiezza del segnale viene distorta da un ampli catore non ideale. La relazione ingresso/uscita dell'ampli catore eY= minf2X;10g, perX0, come mostrato in gura. Si determini la ddpf Y dell'ampiezza del segnale trasmessoY.Suggerimento: aiutarsi con la gura per capire come vengono rimappate le probabilita. Control lare che laf Yintegri a 1.x0 105510y 4Ad un distributore di carburanti i clienti arrivano secondo un processo di Poisson con tasso = 15 clienti all'ora. Indipendentemente da tutto il resto, ogni cliente si serve alla pompa di benzina con prob. 0:4 spendendo mediamente 30 eur, mentre si serve di gasolio con prob. 0:6 spendendo mediamente 20 eur. Determinare: (a)il ricavo orario medio del distributore; (b)la probabilita che nessun cliente si serva alla pompa di benzina in un intervallo di 30 minuti;(c)a partire dall'apertura del distributore, il tempo medio per osservare il primo cliente, e il tempomedio per osservare il primo cliente benzina.5Si trova una moneta per terra e si vuole capire se e bilanciata oppure no. A tale scopo si costruisce un test come segue: si lancia la monetanvolte e si decide che e bilanciata se il numero di teste osservate non si discosta per piu del 5% dan=2 (il 5% si riferisce an=2). Supponendo che in eetti la moneta sia bilanciata, quanto deve valerenanche il test funzioni nel 95% dei casi?Suggerimento: si utilizzi l'approssimazione Gaussiana del la Binomiale.6Applicando il metodo della trasformazione inversa, proporre un algoritmo che partendo da un generatore di numeri casuali uniformementi distribuiti in [0;1] generi un numero casuale distribuito come una Erlang-2 di parametro= 1. Soluzioni Problema 1 Sapendo che e stato estratto il 5 di cuori, il numero di mani possibili e 51 4
. Il numero di scale colore che si possono formare con il 5 di cuori sono 5. Pertanto la probabilita si calcola come 5 51 4
2
10 5 :(1) Problema 21.SiccomeXeYsono indipendenti, la distribuzione congiunta si ricava come prodotto delle distribuzioni marginali: fX;Y( x; y) =f X( x)f Y( y) =1p 2 e x 22 1p 2 9e ( y3)22
9 :(2) 2.Dato cheXeYsono indipendenti, il coeciente di correlazione e nullo. 3.Il valore atteso diZe: E[Z] =E[X2 Y] =E[X2 ]E[Y] = 3:(3) Problema 3 Come si osserva dalla caratteristica ingresso/uscita dell'ampli catore, tutte le ampiezze no aX= 5 ven- gono moltiplicate per 2, dopodiche vengono tutte limitate al valore massimo di 10. Questo suggerisce che la distribuzione diYha una componente discreta iny= 10: Pr(Y= 10) = Pr(X5) =e 5 :(4) Invece, per 0< y