Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 31/08/2018 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato Esercizio da escludere dal punteggio nale:1La banca vi consegna la nuova tessera bancomat con il relativo codice PIN. Il codice ha 5 cifre: tutti i numeri da 00000 a 99999 sono possibili, e vengono assegnati a caso con legge di probabilita uniforme. Qual e la probabilita che vi sia stato assegnato un codice PIN contenente esattamente tre cifre 0?2Vi viene proposto il seguente gioco: si compie una successione di lanci di una moneta bilanciata, dove eettuare ogni lancio vi costa 1e. Se si ottengono 3 teste di la allora si vincono 10ee il gioco termina. Mediamente vi aspettate di guadagnare o perdere da questo gioco? Suggerimento: aiutarsi con un diagramma ad albero per calcolare i lanci attesi da eettuare per osservare l'evento di interesse, e impostare il teorema del l'aspettativa totale.3Sia Xuna v.a. continua con leggef X( x) =c=x4 perx1 ef X( x) = 0 altrimenti. Determinare (a)La costantec. (b)La legge di probabilita cumulata. (c)Quali momentiE[Xn ] diXesistono, pern= 1;2;


. La varianza diXesiste?4Una mattina dovete recarvi in banca: sapete che dalle ore 09:00 in poi i clienti cominceranno ad arrivare secondo un processo di Poisson con tasso= 10 clienti/ora. Decidete di partire da casa alle ore 09:00 per recarvi in banca, e sapete che il tempo per raggiungerla sara diX= 20 +Yminuti, doveYExp(2). Quanti clienti saranno gia arrivati, in media, al momento del vostro arrivo? La media dei clienti arrivati va intesa su tutte le quantita aleatorie. Suggerimento: l'interval lo di tempoXpuo essere spezzato in due parti, e la media dei clienti arrivati nel l'interval lo somma e...5Si consideri un parametro aleatorio ignoto  Exp() che viene osservato tramite la misuraX=  +W, doveW N(0;1) e indipendente da . Determinare lo stimatore MAP di  basato sull'osservazioneX.6Avendo a disposizione un generatore di campioni indipendenti U idistribuiti uniformemente in [0 ;1), proporre un algoritmo per simulare l'estrazione senza reinserzione di 3 carte da un mazzo ben mescolato di 40 carte. Soluzioni Problema 1 Siccome lo spazio di probabilita e uniforme, calcoliamo il rapporto tra casi favorevoli e casi totali: I casi totali sono 105 Per contare i casi favorevoli dobbiamo innanzitutto scegliere le 3 posizioni che contengono gli zeri, tramite un coeciente binomiale, e poi contare tutti i modi per riempire le 2 posizioni rimanenti. In tutto si ha 5 3
92 , dove il 9 e dovuto al fatto che non possiamo scegliere la cifra 0 per le posizioni rimanenti. La probabilita cercata e5 3
9210 5 8:1
10 3 : In alternativa si poteva usare una v.a. Binomiale per contare il numero di zeri nel codice. Problema 2 SiaNil numero di lanci eettuati per ottenere 3 teste di la, e si usinoCeTper gli eventi croce e testa, rispettivamente. Siccome siamo interessati al numero medio di lanci, calcoliamo: E[N] = 1 +12 E [NjC] +12 E [NjT] = 1 +12 E [N] +12 E [NjT] (1) E[NjT] = 1 +12 E [NjT C] +12 E [NjT T] = 1 +12 E [N] +12 E [NjT T] (2) E[NjT T] = 1 +12 E [NjT T C] +12 E [NjT T T] = 1 +12 E [N]:(3) Sostituendo la (3) nella (2), e il risultato di questa nella (1), si ottiene un'equazione nell'incognitaE[N]. Risol- vendo l'equazione si trovaE[N] = 14. Pertanto mediamente si spendono 14eper giocare, e si vincono solo 10 e, quindi giocare non conviene in media. Problema 3La costantecdeve essere tale che Z 1 1f X( x)dx! = 1 Z1 1cx 4dx =c 13 x3 1 1= c3 ! = 1 dunquec! = 3. La legge di probabilita cumulata si trova come FX( x) = Pr(Xx) =Z x 1f X( t)dt =Z x 13t 4dt = 1t 3 x 1= 1 1x 3x 1 eF X( x) = 0 perx 0f jX( jx) (7) = arg max>0f Xj( xj)f ( ) (8) = arg max>0f W( x)f ( ) (9) = arg max>0exp ( x)22  exp() (10) = arg min>0( x)22 + (11) dove in (8) e (10) abbiamo tralasciato i termini non dipendenti da, in (9) abbiamo sfruttatoX=  +We l'indipendenza di  eW, mentre in (11) abbiamo applicato il logaritmo e cambiato di segno. Per trovare il minimo della (11) rispetto a, poniamone a zero la derivata rispetto a: @@   (x)22 +  ! = 0!! =x: Bisogna pero prestare attenzione all'intervallo in cui si cerca il minimo, cioe >0. Pertanto, la soluzione sara b MAP( X) = X X > ; 0X:(12) Problema 6 Il problema si puo dividere in 3 fasi. All'inizio e come se si volesse campionare da una distribuzione discreta e uniforme su 40 risultati possibili; nella seconda fase la distribuzione diventa uniforme su 39 risultati possibili, e si ha probabilita 0 in corrispondenza della carta pescata nella fase 1; nella terza fase la distribuzione da cui campionare ha solo 38 risultati con la stessa probabilita, e probabilita 0 in corrispondenza delle carte pescate nelle prime 2 fasi. Per simulare un'estrazione dalle distribuzioni della seconda e terza fase si puo applicare un algoritmo simile ad acceptance/rejection. 1.GeneroU 1 [0;1) e la prima carta pescata eX 1= d40
U 1e , dovedxee l'intero piu piccolo maggiore dix. 2.GeneroU 2 [0;1) e pongoT 2= d40
U 2e . SeT 26 =X 1allora pongo X 2= T 2, altrimenti torno al punto 2. 3.GeneroU 3 [0;1) e pongoT 3= d40
U 3e . SeT 36 =X 1e T 36 =X 2allora pongo X 3= T 3, altrimenti torno al punto 3. 3