Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima { 31/01/2018 Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. Verranno valutate solo le parti scritte in penna { non usare correttori. Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato.1Si considerino le cifre da 1 a 5 e tutti i numeri interi xdi 5 cifre, con 10000< x 30000?2Una v.a. continua Xha ddpf X( x) =(1x2 ) per1< x 0 e una costante nota. Si determini la ddpf Ydella potenza del segnale Y= X2 , dove >0 e una costante nota.Suggerimento: si usi il metodo del la cumulata.4Considerare la regione Rin gura delimitata dal poligono di 6 lati. Due v.a.XeYhanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneRe zero altrimenti. Si vuole stimareYbasandosi sull'osservazioneX. (a)Trovare la stima LMS diY,b YLMS= g(X). (b)Calcolare l'errore quadratico medioE[(Yg(X))2 ]. (c)Esiste uno stimatore lineare con lo stesso errore quadraticomedio dello stimatore LMS?x0 2112y R 5L'evoluzione del meteo giornaliero in una data regione geogra ca e descritta stocasticamente dalla catena di Markov tempo-discreta in gura (gli stati sonoPrecipitazioniP eNon PrecipitazioniNP). La catena si trova nello stato NP al giorno 0. (a)Qual e la probabilita di osservare la prima precipitazione algiornon, conn= 1;2;


? (b)Quanti giorni dura mediamente il primo periodo senza pre-cipitazioni? (c)Qual e la probabilita di osservare un giorno di precipitazionidopo un numero molto grande di giorni?NPP0 :10 :76Si supponga di avere una moneta bilanciata con Pr(Testa) = 1 =2. Descrivere un algoritmo che permette di simulare i risultati del lancio di una moneta con Pr(Testa) = 1=4. Secondo il vostro algoritmo, mediamente quanti lanci di moneta onesta servono per ottenere un risultato del lancio della moneta sbilanciata? Soluzioni Problema 11.Ogni cifra da 1 a 5 puo essere scelta piu volte, pertanto i numeri che si possono formare sono 55 . 2.Siccome ogni cifra puo essere scelta una volta soltanto, i numeri che si possono formare sono 5! = 5
4
3
2. 3.Dato che lo spazio di probabilita e uniforme, si ha: Pr(X2 BjX >30000; X2 A) =Pr( X2 B; X >30000; X2 A)Pr( X >30000; X2 A) =jf X2 B:X >30000gjjf X2 A:X >30000gj =3
4!3
54(1) Problema 21.Il valore disi ottiene imponendo l'integrale della ddp a 1: Z1 1 (1x2 )dx= 2Z 1 0 (1x2 )dx = 2 xx 33  1 x=0 =43  (2) da cui segue che= 3=4. 2.Siccomef Xe una funzione pari, i momenti di ordine dispari sono zero. Se ne pari, cioen= 2k, k= 1;2;


, si ha: E[X2 k ] =Z 1 1x 2 k (1x2 )dx = 2Z 1 0x 2 k (1x2 )dx = 2 x2 k+12 k+ 1 x 2 k+32 k+ 3 1 x=0 = 2 12 k+ 1 12 k+ 3 =4 (2 k+ 1)(2k+ 3): (3) Problema 3 Innanzitutto, si haf X( x) = 1=(2A) perAxAef X( x) = 0 altrove. Usando il metodo della cumulata si ha: Pr(Yy) = Pr( X2 y) = Pr ry  Xry  =8 > < > :0 y0 12 A
2qy 0 < y A2 1y > A2(4) Laf Ysi ottiene derivando: fY( y) =ddy Pr( Yy) = 0y0 oppurey > A2 12 Ap y 0 < y A2 (5) 2 Problema 4 1.Lo stimatore LMS si puo determinare in maniera gra ca data la simmetria del problema, ed e dato dallacurva rossa in gura. b YLMS= g(X) = 0:5 0< X