Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Full exam

Informazione e stima – 31/01/2022 ˆOgni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆVerranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. ˆNon riportare solo il risultato, ma cercare di argomentare sinteticamente la risposta. ˆRiportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆEsercizio da escludere dal punteggio finale:1Si estraggono 13 carte da un mazzo di 52 ben mescolato. Si considerino gli eventi A={4 di picche, 4 di cuori, 3 di quadri, 2 di fiori},B={estrarre 4,4,3,2 carte nei diversi semi}. (a)Senza fare calcoli, dire quale traAeB`e l’evento pi`u probabile. Giustificare la risposta. (b)Calcolare le probabilit`a degli eventiAeB. Le estrazioni sono senza reinserimento. Nel mazzo ci sono13carte di ogni seme.2Si consideri una moneta ben bilanciata. Sia Xil numero di teste eYil numero di croci innlanci? (a)Senza fare calcoli, dire qual `e il segno del coefficiente di correlazione lineare traXeY. Giustificare la risposta. (b)Calcolare la covarianza traXeY.3Sia X∼ U[0,1] eY=1X . Si calcoli la legge di probabilit`a di Y. Si presti attenzione ai valori assunti daY.4Sia X∼ U[0,1]. Si considerino le successioni di v.a.{Y n} e{Z n} conY n= Xn eZ n=1Y n+1per n∈N. Determinare se le successioni convergono in probabilit`a e, se s`ı, a quale valore.5Partendo da campioni uniformemente distribuiti in [0 ,1], usare il metodo acceptance-rejection per cam- pionare una v.a.Xcon legge fX( x) = 332 (4 −(x+ 2)2 )−4≤x≤0 0 altrimenti(1) Scrivere l’algoritmo acceptance-rejection con la miglior efficienza possibile. Mediamente quanti campioni uniformi bisogna generare per vedere un campioneXaccettato?6Una moneta non bilanciata ha Pr(Testa) = 34 . Qual `e il numero medio minimo di bit per lancioche serve per rapprentare il risultato di: (a)1 lancio di moneta (b)2 lanci di moneta(c)un miliardo di lanci di moneta Soluzioni Problema 11.SiccomeA⊂B, abbiamo Pr(A) ε1n ) = lim n→∞1 −ε1n = 0 (14) per ogniε >0, da cui segue cheY n→ 0 in probabilit`a. La v.a. 1X n +1tende a concentrarsi attorno al valore x= 1 all’aumentare din. Testiamo la convergenza in probabilit`a al valorex= 1: lim n→∞Pr 1X n + 1− 1 > ε = limn→∞Pr 1X n + 1− 1 ε (15) = limn→∞Pr Xn + 1>11 −ε + Pr Xn + 1 ε1 −ε 1n ! + Pr Xn  ε1 −ε 1n ! (18) = limn→∞1 − ε1 −ε 1n = 0 (19) per ogniε >0, da cui segue cheZ n→ 0 in probabilit`a. Da notare che il passaggio (18) segue dal fatto cheXn `e una v.a. positiva, mentre−ε1+ ε`e una quantit`a negativa. Problema 5 Il massimo della funzionef Xnell’intervallo −4≤x≤0 si ha perx=−2. In tal punto la funzione vale fX( −2) = 3/8. L’algoritmo ´e il seguente: 1.GeneroU∼ U[0,1] eU′ ∼ U[0,1] in maniera indipendente. Siccome−4≤x≤0, trasformoY=−4Ue pongomf Y( x)! = 3/8→m= 3/2 per ottenere massima efficienza 2.Accetto e pongoX=YseU′ ≤f X( Y)mf Y( Y)=332 (4 −(Y+2)2 )3 2 14 = 14 (4 −(Y+ 2)2 ), altrimenti torno al punto 1. Il numero di prove medie per avere un campione accettato ´e pari am= 3/2. Problema 61.Con un lancio di moneta c’`e solo un assegnamento possibile di parole codice: 0 per rappresentare testa, e1 per rappresentare croce. Dunque ci vuole 1 bit. 2.Per rappresentare una coppia di lanci si pu`o usare il seguente codice: ˆ0 per rappresentare TT, con Pr(T T) = 34
2 ˆ10 per rappresentare TC, con Pr(T C) =34 14 ˆ110 per rappresentare CT, con Pr(C T) =34 14 ˆ111 per rappresentare CC, con Pr(C C) = 14
2 Non esistono codici disambigui pi`u corti di questo. La lunghezza media per lancio di questo codice `e:12 1· 34  2 + 2·34 14 + 3 ·34 14 + 3 · 14  2! ≈0.84 bit/lancio (20) 3.Per un numero molto grande di lanci sappiamo che per il teorema di codifica di sorgente esiste un codicela cui lunghezza media per lancio `e molto vicina all’entropia della sorgente. Dunque la lunghezze media per lancio del codice `e: H(X) =−34 log 34 − 14 log 14 ≈ 0.81 bit/lancio (21) 3