Biomedical Engineering - Bioingegneria del Sistema Motoria

12 - Proprietà inerziali del corpo

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100 Proprietà inerziali del corpo umano Le proprietà inerziali del corpo umano (masse, centri di gravità, momenti di inerzia ecc.) sono spesso necessari per analisi quantitative dinamiche del movimento. Vedremo ora le tecniche sviluppate per la misura o la s tima di questi parametri. Riassumiamo le proprietà dinamiche dei corpi rigidi:  Centro di gravità o baricentro Consideriamo N punti P 1, P 2, … , P N aventi rispettivamente masse m 1, m 2, … , m N. La posizione di questi punti rispetto ad un sistema di rifer imento fisso (O X,Y,Z) è specificata dai vettori (P iO) con i = 1, 2, … , N. Il baricentro G del sistema di punti è il centro delle forze parallele gravitazionali agenti su ogni punto ( gi è l’accelerazione di gravità agente sul punt o i). La sua posizione rispetto ad (O X,Y,Z) risulta: con Consideriamo ora un corpo continuo pesante C, avente volume V e peso totale wT. Postuliamo l’esistenza della funzione “peso specifico” (P) tale che la forza peso di un intorno dV di P C risulti: d w = (P) dV. Le coordinate del baricentro sono date dall’integrale di volume esteso al corpo C: con cioè: ; ;  Centro di massa Mantenendo le convenzioni introdotte precedentemente, la posizione del centro di massa C per un sistema di N punti risulta: con Per il corpo continuo C postuli amo l’esistenza della funzione “densità” (P) tale che la massa di un intorno d V di P C risulti: dm = (P) dV. Le coordinate del centro di massa sono date dall’integrale di volume esteso al corpo C: con Se l’accelerazione di gravità può essere considerata costante su tutti i punti costituenti il sistema o il corpo in esame (campo di gravità uniforme), il baricentro ed il centro di massa risultano coincidenti. i i i g w    m T 1 )O P( )O ( w w G N i i i         N i i i g w 1 T m T C d )O P( )P( )O ( w V G            C T d (P) V w T C d )P( w V x xG      T C d )P( w V y yG      T C d )P( w V z zG      T 1 m )O P( m )O (      N i i i C   N i i 1 T m m T C m d )O P( )P( )O (        V C     C T d (P) m V 101 Questo però non accade sempre (vedi figura 1); i noltre c’è un’importante differenza concettuale nella determinazione di questi due parametri: il baricentro viene ricavato analizzando le forze agenti sul sistema, mentre il centro di massa prende in considerazione le masse costituenti. Figura 1 Differen za tra il baricentro G ed il centro di massa di un grattacielo. I due parametri differiscono se si prendono in considerazione oggetti di grandi dimensioni. Si noti che le forze gravitazionali, pur variando in modulo con l’altezza, rimangono sempre parall ele. Nel caso questo non si verifichi, la determinazione del centro di gravità non può essere effettuata utilizzando le formule riportate.  Momento di inerzia Il momento di inerzia rispetto ad un asse a di un punto P avente massa m e distanza d dall’asse considerato, è definito come: I(a) = m d2 Per un sistema costituito da N punti materiali aventi rispettivamente masse m 1, m 2, … , m N e distanze dall’asse a pari a d1, d2, … , dN risulta: Per un corpo continuo tridimensionale C risulta: Sia I (aG) il momento di inerzia di un corpo C di massa m rispetto ad un asse aG passante per il suo baricentro G. Il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse a’ parallelo e distante da aG risulta (teorema di Huygens): Se il corpo è schematizzabile mediante una figura piana S, fissato nel piano della figura un punto O qualsiasi e due assi x e y uscenti da O e tra di loro perpendicolari, detto z l’asse passante p er O e perpendicolare al piano della figura (perpendicolare quindi anche a x e y), risulta: I(z) = I (x) + I (y) Consideriamo ora un corpo continuo tridimensionale C osservato da un sistema di riferimento (O X,Y,Z) fisso. Definiamo matrice di inerzia del corpo C rispetto al punto O la matrice simmetrica : con IYX =I XY , I ZX =I XZ , I ZY =I YZ dove I (X) , I (Y) , I (Z) sono i momenti di inerzia del corpo C rispetto agli assi cartesiani X,Y,Z e I ij si chiamano prodotti di inerzia , definiti come: ; ; La matrice di inerzia dipende quindi, oltre che dal punto O, anche dalla direzione degli assi cartesiani X,Y,Z. Sia il versore di un asse a qualsiasi, passante per O.    N i i i a d 1 2 )( m I        C 2 C 2 )( d )P( )P( dm )P( I V d d a d 2 ) ( )'( m I I d aG a               )Z( )Y( )X( I I I I I I I I I ZY ZX YZ YX XZ XY I     C dm I y x XY     C dm I z x XZ     C dm I z y YZ  T   a 102 Il momento di inerzia del corpo C rispetto all’asse a risulta (omografia d’inerzia): Mantenendo fisso il punto O, esistono tre assi cartesiani particolari X *,Y *,Z * che annullano i tre prodotti d’inerzia re ndendo la matrice di inerzia diagonale: Gli assi X *,Y *,Z * si chiamano assi principali di inerzia del corpo C rispetto al polo O. I momenti principali di inerzia , , sono gli autovalori della matrice di inerzia; gli assi X *,Y *,Z * passano per O e hanno la direzione definita dagli autovettori della matrice di inerzia. Se come polo si prende il baricentro G del corpo in esame, la matrice di inerzia corrispondente si c hiama baricentrale . Gli assi principali di inerzia relativi al baricentro G costituiscono la terna centrale di inerzia . Il momento di inerzia polare rispetto ad un polo O di un sistema costituito da N punti materiali aventi rispettivamente masse m 1, m 2, … , m N e distanze dal polo O pari a r1, r2, … , rN risulta (ricordando che r2 = x2+y2+z2): dove X,Y,Z costituiscono una qualsiasi terna cartesiana avente origine in O. Per un corpo continuo tridimensionale C risulta:  Momento delle quantità di moto Il momento delle quantità di moto rispetto ad un polo O di un punto P avente massa m e velocità , è definito come: (con  si è indicato il prodotto vettoriale) dove è la quantità di moto del punto. Per un sistema costituito da N punti materiali aventi rispettivamente masse m 1, m 2, … , m N e velocità risulta: Per un corpo continuo tridimensio nale C risulta: Il momento delle quantità di moto rispetto ad un asse passante per O e avente versore è la quantità scalare (a) ottenuta proiettando il vettore su . (con  si è indicato il prodotto scalare)   a I a ZY ZX YZ YX XZ XY a                             T )Z( )Y( )X( )( I I I I I I I I I I                  )Z( )Y( )X( * * * I 0 0 0 I 0 0 0 I I ) (X* I ) (Y* I ) (Z* I (Z) (Y) (X) 1 2 O I I I m I      N i i i r (Z) (Y) (X) C 2 C 2 O I I I d )P( )P( dm )P( I           V r r v v       m O) (P O v m Nv v v     , , , 2 1      N i i i i v 1 O m O)- (P        C O dm )O-P( v  a O  a a a      O )( 103 Per un atto di moto traslatorio , il momento delle quantità di moto rispetto al polo O risulta: dove G è il baricentro del corpo, m è la massa totale del corpo e è la velocità di un punto qualsiasi appartenente ad esso (essendo un atto di moto traslatorio, tutti i punti del corpo devono avere la stessa velocità). Per un atto di moto rotatorio attorno ad un asse passante per O con v elocità angolare (l’asse di istantanea rotazione passerà quindi per O e sarà parallelo a ) risulta: dove I è la matrice di inerzia del corpo calcolata rispetto ad una qualsiasi terna X,Y,Z avente origine in O, e è il vettore velocità angolare visto dalla stessa terna. In generale la direzione di sarà diversa da quella di . Se l’asse di istantanea rotazione passante per O ha versore (che risulterà parallelo o antiparallelo a ), il momento delle quantità di moto rispetto all’asse risulta: dove I (a) è il momento di inerzia del corpo rispetto all’ass e di istantanea rotazione. Se l’atto di moto è rototraslatorio , il momento delle quantità di moto rispetto al baricentro G è uguale a quello che si otterrebbe se l’atto di moto fosse puramente rotatorio attorno all’asse parallelo alla componente rotatoria passante per il baricentro. Cambiando polo da O a O’, il momento delle quantità di moto cambia in questo modo: dove m è la massa totale del corpo e è la velocità del suo baricentro. Teorema del momento delle quantità di moto : la derivata rispetto al tempo delle quantità di moto rispetto ad un polo O è uguale al momento risultante rispetto al polo O di tutte le forze esterne attive e reattive che agiscono sul sistema materiale. Il polo O deve però essere un punto fisso, oppure coincidere con il baricentro G oppure avere velocità parallela a quella del baricentro in ogni istante. Sotto queste condizioni risulta: Se il polo O non soddisfa nessuna delle tre proprietà citate, risulta: dove e sono rispettivamente le velocità del polo O e del baricentro del corpo. v G        m O) ( O v        I O  O   a  a a a      )( )( I  Gv          m O)- O( ΓO O Gv O M  O M   O O O M M dt Γd       O O O O M M m dt Γd            Gv v Ov Gv 104 Metodi sperimentali  Massa e densi tà Nelle applicazioni di biomeccanica, un problema risiede nella definizione del segmento di interesse. Per esempio: per definire il femore umano, quali e quanti muscoli che attraversano il ginocchio o l’anca devono essere inclusi nel segmento ? Le sezi oni considerate devono essere effettuate in estensione completa o in flessione ? E a quale inclinazione ? Molte volte le soluzioni adottate sono state arbitrarie. La densità media di un corpo di massa m e di volume V è definita co me: Per determinare il volume di segmenti corporei dei soggetti viventi, si utilizza il metodo dello spostamento volumetrico: i soggetti in esame immergono il segmento di interesse in un serbatoio con dell’acqua. Il volume del segm ento è fornito dal volume dell’acqua spostata durante l’immersione. Conoscendo il volume del segmento di interesse e misurandone la forza peso con una bilancia e ricavandone successivamente la massa , si può calcolarne la densità media. I tessuti costituenti il segmento però (ossa, muscoli, grasso) hanno densità differenti, che variano addirittura da segmento a segmento. I volumi delle diverse parti costituenti, possono essere determinati successivamente util izzando i metodi di diagnostica per immagini (TAC, RMN). Tabella 1 Masse relative (alla massa totale) e densità di alcuni segmenti corporei Segmento corporeo Tessuto Massa relativa [%] Densità [g/cm 3] Braccio Pelle Grasso Muscolo Osso 6.9 36.45 41.85 14. 8 1.050 0.954 1.049 1.224 Avambraccio Pelle Grasso Muscolo Osso 8.35 23.55 51.5 16.6 1.051 0.961 1.054 1.308 Gamba Pelle Grasso Muscolo Osso 6.0 28.95 42.7 22.35 1.055 0.958 1.042 1.208 Piede Pelle Grasso Muscolo Osso 13.25 30.95 24.7 31.1 1.059 0.992 1.037 1.153  Centro di gravità e centro di massa Una tecnica comunemente utilizzata per determinare la posizione del baricentro di un oggetto è quella della bilancia a momento. La forza peso dell’oggetto in esame è determinata utilizzando una bilancia. L’oggetto viene posto poi su una bilancia a momento, mostrata in figura 2.  V m  W          2 m/s 9.80665 con m g g W W  105 Figura 2 Bilancia a momento utilizzata per la determinazione del centro di massa di un oggetto. L è la distanza tra i due appoggi (nota); x è la posizion e del baricentro dell’oggetto (incognita). La scala fornisce la misura della reazione vincolare sull’appoggio sinistro. L’equazione di equilibrio alla rotazione attorno all’appoggio destro impone che risulti: da cui posso ricavare la posizione lungo l’asse trasversale del segmento: Altri metodi per misurare grandezze antropometriche: Metodo ad immersione per misurare il volume: M   0 L x M    W W x L M    Pa [N] : peso del corpo in aria Pw [N] : lettura del dinamometro in condizioni di corpo immmerso nel liquido T: temperatura del liquido V = (Pa -Pw)/ (T) 106 Metodo ad immersione per misurare volumi di seg menti corporei Metodo della bilancia ’a momento’ per calcolare posizione dei baricentro di segmenti corporei ‘in vivo’. = = = 107 Altro esempio di applicazione del metodo: Darti relativi alla posizione del baricentro di segmenti corporei (da Dempster, 1955) 108 Lunghezze di segmenti anatomici in percentuale dell’altezza (da Drillis and Contini, 1966) = Tabella 2 Masse relative alla massa totale m del segmento e distanze del baricentro misurate lungo l’asse longitudinale, re lative alla lunghezza totale L dell’asse per diversi segmenti corporei. Sono confrontati dati riportati da diverse fonti. Segmento Massa relativa Distanza relativa Harless (1806) Brune & Fishe r (1889) Fisher (1906) Dempster (1955) Clauser (1969) % % % % % % % % % % Testa 7.6 36.2 7.0 8.8 7.9 7.3 Tronco 44.2 44.8 46.1 45.2 46.9 50.7 Braccio 5.7 6.2 52.6 5.4 44.6 4.9 51.2 4.9 41.3 Braccio prossimale 3.2 3.3 47.0 2.8 45.0 2.7 43.6 2.6 51.3 Avambr accio e mano 2.6 3.0 47.2 2.6 46.2 2.2 67.7 2.3 62.6 Avambraccio 1.7 42.0 2.1 42.1 1.6 43.0 1.6 39.0 Mano 0.9 39.7 0.8 0.6 50.6 0.7 Gamba 18.4 17.3 40.7 17.6 41.2 15.7 43.4 16.1 38.2 Gamba superiore 11.9 48.9 10.7 43.9 11.0 43.6 9.6 43.3 10.3 37.2 Gamba inferiore con piede 6.6 6.5 51.9 6.6 53.7 5.9 43.4 5.8 47.5 Gamba inferiore 4.6 43.3 4.7 42.0 4.5 43.3 4.5 43.3 4.4 37.1 Piede 2.0 44.4 1.7 43.4 2.1 1.4 42.9 1.5 44.9       m m i       L Li m m i L Li m m i L Li m m i L Li m m i L Li m m i L Li 109 Un altro metodo per la determinazione del baricentro è quello della fo tografia in sospensione. Il corpo di interesse viene appeso ad una corda fissata in un punto del segmento e fotografato. In condizioni di equilibrio, la retta individuata dalla corda passa necessariamente per il baricentro del corpo (che ha peso diverso d a zero). Una seconda fotografia viene scattata appendendo il corpo in un altro punto. Sovrapponendo l’immagine del corpo nelle due fotografie, il baricentro è individuato dall’intersezione delle rette individuate dalle due corde. Momenti di inerzia Per stimare il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse passante per un polo O, si utilizza il principio del pendolo composto . Il corpo di interesse viene sospeso e fatto ruotare attorno ad un punto O fisso (vedi figura3), spostandolo di pochi gra di dalla sua posizione di equilibrio. Misurando il periodo T di una oscillazione si è in grado di stimare il momento di inerzia I (z) del corpo rispetto all’asse di rotazione z passante per O. Figura 3 Struttura del pendolo composto verticale: la retta OG unisce il punto O al quale è fissato il corpo, al baricentro G. d è la distanza tra O e il baricentro G. L’angolo  quantifica la deviazione di OG dall’asse verticale. L’asse di sospensione z attorno al quale ruota il corpo, passa per O e risulta per pendicolare al piano della figura (uscente dal foglio). m g è la forza peso del corpo (applicata nel baricentro). Il corpo compie un atto di moto rotatorio attorno all’asse z. Il momento delle quantità di moto rispetto all’asse z risulterà quindi: Applicando il teorema delle quantità di moto risulta (trascurando lo smorzamento delle oscillazioni, che risulta comunque piccolo): Se consideriamo piccole oscillazioni (  0 cioè sen( )) otteniamo l’equazione di fferenziale del secondo ordine omogenea lineare: La soluzione di questa equazione è del tipo: dove C e  sono costanti di integrazione dipendenti dalle condizioni iniziali. Il moto osservato risulta quindi o scillatorio attorno alla sua posizione di equilibrio stabile, con periodo di oscillazione:     )( )( Iz z ) ( sen d g m I )(       z 0 I d g m )(       z                 t t z)(I g d m cos C )( g d m I 2 )(     z T 110 Misurando il periodo T di una oscillazione e la forza peso W = m g, possiamo stimare il momento di inerzia I (z) del corpo rispetto all’asse z: Momenti di inerzia calcolati rispetto ad assi paralleli a I (z) possono essere ricavati utilizzando il teorema di Huygens. Tabella 3 Momenti di inerzia relativi all’asse trasversale di diversi segmenti corporei, ottenuti sperim entalmente utilizzando la tecnica del pendolo. Sono riportati i valori misurati da Dempster (1955) e Hatze (1980). Segmento Dempster (1955) Hatze (1980) Momento di inerzia trasversale [kg m2] Momento di inerzia trasversale [kg m2] Testa e collo 0.031 0 0.0337 Braccio sinistro 0.0222 0.0203 Braccio destro 0.0220 0.0229 Avambraccio sinistro 0.0055 0.0086 Avambraccio destro 0.0072 0.0093 Mano sinistra 0.0009 0.0010 Mano destra 0.0011 0.0010 Gamba sinistra 0.0650 0.0798 Gamba destra 0.0620 0.0747 Piede sinistro 0.0037 0.0051 Piede destro 0.0040 0.0051 Il metodo del pendolo a torsione è un altro procedimento che permette la stima dei momenti di inerzia dei segmenti corporei. Il corpo in esame, avente massa m, è fissato su un tavolo rotante atto rno al suo asse verticale a (vedi figura 4). Nel fulcro di rotazione del tavolo è fissata una molla torsionale di costante elastica k. Questo sistema ha un solo grado di libertà: la rotazione  del tavolo attorno all’asse a. Se il tavolo viene ruotato di un angolo 0 e poi lasciato andare, si osserveranno delle oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio; dal periodo di queste ultime si possono ricavare informazioni sul momento di inerzia del corpo fissato al tavolo. Consideriamo il tavolo scarico: s u di esso agisce un momento M()= -k che si oppone alla rotazione del tavolo, dovuto alla molla torsionale. Ragionando analogamente al caso del pendolo composto, il teorema del momento delle quantità di moto impone che sia: dove è il momento di inerzia del tavolo scarico (che supponiamo noto) rispetto all’asse di rotazione a. 2 2 )( 4 d I     T W z   k ta  )(I ta)(I 111 Figura 4 Struttura del pendolo a torsione. a è l’asse di rotazione del tavolo, sul quale è fissato il corpo C di massa m. Il mome nto M() si oppone al movimento in maniera proporzionale alla rotazione. L’equazione di moto del tavolo scarico risulta: con C0 e 0 costanti di integrazione Il periodo delle oscillazioni del tavolo scarico risulta quindi: Considerando ora anche il corpo fissato al tavolo ed osservando che la forza peso del corpo è parallela all’asse a, il teorema del momento delle quantità di moto fornisce: dove è il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione del tavolo a. L’equazione di moto risulta in questo caso: Il periodo delle oscillazioni del tavolo con il corpo viene misurato e risulta: da cui si ricava: Conoscendo TC e T0 possiamo quindi stimare il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il suo baricentro G e parallelo all’asse a usando il teorema di Huygens. Risulta quindi: dove d è la distanza del baricentro G del corpo dall’asse di rotazione a. I metodi visti fino adesso, sono applicabili solamente a segmenti corporei separati dal resto del corpo e provenienti quindi presumibilmente da cadaveri. Analizziamo o ra alcune tecniche per la stima “in vivo” dei momenti di inerzia. Il metodo del rilascio immediato (quick release method) fu introdotto nel 1938 per la determinazione del momento di inerzia dell’avambraccio. Questo metodo richiede che l’arto in esame ese rciti una forza costante F contro un dispositivo distante d dal centro dell’articolazione del segmento. Il dispositivo viene improvvisamente rilasciato, provocando un’accelerazione angolare dell’arto. Questa accelerazione viene mi surata e il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione a viene stimato come:              0 )( 0 I cos )( t k C t ta k T ta)( 0 I 2      k Ca ta   )( )( I I Ca)(I               1 )( )( 1 I cos )( t I k C t Ca ta k T Ca ta C )( )( I I 2    k T T Ca C )( 2 20 2 I 4     CMa)(I   2 20 2 2 )( m 4 I d T T k C CMa            d F a)(I 112 Le assunzioni che stanno alla base di questo procedimento sono che il movimento del segmento in esame sia puramente rotatorio attorno ad un asse a e che le caratteristiche viscoelastiche siano trascurabili. Con il metodo delle oscillazioni libere (relaxed oscillation method) una forza singola o periodica viene applicata all’arto in esame in assenza di azioni muscolari. L’osservazione del movimento, in generale oscillatorio, risultante da questa sollecitazione, fornisce una stima del momento di inerzia del segmento considerato. Un’applicazione di questo metodo, utilizzato per l’analisi dell’avambraccio, è mostrato in figura 6. Figura 6 Il soggetto siede di fianco ad un apparato composto da un’asta alle cui estremità sono fissati una maniglia ed un appoggio per il gomito. L’asta è vincolata ad un estremo da un elemento elastico che si comporta come una molla torsionale di costante k. Il soggetto si siede accanto all’apparato con il braccio rilassato e flesso a 90°. Una forza viene applicata all’asta, causando una deflessione 0 di quest’ultima. Quando la forza viene rimossa, l’apparato oscillerà con periodo T. Ragion ando in modo analogo al pendolo a torsione e trascurando le componenti viscose, si ricava la stima del momento di inerzia dell’avambraccio rispetto all’asse di rotazione come: , dove I 0 è il momento di inerzia dell’apparato scarico . I metodi che utilizzano la diagnostica per immagini (TAC, RMN) rilevano una serie di sezioni ad intervalli regolari lungo il segmento in esame. Le sezioni ottenute possono essere digitalizzate e le varie aree di tessuto (generalmente suddivise in ossa, muscoli e grasso) possono essere calcolate. L’area moltiplicata per lo spessore di sezione, fornisce il volume della sezione. Considerando tutte le sezioni e le densità dei tessuti considerati, si possono ottenere informazioni su massa, volume, forma e proprietà inerziali del segmento considerato. Informazioni sulla densità tissutale si possono ottenere misurando l’attenuazione di un fascio di radiazioni X passante attraverso il tessuto considerato (metodo Gamma -scanner). 0 2 2 I 4 I     T k 113 Modelli del corpo umano M olte volte, invece di determinare sperimentalmente le proprietà inerziali del corpo umano, è preferibile utilizzare un modello semplificato dal quale si possano ricavare agevolmente utilizzando metodi matematici, le suddette proprietà. Modelli di questo ti po consentono il calcolo delle proprietà inerziali di segmenti corporei e del corpo intero, in condizioni generali e non solo per una posizione o per un determinato movimento, e possono quindi essere utilizzati per simulare il movimento umano. Il modello di Hanavan Il modello di Hanavan (1964) è composto da quindici semplici solidi geometrici ed è mostrato in figura 7 Figura 7 Modello di Hanavan con descrizione dei segmenti costituenti. 114 Segmento Numer o Forma Testa 1 Ellissoide circolare Torace superi ore 2 Cilindro ellittico Torace inferiore 3 Cilindro ellittico Mano 4,5 Sfera Braccio superiore 6,7 Tronco di cono circolare Braccio inferiore 8,9 Tronco di cono circolare Gamba superiore 10,11 Tronco di cono circolare Gamba inferiore 12,13 Tronco di cono circolare Piede 14,15 Tronco di cono circolare Le ipotesi che stanno alla base di questo modello sono:  Il corpo umano può essere rappresentato da un insieme di corpi rigidi geometricamente semplici e di densità uniforme,  Gli arti si muovono attorn o a punti fissi (articolazioni) quando il corpo cambia posizione,  I segmenti corporei sono connessi tra loro mediante articolazioni a cerniera di massa trascurabile. Venticinque misure antropometriche sono necessarie per adattare questo modello ad un part icolare soggetto. I baricentri, le masse ed i momenti di inerzia possono essere calcolati facilmente grazie alla geometria elementare dei solidi costituenti il modello. Equazioni di regressione sono utilizzate per stimare i pesi dei segmenti. Nel caso l a somma dei pesi dei segmenti differisca dal peso totale del soggetto (misurabile), la differenza viene equamente distribuita su tutti i segmenti costituenti. Le posizioni dei segmenti sono individuate mediante gli angoli di Cardano. L’approcci o di Zatsiorsky and Seluyanov (1983) basato su scansioni effettuate con raggi gamma. Gli autori ottenevano la densità dei tessuti lungo il percorso del raggio mediante l’analisi dell’attenuazione dell’intensità del raggio stesso. Mediante la scansione sul piano x -y si ottenevano questi valo ri in funzione delle coordinate . Da questi, per integrazione, si ottenevano le masse e i momenti d’inerzia rispetto ad assi predefiniti (principali d’inerzia, bari centrali) 115 Il corpo veniva suddiviso in segmenti come mostra la figura qui sopra. I singoli parametri ottenuti venivano messi in relazione con misure antropometriche rilevabili dall’esterno, e si analizzavano le correlazioni lineari. Le grandezze più correlate venivano utilizzate per definire equazioni di reg ressione del tipo Y=B 0+B 1X1+B 2X2+B 3X3…. Esse permettono di estrapolare varie proprietà della popolazione studiata su soggetti che non appartengono ad essa. Equazioni di questo tipo permettono, per esempio, di ricavare la massa e la posizione del baricentr o di vari segmenti corporei conoscendo determinate misure antropometriche di questi ultimi. Nel lavoro citato furono analizzati 100 soggetti maschi adulti. L’estensione dei risultati a popolazioni diverse da questa, per sesso ed età, è da considerare poco attendibile. Qui sotto sono riportate le tabelle di Zatsiorsky e Seluyanov sotto forma di coefficienti di regressione, comprensive del coefficiente di correlazione R e della deviazione standard nella popolazione esaminata SD. 116 117 Metodo fotogrammetrico Un approccio più semplice e più accettabile dal punto di vista etico è quello utilizzato da Jensen (1989). Il soggetto viene semplicemente fotografato in un piano frontale e in un piano sagittale. Il corpo umano viene modellizzato utilizzando solidi ell ittici. Con questo metodo, l’intero corpo viene suddiviso (prevalentemente lungo il piano trasversale) in zone di 2 cm di spessore; ogni zona viene modellizzata con un ellisse che costituisce così una “sezione trasversale media” della sezione considerata. Il baricentro ed il volume di ogni zona può essere calcolato direttamente grazie alla 118 geometria ellittica della sezione. La massa di ogni sezione è ottenuta moltiplicando il volume per la densità media di quest’ultima. Dalle fotografie si ricava il contorno della sezione considerata, dopodiché da esso si costruisce l’ellisse approssimante. Mettendo “in serie” tutte le lastre ellittiche così ottenute, si ottiene una rappresentazione del corpo umano formata da sedici se gmenti: testa, collo, torace superiore ed inferiore, braccia superiori, avambracci, mani, gambe superiori ed inferiori, piedi. 119 I baricentri delle zone ellittiche ottenute per il segmento considerato, giacciono sulla retta congiungente i centri articolari d elle articolazioni prossimale e distale che fanno capo al segmento stesso, Il volume di ogni segmento è semplicemente la somma dei volumi delle zone ellittiche che lo compongono; i momenti di inerzia possono essere calcolati facilmente grazie alla geometri a ellittica. Le stime della massa corporea ottenute con questo metodo, presentano un errore medio rispetto alle misure sperimentali del 2%.