Biomedical Engineering - Meccanica Applicata alle Macchine

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ESERCITAZIONE 1 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Ripasso Calcolo vettorialex Rey I m a b 1.1 Notazioni ˆNotazione cartesiana: a=a x i+a y j+a z k ˆNotazione complessa: a=a x+ ia y, dove i= unita immaginaria ˆNotazione polare: b=bei , dove =atanb yb x 1.2 OperazioniˆSomma vettoriale: c= a+ b= (a x+ b x) i+ (a y+ b y) j+ (a z+ b z) k ˆProdotto scalare:d= a b= a
 b=jajjbjcos( ) ˆProdotto vettoriale: e= a^ b=det  i j k axa ya z bxb yb z , jej=jajjbjsen( ) N.B. a b= b ae a^ b= b^ a 1.3 Esercizi di autovalutazione su WeBeep 1 2 Esercizio 1 - Legge di moto 'Minimum jerk' Il sistema nervoso centrale programma e attua una traiettoria che minimizzi lo spazio percorso e con una legge di moto che permetta al movimento di essere il piu uido possibile. La uidita del movimento e rappresentata dal jerk: j erk=x000 (t) =d 3 x(t)dt 3 Piu il movimento e uido, piu il valore del jerk e basso. Massimizzare la uidita di movimento, in termini matematici, signi ca mimizzare il JERK COST, dove: j erkcost=R t=t f t=t ix 000 (t)2 dx Per trovare analiticamente x(t) che minimizzi il jerk cost devo valutare il jerk cost per ogni x(t) considerata. In letteratura, il problema e stato arontato utilizzando il metodo del CALCOLO DELLE VARIAZIONI (Hogan 1984), che permette di minimizzare la funzione in esame. Risol- vendo l'integrale del jerk cost per parti, si evince che x(6)=0, i.e., la derivata sesta di x(t) deve essere nulla, conducendoci quindi alla soluzione con la forma generica di un polinomio di quinto grado nella forma: x(t) =a 0+ a 1t +a 2t2 +a 3t3 +a 4t4 +a 5t5 ESEMPIO: Supponiamo di voler muovere la nostra mano dal punto A al punto B che distano tra di loro 67.5 centimetri in un intervallo temporale di 1.4 secondi.Si chiede di trovare la legge di moto a 'minimum jerk' che permette alla mano di compiere questo movimento.Nota: e possibile confrontare il risultato teorico con il dato sperimentale fornito nel le 0AcquisizioneM E M Straiettoria:txt0 2 3 Esercizio 2 Il sistema in Figura 1 e costituito da un disco scanalato in grado di ruotare intorno al proprio asse e da corpo rigido collegato ad una molla al centro del disco. Il corpo e libero di muoversi lungo la guida. Conoscendo la posizione e la velocita angolare iniziali del disco, rispettivamente pari a 0=6 e ! 0= 1rads e la sua accelerazione pari a _ != 0:5rad=s2 (equiversa) ed essendo la velocita del corpo lungo la guida pari aV=sin(2t)[m=s], con posizione inizialeX 0= 0 m, si chiede di calcolare l'equazione di moto di quest'ultimo rispetto al sistema di riferimento assoluto. Si calcoli inoltre il vettore accelerazione al tempot= 3s.Figure 1: Corpo su guida circolare Risultati1.Coordinate assolute:a x= 0 :89m=s2 ,a y= 2:084m=s2 ; 2.Coordinate relative:a N= 1 :796m=s2 ,a T= 1:3871m=s2 3.a= 2:269m=s2 3w v ESERCITAZIONE 2 Cinematica del corpo rigido Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 FormularioTeorema di Rivals per le velocita v B=v A+! ^(B A) Teorema di Rivals per le accelerazionia B=a A+_ !^(B A) +! ^! ^(B A) Moti relativi: velocitaV ass=V rel+V trasc 1 2 Esercizio 1 - Carrello per medicinali Il sistema in Figura 1 e un carello adibito al trasporto di medicinali in ospedale, ed e costituito da un corpo rigido di lunghezzal= 0:7m, le cui estremitaA,B sono vincolate a muoversi lungo una rampa formata da due rette di direzione nota. Nell'istante considerato, il corpo e orientato di un angolo=30o rispetto all'orizzontale. La velocita del puntoAe nota ed e pari av A=5 m/s diretta verso destra, mentre l'accelerazione ea A=0.3 m/s2 , equiversa.Figure 1: Carrello per medicinali che si muove lungo una rampa e schema cine- matico Nell'istante considerato, sapendo che il piano su cui scorre il puntoBe inclinato di un angolo =45o si chiede di calcolare: 1. i g.d.l. del sistema (vincolato); 2. la velocita e l'accelerazione del punto B (vB , aB ); 3. la velocita ed accelerazione angolare del corpo (!, _ !); Si determinino le soluzioni facendo riferimento al teorema di Rivals (per velocita ed accelerazione) e ai moti relativi (solo per la velocita). Risultati1.n=1 g.d.l. 2.v B=4.48 m/s, a B=20.1 m/s2 3.!= 5.23 rad/s, _!= 7.64 rad/s2 2 3 Esercizio 2 - Filtropressa Si consideri una sempli cazione della ltropressa utilizzata nelle industria far- maceutica per il processo di ltrazione di medicinali o antibiotici mostrata in Figura 2. Nell'istante considerato (atto di moto) si considerino le due cerniere A e B, estremi di un'asta di lunghezza variabile, distanti 1 metro. L'asta e vincolata in A al centro di un disco di raggioR= 0:1mche, rotolando senza strisciare sul piano, si occupa di pressare la sospensione cos da spingere il liq- uido attraverso il mezzo ltrante. Il disco ha velocita ed accelerazione angolari dirette come in gura e pari a = 10rad=se_ = 10rad=s2 , rispettivamente. Sapendo che all'istante considerato, l'angolomostrato in Figura 2 e pari a 30o , si determini la velocita angolare dell'asta AB.Figure 2: Schema cinematico di una ltropressa Si determinino le soluzioni facendo riferimento ai moti relativi. Risultati1. = 0.5 rad/s 3 ESERCITAZIONE 3 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Formulario Moti relativi: accelerazionea P;ass=a P;trasc+a P;rel+a P;cor, dovea P;cor= 2! ^V rel;P Chiusura cinematica: Equazione di chiusura vettori posizione:aei +bei =cei Vettori velocita: derivo prestando attenzione a quali parametri (modulo e fase) cambiano e quali sono costanti nel tempo. Vettori accelerazioni: derivo prestando attenzione a quali parametri ( modulo e fase) cambiano e quali sono costanti nel tempo.1 2 Esercizio 1 - Corpo rigido Il sistema in Figura 2 e costituito da un corpo rigido di lunghezzal= 0:7m, le cui estremitaA,Bsono vincolate a muoversi lungo due rette di direzione nota. Nell'istante considerato, il corpo e orientato di un angolo=30o rispetto all'orizzontale. La velocita del puntoAe nota ed e pari av A=5 m/s diretta verso destra, mentre l'accelerazione ea A=0.3 m/s2 .Figure 1: Asta vincolata Nell'istante considerato, sapendo che il piano su cui scorre il puntoBe inclinato di un angolo =45o si chiede di calcolare: 1. l'accelerazione del punto B (aB ); 2. l'accelerazione angolare del corpo ( _!); Si determinino le soluzioni facendo riferimento ai moti relativi e alle soluzioni relative alla velocita calcolate nell'esercitazione 2. Risultati1.a B=20.1 m/s2 2. _!= 7.64 rad/s2 2ga B A aA v A 3 Esercizio 2 - Filtropressa Si consideri una sempli cazione della ltropressa utilizzata nelle industria far- maceutica per il processo di ltrazione di medicinali o antibiotici mostrata in Figura 2. Un'asta di lunghezza variabile congiungente le due cerniere A e B, distanti 1 metro all'istante considerato. L'asta e vincolata in A al centro di un disco di raggioR= 0:1mche rotolando senza strisciare sul piano si occupa di pressare la sospensione cos da spingere il liquido attraverso il mezzo ltrante. Il disco ha velocita ed accelerazione angolari pari a = 10rad=se_ = 10rad=s2 , rispettivamente.Figure 2: Schema cinematico di una ltropressa Sapendo che all'istante considerato, l'angolomostrato in Figura 2 e pari a 30o , si determini: 1. la velocita e l'accelerazione del punto di contatto del disco tramite Rivals 2. l'accelerazione angolare dell'asta AB, facendo riferimento alle soluzionidell'esercitazione 2, nei seguenti modi: (a) Tramite i moti relativi (b) Mediante i numeri complessi con l'equazione di chiusura Risultati1.v c= 0 m/s, a c= -10 m=s2 2. _ = 1.36 rad/s2 3 ESERCITAZIONE 4 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Leg-press In gura 1 e rappresentato un attrezzo sportivo utilizzato nella preparazione atletica degli sciatori (leg-press).Figure 1: L'attrezzo Leg-press Si considerino i seguenti dati geometrici:ˆ = 30o ,= 15o ˆl 1= AO= 0:45m,l 2= AB= 0:43m,AG g= 0 :1m Inoltre, nell'atto di moto considerato (a tempo t=0), si conoscono:ˆ 0= 90o , 0= 0o La velocita angolare della coscia, con il verso riportato in gura 1, e pari a !1= 0 :5rad=s. Disegnare lo schema cinematico del meccanismo. Per l'atto di moto considerato, si chiede di calcolare: 1. la velocita del piede (v B) 2. l'accelerazione del piede (a B), se ! 1e costante 3. l'accelerazione del piede (a B), se _ ! 1= 1 :2rad=s2 equiverso con! 1 4. l'accelerazionea Gdel punto G gin quest'ultima condizione di moto 1 L'esercizio dovra essere risolto usando: 1. Teorema dei moti relativi 2. Chiusura cinematica con numeri complessiFigure 2: Schema dell'arto inferiore e dell'attrezzo Risultati I risultati sono: 1.v B= 0 :26m=s 2.a B= 0:045m=s2 3.a B= 0 :58m=s2 4.a G= (0 :555i0:02j)m=s2 2 Cinematica del corpo rigido Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2021/2022 1 Esercizio 1 - Stepper Il meccanismo di gura 1 rappresenta uno stepper da palestra. Le principali misure del sistema sono:O 1P =O 1Q =0.65m,O 1A =0.534m,O 2B =O 2A , = 8o ,O 1^ AO2= 60o . Sono note, con i versi riportati in gura, la velocita angolare! 1=0.7rad/s e l'accelerazione angolare _ ! 1= 4 rad=s2 dell'asta 1.Figure 1: Schematizzazione di uno stepper Si determinino il numero di gradi di liberta del sistema. Considerando es- clusivamente l'istante di moto rappresentato in gura, disegnare lo schema cin- ematico del meccanismo e calcolare: 1. la velocita angolare e l'accelerazione angolare_ del disco 2. la velocita angolare! 2e l'accelerazione angolare _ ! 2dell'asta 2 (esercizio aggiuntivo) Risultati1. GDL sistema = 1 2. = 9:33rad=s 3._ =74:8rad=s2 4.! 2= 0:35rad=s 5. _! 2= 12:6rad=s2 1 2 Esercizio 2 - Protesi Ginocchio In gura 2 e riportata una protesi di ginocchio, rappresentata schematicamente dal modello cinematico di gura 3. La protesi e di tipo policentrico, cioe l'articolazione che riproduce ha un centro di istantanea rotazione (C.I.R.) mo- bile in funzione della posizione assunta dalla protesi stessa. Tale accorgimento e utilizzato per facilitare il cammino, rendendo il movimento piu naturale e piustabile. La posizione iniziale del sistema e quella ragurata in gura 3 in cui si consideri il segmento solidale alla coscia vincolato a terra (telaioA 0B 0).Figure 2: Protesi policentrica Figure 3: Schema Cinematico protesi (coordinate espresse in mm) Per la posizione rappresentata in gura, sono noti: la velocita angolare della biella! g= 5 :1rad=se la sua accelerazione angolare _! g= 42 :5rad=s2 , entrambe in senso orario. Determinare: 1. la velocita e l'accelerazione angolare delle asteA 0A eB 0B 2. la velocita e accelerazione del punto G (esercizio aggiuntivo). 2.1 Risultati1.! AOA= 9:6rad=s,! BOB= 9:9rad=s; 2. _! AOA= 46rad=s2 , _! BOB= 18rad=s2 ; 3.V G= 2:1i+ 0:11j[m=s],a G= 11:7i+ 16:7j[m=s2 ] 2 ESERCITAZIONE 6 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Disco ed AstaFigure 1: Asta e Disco In Figura 1 e rappresentato un sistema composto da una asta OB che spinge un disco di raggio AH tramite un piolo posizionato nel suo centro A. Il disco, a sua volta, rotola senza strisciare su un piano inclinato di angolo=12 . Nell'istante di moto considerato, l'asta OB ha un'angolo=3 rad rispetto alla orizzontale ed una velocta angolare! 1= 0 :5rad=scon verso indicato in gura e accelerazione angolare _! 1= 1 :5rad=sequiverso con la velocita angolare. L'asta OB= 2m,OA= 1:5m,AH= 0:35m. Si chiede di trovare, sia usando una chiusura vettoriale che il terorema dei moti relativi: 1. La velocita angolare del disco di centro A; 1 2. La accelerazione angolare del disco di centro A 3. La velocita e l'accelerazione del baricentroG 1dell'asta OB 1.1 Risultati1.! AH= 2 :2184rad=s; 2. _! AH= 6 :0609rad=s2 ; 3.V G1= 0:433i+ 0:25j[m=s],a G1= 1:424i+ 0:5335j[m=s2 ]. 2 ESERCITAZIONE 7 - Dinamica del corpo rigido Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Formulario 1.1 Momento di inerzia di massa Il momento di inerzia di massa rispetto al polo 'O' e dato da: Jo=R vr2 dm=R vj x2 +y2 jdV Legge del trasporto:J o= J G+ mOG2 , doveJ Ge il momento di inerzia rispetto al centro di massa 1.1.1 Asta Omogenea JG= mL 212 , dove L e la lunghezza dell'asta 1.1.2 Disco JG= mr 22 , dove r e il raggio del disco 1.1.3 Anello sottile JG= mR2 , dove R e il raggio dell'anello 1.2 Equilibrio dinamico Corpo Rigido PJ FJ+ Fin P J( P J O)^ FJ+P K CK+ Cin+ ( GO)^ Fin 1.2.1 Asta omogenea Fin= m a G  Cin= J G _ 1 2 Apertura cancello automatico In gura 1 e mostrato lo schema cinematico di un letto da ospedale. Nel det- taglio, lo schienale viene azionato da un attuatore idraulico a doppio eetto in grado di esercitare una forza lungo la direzione del pistone stesso.Figure 1: Schema cinematico di un letto da ospedale Del sistema sono note tutte le grandezze geometriche (O 1G = 0:4m,O 1A = 0:9m,= 100o ,= 45o ), la velocita e l'accelerazione angolare della testiera del letto pari rispettivamente a!= 0:5rad=se _!= 0:5rad=s2 dirette come in gura 1. Sono note inoltre le proprieta inerziali dello schienale che sorregge il paziente (m= 30kg,J G= 2 :5kgm2 ), mentre si consideri trascurabile la massa del pistoneO 2A . Si calcoli (in assenza del paziente): 1. la velocita di allungamento del pistonev r 2. la minima forza F che il pistone deve essere in grado di generare pergarantire il movimento 3. le reazioni vincolari inO 1e O 2 2 Risultati 1.v r= 0 :4432m=s 2.F= 98N(parallela all'astaO 2A , verso sinistra se agisce su astaO 2P , verso destra se agisce sull'astaP A) 3.H O1= 73 :94N VO1= 240 :19N HO2= 80 :31N VO2= 56 :23N 3 ESERCITAZIONE 8 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2020/2021 1 Formulario 1.1 Bilancio di potenze PW+P Win= 0 dove:ˆw i;k= Fi;j  v pi;k(considerando la velocita nel punto di applicazione della forza) ˆw i;k= Ci;j  ! pi;k(considerando la velocita angolare dell'iesimo corpo rigido) ˆw in;i= m i a g;i  v g;i J g;i _ ! i  ! i(dove g e il centro di massa dell'iesimo corpo rigido) 1.2 Teorema dell'energia cineticaˆTeorema di Konig:E c=12 m  v g  v g+12 J g ! ! ˆTeorema dell'energia cinetica:P W=dE cdt (N.B. W e solo per le forze attive o reattive, NON inerziali) 1.3 AttritoˆCondizione di aderenza (attrito statico):jTj f sj Nj ˆAttrito dinamico:jTj=f dj Nj 1 2 Protesi Ginocchio In gura 1 e riportata una protesi di ginocchio, rappresentata schematicamente dal modello cinematico di gura 2. La protesi e di tipo policentrico, cioe l'articolazione che riproduce ha un centro di istantanea rotazione (C.I.R.) mo- bile in funzione della posizione assunta dalla protesi stessa. Tale accorgimento e utilizzato per facilitare il cammino, rendendo il movimento piu naturale e piustabile. La posizione iniziale del sistema e quella ragurata in gura 2 in cui si consideri il segmento solidale alla coscia vincolato a terra (telaioA 0B 0).Figure 1: Protesi policentrica Figure 2: Schema Cinematico protesi (coordinate espresse in mm) 2.1 Cinematica (cfr. ESERCITAZIONE 5) Per la posizione rappresentata in gura, determinare la velocita e l'accelerazione angolare delle asteA 0A eB 0B e la velocita e accelerazione del punto G (essendo noti la velocita angolare della biella! g= 5 :1rad=se la sua accelerazione ango- lare _! g= 42 :5rad=s2 , entrambe in senso orario). 2.2 Dinamica Si considerino i seguenti dati inerziali per la componente tibiale (corpo rigido AB): massa pari aM AB= 3 kge momento di inerzia baricentricoJ G= 0 :1kgm2 . Si considerino inoltre i due bilanceri (asta AA0 e asta BB0) di massa trascur- abile. 2 Si calcoli la coppia che un motore elettrico posto sulla cerniera B0 deve erogare all'asta BB0 per garantire al sistema la condizione di moto descritta in al punto 1.1. 2.3 Risultati1.! AOA= 9:6rad=s,! BOB= 9:9rad=s; 2. _! AOA= 46rad=s2 , _! BOB= 18rad=s2 ; 3.V G= 2:1i+ 0:11j[m=s],a G= 11:7i+ 16:7j[m=s2 ] 4.C= 11N m, in senso orario 3 3 Leg-press In gura 3 e rappresentato un attrezzo sportivo utilizzato nella preparazione atletica degli sciatori (leg-press).Figure 3: L'attrezzo Leg-press Si considerino i seguenti dati geometrici:ˆ = 30o ,= 15o ˆl 1= AO= 0:45m,l 2= AB= 0:43m,AG g= 0 :1m Inoltre, nell'atto di moto considerato (a tempo t=0), si conoscono:ˆ 0= 90o , 0= 0o 3.1 Cinematica (cfr. ESERCITAZIONE 4) La velocita angolare della coscia, con il verso riportato in gura 4, e pari a !1= 0 :5rad=s. Disegnare lo schema cinematico del meccanismo. Per l'atto di moto considerato, si chiede di calcolare: 1. la velocita del piede (v B) 2. l'accelerazione del piede (a B), se ! 1e costante 3. l'accelerazione del piede (a B), se _ ! 1= 1 :2rad=s2 equiverso con! 1 4. l'accelerazionea Gdel punto G gin quest'ultima condizione di moto 3.2 Dinamica Considerando i seguenti dati di massa: 1. massa del piede piu carico:M Gp +m= 40kg(massa da considersarsi puntiforme) 4 2. massa della coscia m AO = 10kge momento di inerzia baricentricoJ AO = 0:3kgm2 . Si consideri il baricentro della coscia posizionato a 1/3 dell'asta AO. 3. massa dello stincom AB = 5kge momento di inerzia baricentricoJ AB = 0:15kgm2 Si calcoli la coppia che il muscolo quadricipite deve applicare all'asta AO per garantire la condizione di moto desiderata (nel caso di accelerazione della coscia diversa da zero).Inoltre, usando lo stesso schema a meccanismo FERMO (v= 0m=s,a= 0m=s2 , mag= 9:81m=s2 ) e sostituendo nel punto B il carrello, con una massa MGp +m= 40kgincernierata in B che striscia sul piano inclinato (vedi Figura 5), veri care che la massa non scivoli. Si consideri un coeciente di attrito staticof s= 0 :8 tra massa e piano inclinato.Figure 4: Schema dell'arto inferiore e dell'attrezzo 5 Figure 5: Schema dell'arto inferiore e dell'attrezzo per Veri ca Attrito Risultati I risultati sono: 1.v B= 0 :26m=s 2.a B= 0:045m=s2 3.a B= 0 :58m=s2 4.a G= (0 :555i0:02j)m=s2 5.C= 119N m, diretta comew 1 6. La massa non scivola 6 ESERCITAZIONE 9 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2021/2022 1 Carrozzina elettrica In gura 1 e riportata una carrozzina elettrica insieme al suo modello cine- matico. La carrozzina e guidata elettricamente da un motore posto sulla ruota posteriore di raggioR 1, che nell'atto di moto rappresentato, eroga una coppia CM. Entrambe le ruote rotolano senza strisciare sul piano di appoggio.Figure 1: Pannello di sinistra: esempio di carrozzina elettrica; Pannello di de- stra: schema cinematico. Le caratteristiche geometriche ed i parametri inerziali del sistema sono ri- portati in Tab. 1.Si chiede di determinare la reazione vincolare parallela al piano sul puntoH 2 (chiamataH H2) e la coppia C Mnecessaria a garantire l'atto di moto considerato nelle seguenti condizioni: 1. In assenza di attrito volvente (si consideri quindif v= 0), con entrambe le ruote che rotolano senza strisciare sul terreno; indicare inoltre se risulta 1 Parametri della carrozzina R 1[m]0.6 R2[m]0.4 GC2[m]C 1C 2= 2 [rad]= 6 fs-0.8 fd-0.5 fv-0.03 m1[kg]2 m2[kg]1.5 mC1C2[kg]0.5 J1[ kgm2 ]0.5 J2[ kgm2 ]0.3 JC1C2[ kgm2 ]0.8 !1[rad/s]1.5 _ ! 1[ rad=s2 ]0.5 Table 1: Parametri della carrozzina veri cata la condizione di aderenza sulla ruotaR 2(coeciente di attrito staticof s) 2. In presenza di attrito volvente su entrambe le ruoteR 1e R 2; considerare un coeciente di attrito volventef vin Tabella 1 per entrambe. 3. Supponendo che l'utilizzatore della carrozzina abbia frenato la ruota da-vanti, arrivando a bloccarla. Si modelli questa condizione considerando un incastro sul puntoC 2tra disco R 2ed asta C 1C 2(al posto di una cerniera). Si utilizzi il coeciente di attrito dinamicof din Tabella 1 per la ruota 2. Si consideri assente l'attrito volvente per la ruota 1. Risultati1.H H2= 0 :5625N(diretta verso destra),C M= 1 :3075N m 2.H H2= 1 :1058N(diretta verso destra),C M= 2 :0138N m 3.H H2= 65 :20N(diretta verso destra),C M= 40 :0907N m 2 ESERCITAZIONE 10 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2021/2022 1 Macchina a 1 GdL L'impianto di sollevamento rappresentato in gura e movimentato da un motore con curva caratteristica nota, collegato ad una trasmissione ad assi ortogonali con rendimento d=  r= e rapporto di trasmissione. All'uscita della trasmissione e collegata una puleggia di momento di inerzia baricentricoJ 1e raggioR 1. Sulla puleggia si avvolge senza strisciare una fune inestensibile la cui estremita si avvolge, a sua volta senza strisciare, su una seconda puleggia costituita da una coppia di dischi concentrici e rigidamente collegati tra loro di massa complessivaM de momento d'inerzia baricentrico J d, raggio esterno R 1 ed internoR 2. Il disco di raggio maggiore R 1rotola senza strisciare su un piano orizzontale, si consideri un coeciente di attrito statico pari af se la resistenza al rotolamento tramite un coecientef v. Sul disco di raggio minore R 2si avvolge senza strisciare un ulteriore fune inestensibile collegata ad una massa M che striscia con coeciente di attrito dinamicof dsu un piano inclinato di un angolo.Figure 1: Impianto di sollevamento: Schema e curva caratteristica del motore 1. Si determini la velocita angolare della coppia di dischi di massaM din condizione di regime (velocita costante), con la massa M in fase di solle- vamento (in salita). 2. Si calcoli l'accellerazione del sistema allo spunto (condizione di velocitanulla e coppia del motore pari aC m;0), in salita. 3. Si eettui la veri ca di aderenza della coppia di dischi di massaM dnelle condizioni del punto 2. 4. Si discuta la condizione di moto (diretto o retrogrado) nel caso in cui ilsistema si trovasse in condizione di regime, in discesa. 1 ESERCITAZIONE 11 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2021/2022 1 Esercizio su MTU - Macchina sollevatrice La macchina in Figura 1 1 e composta da un motore di inerziaJ me coppia motriceC m= C 0(1 ! m! s). Il motore e collegato ad una trasmissione con rap- porto di trasmissione rendimenti diretto e retrogrado rispettivamente di de r. Alla trasmissione e calettata una puleggia di raggio R1 su cui si avvolge senza strisciare una fune instensibile che sorregge da un lato la massa m1 e dall'altro si avvolge senza strisciare su una seconda puleggia, di massa trascurabile, di raggio R2, per poi vincolarsi a terra all'estremo opposto di tale puleggia. Al centro della puleggia 2 e vincolata, tramite una fune instensibile, una massa m2=3m1.Figure 1: Schema della macchina di sollevamento Si chiede di:ˆcalcolare l'accelerazione allo spunto nel caso si voglia sollevare la massa m2, supponendo che il sistema parta da fermo; ˆcalcolare la coppia e la corrispondente velocita del motore necessaria per sollevare la massa m2 a velocita costante; ˆcalcolare la coppia necessaria per far discendere la massa m2 a velocita costante. 1 2 Esercizio su sitemi vibranti 1 GdL In Figura 2 e rappresentato un sistema vibrante. Si chiede di:1. indicare l'espressione corretta per il modulo dell'allungamento della mollak1 2. indicare l'espressione corretta per il modulo dell'allungamento della mollak2 3. calcolare l'espressione dei parametri equivalenti del sistema 4. scrivere l'equazione dierenziale che ne descrive il moto libero 5. calcolare la risposta del sistema sapendo che all'istante iniziale il sistemaabbia uno spostamento iniziale della massa traslante pari ax 0e velocita nulla.Figure 2: Sistema vibrante 2 ESERCITAZIONE 12 Meccanica Applicata alle Macchine per Ingegneria Biomedica A.A. 2021/2022 1 Esercizi su sitemi vibranti 1 GdL Per il sistema in gura 1, considerandolo giacente su un piano orizzontale (NB. il disco di raggio R1 al quale e applicata la forzante C(t) ha massa trascurabile), si scriva l'equazione dierenziale che descrive il moto, scegliendo opportunamente la coordinata libera, e si determinino: 1. i parametri equivalenti del sistema 2. la frequenza propria 3. la risposta del sistema forzato a regime quando una coppia C(t) e applicataal disco (e lo spostamento di vincolo y(t) e uguale a zero). 4. la risposta del sistema forzato a regime se oltre alla coppia C(t) si aggiungelo spostamento di vincolo imposto al gruppo molla-smorzatore 1 pari a y(t)1 Meccanica Applicata alle Macchine 2021 - 2022 ESEMPIO TEMA D’ESAME SEZIONE 1 – CINEMATICA Si consideri il seguente sistema posto nel piano verticale . 1) Con riferimento ai vettori per la chiusura cinematica indicati in figura , si scriva l’equazione vettoriale e si indichi quali variabili sono costanti e dipendenti dal tempo. 2) Si calcoli il vettore velocità del punto B . 3) Si indichi modulo e direzione della velocità di trascinamento del punto B, considerando una terna traslante posizionata nel punto A. S EZIONE 2 – DINAMICA Si consideri il seguente sistema, posto nel piano verticale . 4) Si calcolino le reazioni vincolari agenti nel punto D. 5) Si indichi l’espressione del bilancio delle potenze del sistema . SEZIONE 3 – MTU Si consideri il seguente sistema, posto nel piano verticale . 6) Si indichi l’espressione della potenza associata agli attriti presenti nel sistema che forniscono un contributo in termini di potenza non nullo. 7) Si indichi l’espressione della potenza lato utilizzatore nell’ipotesi di moto a regime con il disco D in salita e si discuta la tipologia di moto (i.e., diretto o retrogrado). SEZIONE 4 – VIBRAZIONI Si consideri il seguente sistema vibrante, posto nel piano verticale . 8) Si indichi il legame cinematico tra l’allungamento della molla k1 e la coordinata libera del sistema (i.e., l’angolo teta). 9) Si calcoli il valore del lo smorzamento equivalente del sistema. 10) Considerando i parametri equivalenti del sistema (i.e., Jeq, keq, req ), si indichi l’espressione della funzione di trasferimento tra la forzante F(t) e la coordinata libera del sistema teta a regime .