Biomedical Engineering - Meccanica Applicata alle Macchine

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Politecnico di Milano SCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL’INFORMAZIONE Laurea Triennale – Ingegneria Biomedica Dispensa di Meccanica Applicata alle Macchine Professor e Paolo Schito Studente Loris BARBIERO – 887014 Anno Accademico 2 020 – 2021 1 Sommario 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE ................................ ................................ .... 3 1.1 Posizione ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 3 1.2 Velocità ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 3 1.3 Accelerazione ................................ ................................ ................................ ............................. 4 1.4 Moto del punto materiale ................................ ................................ ................................ .......... 5 1.4.1 Moto rettilineo ................................ ................................ ................................ ................................ .. 5 1.4.2 Moto circolare ................................ ................................ ................................ ................................ .. 5 2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO ................................ ................................ ........... 6 2.1 Posizione ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 6 2.2 Velocità ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 6 2.3 Accelerazione ................................ ................................ ................................ ............................. 7 2.4 Moto del corpo rigido ................................ ................................ ................................ ................. 8 2.4.1 Moto traslatorio ................................ ................................ ................................ ............................... 8 2.4.2 Moto rotatorio ................................ ................................ ................................ ................................ .. 8 2.4.3 Moto rototraslatorio ................................ ................................ ................................ ......................... 8 3. VINCOLI CINEMATICI & MOTI RELATIVI ................................ ................................ .. 9 3.1 Vincoli cinematici ................................ ................................ ................................ ....................... 9 3.1.1 Contatto di puro rotolamento ................................ ................................ ................................ .......... 9 3.1.2 Puro rotolamento tra due corpi ................................ ................................ ................................ ...... 10 3.2 Cinematica del punto con moti relativi ................................ ................................ .................... 10 3.2.1 Teorema dei moti relativi ................................ ................................ ................................ ................ 11 4. CATENE CINEMATICHE ................................ ................................ ......................... 13 4.1 Manovellismo ordinario centrato ................................ ................................ ............................ 13 4.1.1 Analisi cinematica con numeri complessi ................................ ................................ ....................... 14 4.1.2 Analis i cinematica con terne mobili ................................ ................................ ................................ 15 4.2 Manovellismo ordinario deviato ................................ ................................ .............................. 16 4.3 Glifo ................................ ................................ ................................ ................................ .......... 16 4.3.1 Analisi cinematica con numeri complessi ................................ ................................ ....................... 17 4.3.2 Analis i cinematica con terna mobile ................................ ................................ ............................... 18 4.4 Quadrilatero articolato ................................ ................................ ................................ ............. 19 4.4.1 Analisi cinematica con numeri complessi ................................ ................................ ....................... 19 4.4.2 Analisi cinematica con terna mobile ................................ ................................ ............................... 20 5. INTRODUZIONE ALLA STATICA E DINAMICA ................................ ......................... 22 5.1 Statica ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 22 5.1.1 Punto materiale ................................ ................................ ................................ .............................. 22 5.1.2 Corpo rigido ................................ ................................ ................................ ................................ .... 22 5.2 Dinamica ................................ ................................ ................................ ................................ ... 23 5.2.1 Punto materiale ................................ ................................ ................................ .............................. 23 5.2.2 Corpo rigido ................................ ................................ ................................ ................................ .... 23 5.2.3 Sistema di corpi rigidi ................................ ................................ ................................ ..................... 29 6. BILANCIO DI POTENZE & ATTRITI ................................ ................................ .......... 30 6.1 Bilancio di potenze ................................ ................................ ................................ ................... 30 6.2 Teorema dell’energia cinetica ................................ ................................ ................................ .. 30 6.3 Attrito radente ................................ ................................ ................................ ......................... 32 6.3.1 Attrito statico ................................ ................................ ................................ ................................ .. 32 6.3.2 Attrito dinamico ................................ ................................ ................................ .............................. 32 6.4 Attrito volvente ................................ ................................ ................................ ........................ 34 2 7. MTU ................................ ................................ ................................ ..................... 37 7.1 Componenti dell’MTU ................................ ................................ ................................ .............. 37 7.1.1 Motore ................................ ................................ ................................ ................................ ............ 37 7.1.2 Utilizzatore ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 38 7.1.3 Trasmissione ................................ ................................ ................................ ................................ ... 38 7.2 Moto diretto ................................ ................................ ................................ ............................. 38 7.3 Moto retrogrado ................................ ................................ ................................ ...................... 39 8. VIBRAZIONI ................................ ................................ ................................ .......... 43 8.1 Sistemi a parametri concentrati ................................ ................................ ............................... 43 8.2 Moto libero smorzato ................................ ................................ ................................ ............... 47 8.3 Moto forzato ................................ ................................ ................................ ............................ 49 8.3.1 Isolamento delle vibrazioni ................................ ................................ ................................ ............. 51 8.3.2 Forzamento dovuto allo spostamento di vincolo ................................ ................................ ............ 52 3 1. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE Per punto materiale si intende un elemento avente dimensioni geometriche nulle dotato però di massa. In natura , il punto materiale non esiste; esso costituisce soltanto la più semplice schematizzazione di un oggetto reale cui si ricorre quando non interessa distinguere fra loro le sue varie parti. Quindi il punto materiale può solo occupare una certa posizione o s po starsi da una posizione all’altra. Le posizioni occupate dal punto materiale e gli spostamenti da esso compiuti vanno valutati rispetto a un certo sistema di riferimento. Attraverso gli strumenti forniti dalla cinematica (ovvero posizione , velocità e a ccelerazione) è possibile descrivere completamente i movimenti di un punto materiale e, più in generale, di un corpo o di un sistema di corpi, in funzione del tempo. 1.1 Posizione Come sistema di riferimento prendo il piano cartesiano x -y (con versori i e j) oppure il piano complesso (o immaginario, con assi Re e Im). Il punto P descrive una traiettoria nel piano che rappresenta l’insieme delle posizioni occupate dal punto P nel tempo. La posizione occupata da P nel piano viene indicata con un vettore cong iungente l’origine degli assi e il punto materiale, questo infatt i viene detto vettore posizione (P). Inoltre, posso definire la posizione del punto materiale sulla sua traiettoria attraverso l’ ascissa curvilinea (s), che indica la posizione di P rispetto all’inizio della descrizione della traiettoria con uno scalare . Quindi posso scrivere la posizione di P come: ं(ߖ)= (޸− ޷)= ߚ(ߖ)क+ ߛ(ߖ)ख= ߚ(ߖ)+ ߋߛ(ߖ)= ʇं(ߖ)ʇ߇ౢಕ(౭) ʇं(ߖ)ʇ= หߚ(ߖ)஼+ ߛ(ߖ)஼ ࡦ(ߖ)= ߃ߔߖ߉ (ߛ(ߖ) ߚ(ߖ)) ccc Invece sfruttando l’ascissa curvilinea, quindi con dipendenza dallo scalare s(t): ं(ߖ)= ं(ߕ)= ं(ߕ(ߖ)) 1.2 Velocità La velocità è data dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo. Essa è una grandezza vettoriale, ossia dotata di modulo, direzione e verso. Posso calcolare la velocità andando a definire come varia la posizione in funzione del tempo, quindi la definisco sfruttando i Δ (che in grandezza infinitesima è d): ढ౏= Ĕđĕх౭ע஺ ं(ߖ+ хߖ)+ ं(ߖ) хߖ = ߆ं ߆ߖ Se sfrutto l’asci ssa curvilinea ottengo: ढ౏= ౝं(ट) ౝ౭ = ౝ౬ ౝ౭ ౝं(౬) ౝ౬ = ߕ̇ठ 4 Dove t è il versore tangente alla traiettoria, quindi posso affermare che il vettore velocità è SEMPRE tangente alla traiettoria. Posso riscrivere i l vettore velocità nei piani prima citati come: ढ౏= ߚ̇क+ ߛ̇ख= ߚ̇+ ߋߛ̇ [sono rispettivamente nel sistema cartesiano , sistema complesso ] Per quanto riguarda le coordinate polari , considero il modulo ʇं(ߖ)ʇ= ࡯: ढ౏= ߆ ߆ߖ (࡯߇ౢಕ)= ࡯̇߇ౢಕ + ߋࡦ̇࡯߇ౢಕ [dove il primo addendo indica la variazione del modulo ρ, mentre il secondo la variazione dell’angolo θ] Si noti nel grafico come ढ౏ si ottenga dalla somma dei due vettori ࡯̇ e ࡦ̇࡯. Prendendo la velocità come somma delle sue componenti x e y, ottengo: ढ౏= ߘ߇ౢಎ ߘ= √ߘ౱஼+ ߘ౲஼ ࡟= ߃ߔߖ߉ (ߘ౲ ߘ౱) [NB la velocità ha sempre verso in direzione del moto . La costante immaginaria i ruota l’angolo di 90° infatti: ߋ= ߇ౢಝ஼Ъ] 1.3 Accelerazione L’accelerazione valuta le variazioni di velocità ed è data dal rapporto tra la variazione di velocità e il tempo impiegato per ottenerla. Anch’essa è una grandezza vettoriale, ossia dotata di modulo, direzione e verso. Presi i due punti P(t), iniziale, e P(t+ Δt), finale, presi inoltre i loro vettori posizione e velocità tangenti alla traiettoria. Definisco il vettore accelerazione come la differenza tra i due vettori, quindi: ऍ౏= ߆ढ౏ ߆ߖ = ߆ ߆ߖ (ߕ̇ठ)= ߕ̈ठ+ ߆ठ ߆ߖ Il punto P si muove , per un istante, su una circonferenza avente raggio di curvatura pari a ρ di un certo raggio infinitesimo d θ, l’arco di circonferenza risulta: ߆ߕ = ࡯߆ࡦ ע ߆ࡦ ߆ߖ = Ϲ ࡯ ߆ߕ ߆ߖ Per Poisson: ౝठ ౝ౭ = ख़ × ठ= ౝಕ ౝ౭ च 5 Quindi l’acceleraz ione risulta essere: ऍ౏= ߕ̈ठ+ ߕ̇஼ ࡯ च In forma polare diventa: ऍ౏= ߆ ߆ߖ (ढ౏)= ߆ ߆ߖ (ߘ߇ౢಎ)= ߘ̇߇ౢಎ + ߋߘ࡟̇߇ౢಎ [l’accelerazione è composta da due componenti: tangenziale e normale ] 1.4 Moto del punto materiale 1.4.1 Moto rettilineo Il moto rettilineo è un particolare moto secondo cui il punto materiale P si muove lungo una retta, di conseguenza non c’è nessuna variazione di angolo nel tempo e quindi risulta che ࡦ̇= ϸɪ Le leggi che governano il moto sono: { ं = ߚक+ ߛख ढ= ߚ̇क+ ߛ̇ख ऍ= ߚ̈क+ ߛ̈ख = { ं = ߚ+ ߋߛ ढ= ߚ̇+ ߋߛ̇ ऍ= ߚ̈+ ߋߛ̈ = ዖ ं = ࡯߇ ౢಕ ढ= ࡯̇߇ౢಕ ऍ= ࡯̈߇ౢಕ [sono rispettivamente nel sistema cartesiano , sistema complesso , piano complesso con notazione polare ] 1.4. 2 Moto circolare Il moto circolare è un particolare moto secondo cui il punto materiale P si muove lungo una circonferenza, di conseguenza non c’è nessuna variazione di raggio nel tempo e quindi risulta che ࡯̇= ϸ. Per semplificare il tutto si usano solo le coordinate polari e le leggi che governano il moto sono: ዖ ं = ࡯߇ ౢಕ ढ= ߋ࡯ࡦ̇߇ౢಕ ऍ= ߋ࡯ࡦ̈߇ౢಕ − ࡯ࡦ̇஼߇ౢಕ [NB Il primo addendo nell’accelerazione è l’accelerazione tangenziale, mentre il secondo è la normale Il segno della velocità dipende da ࡦ̇ e se risulta maggiore di 0, ruota in senso antiorario Il segno dell’accelerazione dipende da ࡦ̈ e se risulta maggiore di 0, ruota in senso antiorario La componente normale ha verso SEMPRE verso il centro della circonferen za ] 6 2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Prima di spiegare i concetti di spostamento, velocità, accelerazione e moti di un corpo rigido, diamo alcune de finizioni importanti: - Corpo rigido : si intende un corpo indeformabile, cioè un corpo per il quale le dist anze tra i vari suoi punti si mantengono invariate anche sotto azione di forze - Posizione : è il vettore che congiunge ogni punto del corpo rigido all’or igine del sistema di riferimento - Movimento : è la descrizione di come cambia la posizione nel tempo, in qu esto caso parliamo di moto piano, quindi velocità e accelerazione giacciono sul piano direttore e la traiettoria sul piano - Atto di moto : è la “fotograf ia” delle velocità dei punti del sistema, quindi è una sorta di previsione istantanea del movimento che c ompirà il corpo . 2.1 Posizione Il corpo rigido, per sua definizione, non cambia forma e la distanza dei suoi punti resta invariata, quindi il movimento da esso compiuto è detto spostamento rigido . Inoltre, in un corpo rigido anche gli angoli tra i punti, presi gli stessi in momenti diff erenti, non cambiano, quindi l’angolo relativo risulta costante. [NB rotazione è una proprietà del corpo rigido, un punto materiale non può ruotare non avendo dimensioni] Presi un punto P, del corpo rigido, e un altro su o punto generico B, considero il vettore posizione di P ( P(t)), esso non basta a definire la posizione dell’intero corpo, quindi ci serve un angolo α preso tra il vettore congiungente P e B e la parallela all’asse x in P. Se per identificare la posizione del punto materiale bastava un ve ttore (due componenti), q uindi ha due gradi di libertà, per identificare sul piano un corpo rigido servono tre componenti, ossia quelle del vettore posizione si P e l’angolo che questo forma con un generico punto, quindi ha tre gradi di libertà (ߚ౏ɧߛ౏ɧ࡟). 2.2 Velocità Identifico due punti A e B nel corpo rigido, essi hanno il loro vettore posizione, e considero i due angoli α e β, che rappresentano rispettivamente l’inclinazione del vettore posizione di A e l’angolazione del vettore congiungente A con B (posizione an golare ). Quindi posso scrivere che: (ࣳ− ँ)= ߚీक+ ߛీख ɧ (ࣴ − ࣳ)= ߎ߇ౢಏ [notazione ibrida (cartesiana e polare) per isolare meglio la posizione relativa di B nei calcoli seguenti] Calcolo ora quindi il vettore posizione di B: (ࣴ − ँ)= (ࣳ− ँ)+ (ࣴ − ࣳ)= ߚీक+ ߛీख+ ߎ߇ౢಏ Quindi deriv ando ottengo la velocità del punto B: ढు= ߆ ߆ߖ (ࣴ − ँ)= ߚ̇ీक+ ߛ̇ీख+ ߋߎࡠ̇߇ౢಏ 7 [i primi due addendi si riferiscono alla velocità del punto A, mentre il terzo si riferisc e alla velocità di B relativa ad A, il segno dipende da ࡠ̇ ] Considerando la definizione di velocità angolare del corpo rigido ( ख़ = ࡠ̇ग) e il teorema di Rivals per le velocità : ढు= ढీ+ ख़ᨲ(ࣴ − ࣳ) Confronto ora l’equazione precedentemente ott enuta e il teorema di Rivals e ottengo le uguaglianze: ढు= ߆ ߆ߖ (ࣴ − ँ)= ߚ̇ీक+ ߛ̇ీख+ ߋߎࡠ̇߇ౢಏ ढు= ढీ+ ख़ᨲ(ࣴ − ࣳ) [velocità del punto A e velocità di B rispetto ad A ] 2.3 Accelerazione Compio lo stesso ragionamento a pplicato alla velocità, però partendo dalla velocità invece che dallo spostamento. La velocità, precedentemente calcolata, vale: ढు= ߚ̇ీक+ ߛ̇ీख+ ߋߎࡠ̇߇ౢಏ L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, quindi ott engo: ऍు= ߚ̈ీक+ ߛ̈ీख+ ߋߎࡠ̈߇ౢಏ − ߎࡠ̇஼߇ౢಏ Considerando la definizione di accelerazione angolare del corpo rigido ( ख़̇= ࡠ̈ग) e il teorema di Rivals per le accelerazioni : ऍు= ऍీ+ ख़̇ᨲ(ࣴ − ࣳ)− ࡷ஼(ࣴ − ࣳ) Co nfronto ora l’equazione precedentemente ottenuta e il teorema di Rivals e ottengo le uguaglianze: ऍు= ߚ̈ీक+ ߛ̈ీख+ ߋߎࡠ̈߇ౢಏ − ߎࡠ̇஼߇ౢಏ ऍు= ऍీ+ ख़̇ᨲ(ࣴ − ࣳ)− ࡷ஼(ࣴ − ࣳ) [accelerazione del punto A , accelerazione r elativa di B tangente e accelerazione relativa di B normale ] [NB l’accelerazione è composta da tre fattori di cui gli ultimi due sono le componenti dell’accelerazione relativa] 8 2.4 Moto del corpo rigido 2.4.1 Moto traslatorio Il moto traslatorio è un moto che permette di mantenere l’orientamento del corpo costante , ossia α è costante nel tempo. Le caratteristiche fondamentali di questo moto sono: 1. Tutti i punti hanno traiettorie (generiche: rettilinea, circolare, …) sovrapponibili (uguali ma parallele o spostate) 2. Tutti i punti hanno la stessa velocità (ढీ= ढు). [NB se le velocità sono uguali, lo sono anche le accelerazioni] 2.4.2 Moto rotatorio Il moto rotatorio è un moto che prevede che il corpo si muova attorno a un punto che ha velocità nulla, quindi spostamento costante (cioè resta fermo). Questo punto parti colare viene chiamato Centro di Istantanea Rotazione , ossia in breve CIR . Tutti i punti del corpo descrivono una traiettoria circolare attorno al CIR. Il CIR si trova analizzando le velocità di almeno due punti del corpo rigido, esso si ottiene dall’inte rsezione delle rette perpendicolari alle velocità (moto rotatorio ha le velocità perpendicolari al raggio). Quindi le equazioni del moto sono: ዐ ढు= ख़ᨲ(ࣴ − ࣳ)= ߋߎࡠ̇߇ౢಏ ऍు= ख़̇ᨲ(ࣴ − ࣳ)− ࡷ஼(ࣴ − ࣳ)= ߋߎࡠ̈߇ౢಏ − ߎࡠ̇஼߇ౢಏ 2.4.3 Moto rototraslatorio Il moto rototraslatorio descrive un moto generico di un corpo rigido, in generale vale che: - Non esiste un CIR - Le velocità sono tutte diverse. Per comprendere il comportamento di un corpo rigido devo analizzare l’atto di mot o che può essere suddiviso in: - Traslatorio: tutti i punti hanno la stessa velocità, e non nulla - Rotatorio: ammette la presenza di un CIR (che può non appartenere al corpo) Quindi le equazioni del moto sono: ዐ ढు= ढీ+ ख़ᨲ(ࣴ − ࣳ)= ߚ̇ీक+ ߛ̇ీख+ ߋߎࡠ̇߇ౢಏ ऍు= ऍీ+ ख़̇ᨲ(ࣴ − ࣳ)− ࡷ஼(ࣴ − ࣳ)= ߚ̈ీक+ ߛ̈ీख+ ߋߎࡠ̈߇ౢಏ − ߎࡠ̇஼߇ౢಏ [NB se il moto è rotatorio esiste il CIR, se il moto è traslatorio il CIR -> ∞, ino ltre il CIR si può spostare, cioè avere una accelerazione ] 9 3. VINCOLI CINEMATICI & MOTI RELATIVI 3.1 Vincoli cinematici I vincoli cinematici sono delle “limitazioni” che impediscono, del tutto o in parte, i movimenti di un punto materiale o un cor po rigido. Esistono in generale due tipi di vincoli: esterni , tra corpi rigidi, e interni , verso terra. Come già cita to nel capitolo precedente un corpo rigido ha tre gradi di libertà (il punto materiale invece due) che sono: movimento sull’asse x, movimen to sull’asse y e rotazione . I principali vincoli usati sono: 1. Incastro : vincolo triplo, quindi a 3 gradi di vincolo, ossia non concede né gli spostamenti lungo gli assi, né la rotazione 2. Cerniera : vincolo doppio, quindi a 2 gradi di vincolo, ossia non c oncede gli spostamenti lungo gli assi, ma concede la rotazione 3. Patti no / Manicotto : vincolo doppio, quindi a 2 gradi di vincolo, ossia non concede uno spostamento lungo gli assi, né la rotazione 4. Carrello : vincolo semplice, quindi ha un solo grado di vincolo, ossia non concede solo lo spostamento lungo un solo asse 5. Contatto di puro rotolamento : vincolo doppio, quindi ha due gradi di vincolo (approfondito sotto) [NB si parla sempre di movimenti bidimensionali sul piano x -y] 3.1.1 Contatto di pur o rotolamento Questo è un tipo di vincolo esterno particolare che prevede il contatto tra due corpi rigidi (quindi non c’è compenetrazione tra i corpi) di cui almeno uno è in rotazione . Il punto P, detto punto di contatto , appartiene a entrambe i corpi e vale: ߘ஻౧= ߘ஼౧= ߘ౧ Siccome non consideriamo la presenza di strisciamento si ha: ߘ஻= ߘ஼= ߘ Che è la nostra condizione di puro rotolamento (o rotolamento senza strisciamento). 10 Esempio: disco su guida rettilinea fissa Il disco viene cons iderato in due istanti del suo moto diversi, ipotizziamo che il disco rotola senza strisciare su un arco di circonferenza ࣶࣶࣳࣴ ๩ , quindi di un angolo φ, che corrisponde alla distanza ࣹࣹࣳࣴ ඪඪඪඪඪඪඪඪ sulla guida. Quindi posso scrivere: ዐࣶࣶࣳࣴ ๩ = ऄॖ(ठ) ࣹࣹࣳࣴ ඪඪඪඪඪඪඪඪ= ट(ठ) ע ऄॖ(ठ)= ट(ठ) Se la guida è rettilinea, anche la velocità è diretta parallelamente alla guida, così come l’accelerazione. Quindi derivo prima s(t), poi la velocità e ottengo l’accelerazione: { ढ= ऐट (ठ) ऐठ = ट̇(ठ)= ऄॖ̇(ठ)= ऄख़ (ठ) ऍ= ऐढ (ठ) ऐठ = ट̈(ठ)= ऄॖ̈(ठ)= ऄख़̇(ठ) = {ढ= ऄॖ̇(ठ)डआ ऍ= ऄॖ̈(ठ)डआ 3.1.2 Puro rotolamento tra due corpi In questo caso abbiamo due corpi rotanti a contatto in un punto P. Il sistema è composto quindi da due dischi aventi centri ޷஻ č ޷஼, raggi ޺஻ č ޺஼ e ruotano rispettivamente di un angolo ࡴ஻ č ࡴ஼. Per il vincolo di puro rotolamento dico che la velocità tangenziale nel punto di contatto è comune, quindi uguale , per i due corpi, quindi: {ढ஻= ޺஻ࡴ̇஻ड౓ ढ஼= ޺஼ࡴ̇஼ड౓ ע ޺஻ࡴ̇஻= ޺஼ࡴ̇஼ ע ࡲ= ࡴ̇஻ ࡴ̇஼= ޺஼ ޺஻= ࡷ஻ ࡷ஼ Dove ࡲ è detto rapporto di trasmissione . 3.2 Cinematica del punto con moti relativi In generale si parla di moto relativo per semplificare la cinematica del punto materiale nel piano. Esistono quindi due sistemi di riferimento da considerare: 1. Assoluto , solidale a terra e ne esiste in genere solo uno 2. Relativo , ce ne possono esse re infiniti . Esempio: tipi di sistemi di riferimento 11 Se usiamo dei sistemi di riferimento relativi, è più semplice porlo su una cerniera per apprezzare meglio la rotazione di un’asta (disegno sinistra). Se abbiamo per esempio un’asta con un pattino conviene prendere un sistema di riferimento sul primo corpo per apprezzare lo spostamento del carrello (disegno destra). 3.2.1 Teorema dei moti relativi Per combinare i moti semplici si utilizza il teorema dei moti relativi. Come ipotesi di par tenza conosciamo la posizione di ߚ஻ č ߛ஻, rispetto all’origine del sistema di riferimento assoluto, e il suo orientamento θ(t) (come identificare la posizione di un corpo rigido nel piano) . Preso il punto P, studio la cinematica usand o il sistema di riferimento relativo. La posi zione di P vale: (ं− ँ)= (ँ஻− ँ)+ (ं− ँ஻)= (ߚ஺क஺+ ߛ஺ख஺)+ (ߚ஻क஻+ ߛ஻ख஻) [posizione di SdR relativo rispetto l’assoluto e posizione di P relativa al SdR relativo ] Quindi conosco la posizione di P, derivo l’equazione prece dente e ottengo la velocità assoluta di P: ढ౏ీ౒౒ = ߚ̇஺क஺+ ߛ̇஺ख஺+ ߚ̇஻क஻+ ߛ̇஻ख஻+ ߚ஻ ߆क஻ ߆ߖ + ߛ஻ ߆ख஻ ߆ߖ [velocità di trascinamento dell’origine del SdR relativo , velocità relativa e velocità di tr ascinamento dovuta alla rotazione del SdR relativo ] [NB se il sistema di riferimento relativo non ruota rispetto al sistema assoluto allora l’ultimo fattore è nullo, infatti non c’è la derivata dei versori nel tempo perché il sistema assoluto NON ruota] Siccome ho un sistema che ruota nel tempo ho una varia zione di direzione dei versori ( Δi), quindi posso scrivere la velocità del punto B, che diventa B’, come: ढు= ख़ᨲ(ࣴ − ँ)= ख़ᨲक஻ Se ripeto lo stesso procedimento per il versore j, ottengo le due formule di Poisson . Quindi riscrivo l’equazione della velocità come: 12 ढ౏ీ౒౒ = ߚ̇஺क஺+ ߛ̇஺ख஺+ ߚ̇஻क஻+ ߛ̇஻ख஻+ ख़ᨲ(ं− ँ)= ढ౎ಳ+ ख़ᨲ(ं− ँ஻)+ ढ౏౑ౄో Quindi risulta la somma tra la velocità relativa e il moto rototraslatorio di un corpo rigido (come teorema di Rivals per le velocità): ढ౏ీ౒౒ = ढ౏౓౑ + ढ౏౑ౄో Ottenuta la velocità, derivo per avere l’accelerazione: ऍ౏ీ౒౒ = ߆ ߆ߖ (ढ౎ಳ+ ख़ᨲ(ं− ँ஻)+ ढ౏౑ౄో ) Per semplicità, derivo i tre pezzi divisi: ݛ ݜ ݚ ݜ ݙ ߆ ߆ߖ (ढ౎ಳ)= ߚ̈஺क஺+ ߛ̈஺ख஺ ߆ ߆ߖ (ख़ᨲ(ं− ँ஻))= ख़̇ᨲ(ं− ँ஻)+ ख़ᨲ(ढ౏౑ౄో + ख़ᨲ(ं− ँ஻)) ߆ ߆ߖ (ढ౏౑ౄో )= ߚ̈஻क஻+ ߛ̈஻ख஻+ ߚ̇஻ ߆क஻ ߆ߖ + ߛ̇஻ ߆ख஻ ߆ߖ = ऍ౏౑ౄో + ख़ᨲढ౏౑ౄో Quindi r isulta essere : ऍ౏ీ౒౒ = ߚ̈஺क஺+ ߛ̈஺ख஺+ ख़̇ᨲ(ं− ँ஻)+ ख़ᨲ(ख़ᨲ(ं− ँ))+ ߚ̈஻क஻+ ߛ̈஻ख஻+ Ϻख़ᨲढ౏౑ౄో [accelerazione origine terna mobile , accelerazione di trascinamento tangenziale (esiste se velocità e accelerazione angolare sono diver se da zero) , accelerazione di trascinamento normale (esiste se velocità e accelerazione angolare sono divers e da zero) , accelerazione relativa e accelerazione di Coriolis (esiste solo se velocità relativa e angolare sono diverse da zero ] Se abbrevio: ऍ౏ీ౒౒ = ऍ౎ಳ+ ऍ౓౑౓ + ऍ౓౑్ + ऍ౏౑ౄో + ऍ౏ూ౎౑ = ऍ౏౓౑ + ऍ౏౑ౄో + ऍ౏ూ౎౑ 13 4. CATENE CINEMATICHE Prima di tutto introduciamo due tipi di catene cinematiche: 1. Catena cinematica aperta : il sistema di corpi, tra loro collegati con vincoli (vincoli interni ), vengono ulteriormente vincolati ad un telaio in un solo estremo del sistema. Questo è un esempio di una catena aperta, in cui sono garantite indipendentemente le due rotazioni (2 gdl) ࡟ e ࡠ. Un esempi o di questo tipo è il sistema della gamba, costituito da aste e cerniere (anca , femore , ginocchio , tibia , caviglia e piede ) [il vincolo in rosso è il vicolo esterno che crea un collegamento con il telaio] 2. Catena cinematica chiusa : il sistema di corpi, tr a loro collegati con vincoli, vengono ulteriormente vincolati ad un telaio agli estremi del sistema. I tre sistemi più conosciuti sono: - Manovellismo ordinario : trasforma il mot o rotatorio di un punto in un moto traslatorio di un altro sfruttando due cern iere e un carrello - Quadrilatero articolato : incerniera un sistema di aste (incernierate tra loro) al telaio bloccandone quindi la traslazione - Glifo : incerniera due aste a un tela io, le quali sono collegate tra loro tramite un manicotto, ciò consente il mot o traslatorio del punto in cui si ha il vincolo interno , sfruttando il moto rotatorio delle due aste. 4. 1 Manovellismo ordinario centrato Viene definito il manovellismo ordinario centrato il sistema di aste avente una manovella, asta incernierata al telaio e alla seconda asta, e una biella, asta incernierata alla manovella e al carrello; inoltre è definito centrato perché la direzione del moto del carrello pa ssa per il vincolo esterno, il quale è il centro di rotazione del vincolo interno. Per r isolvere il problema di manovellismo si possono usare due diversi metodi: 14 1. Risoluzione mediante numeri complessi: - Collego i punti significativi dello schema cinemati co mediante vettori e scrivo l’equazione di chiusura: ߃߇ౢಎ + ߄߇ౢಏ = ߅ - Per calcolare velocità e accelerazioni derivo l’equazione di chiusura prestando attenzione a definire per ogni vettore cosa vari nel tempo (modulo e fase) (a e b costanti, ࡟, ࡠ e c funzioni del tempo) - Una variabile assegnata p er l’atto di moto sarà la variabile indipendente , le altre saranno calcolate come variabili dipendenti. 2. Risoluzione mediante terne mobili: - Scelgo un sistema di riferimento mobile conveniente e lo colloco s ul meccanismo in modo che si muova solidale con u n componente o un punto del meccanismo stesso - Definisco la cinematica di un punto significativo del meccanismo mediante l’applicazione del teorema dei moti relativi: ढు= ढుɧ౭౫ + ढుɧ౫౞౥ 4.1.1 Analis i cinematica con numeri complessi Prendo un classico sistema manovella -biella centrate di cui, per esempio, conosc o: - ߎ౦ౚ౧ = ߃ - ߎ౛ౢ౞ = ߄ - ߒߑߕߋߜߋߑߐ߇ ߃ߐ߉ߑߎ߃ߔ߇ ߏ߃ߐߑߘ߇ߎߎ߃ ߋߐ ߖ஺ - ߘౚ౧ౠ ߋߐ ߖ஺= ࡷ = ࡟̇ - ߃ౚ౧ౠ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇= ࡟̈ La posizione è data da: ߃߇ౢಎ + ߄߇ౢಏ = ߅ (equazione di chiusura) Da cui ottengo il sistema: {߃дċėě (࡟)+ ߄дċėě (ࡠ)= ߅ ߃дěđĖ (࡟)+ ߄дěđĖ (ࡠ)= ϸ ע ࡠ(࡟) ߇ ߅(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ Per ottenere la velocità derivo l’equazione iniziale (come anche il sistema): ࡟̇߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)+ ࡠ̇߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ)= ߅̇ ዐ−࡟̇߃дěđĖ (࡟)− ࡠ̇߄дěđĖ (ࡠ)= ߅̇ ࡟̇߃дċėě (࡟)+ ࡠ̇߄дċėě (ࡠ)= ϸ ע ࡠ̇ ߇ ߅̇ ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ 15 Stesso procedimento per le accelerazioni: ࡟̈߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)+ ࡟̇஼߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ)+ ࡠ̈߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ)+ ࡠ̇஼߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ)= ߅̈ ዐ−࡟̈߃дěđĖ (࡟)− ࡟̇஼߃дċėě (࡟)− ࡠ̈߄дěđĖ (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дċėě (ࡠ)= ߅̈ ࡟̈߃дċėě (࡟)− ࡟̇஼߃дěđĖ (࡟)+ ࡠ̈߄дċėě (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дěđĖ (ࡠ)= ϸ ע ࡠ̈ ߇ ߅̈ ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ 4.1.2 Analisi cinematica con terne mobili Prendo un classico sistema manovella -biella centrate di cui, per esempio, conosco: - ߎ౦ౚ౧ = ߃= ީ޷ඪඪඪඪ - ߎ౛ౢ౞ = ߄= ީުඪඪඪඪ - ߒߑߕߋߜߋߑߐ߇ ߃ߐ߉ߑߎ߃ߔ߇ ߏ߃ߐߑߘ߇ߎߎ߃ ߋߐ ߖ஺ - ߘౚ౧ౠ ߋߐ ߖ஺= ࡷ - ߃ౚ౧ౠ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇ Prendo per comodità la terna mobile in A (poiché trasla e non ruota) . Ana lizzo subito le velocità : ߘు = ߘుɧ౭౫ + ߘుɧ౫౞౥ ? = ࡷ дީ޷ + ? (ࡷీు дީު ) modulo //x = ۩ ީ޷ + ۩ ީު direzione Considerando il punto B, posso scomporre il suo moto in tre parti: 1. Moto assoluto: moto rettilineo lungo l’asse x 2. Moto relativo: moto circolare attorno al punto A Inoltre ho il moto di trascinamento solidale col sistema di riferimento con la velocità ed accelerazione di A. Conoscendo quindi ߘుɧ౭౫ (modulo direzione e verso) e le direzioni dei due vettori incogn iti, faccio la chiusura cinematica per trovarne il modulo: Di conseguenza trovo ࡷీు : ࡷీు = ዠߘుɧ౫౞౥ ުީ ዠ Faccio lo stesso per le accelerazioni: ߃ు = ߃ుɧ౭౫(౭) + ߃ుɧ౭౫(౧) + ߃ుɧ౫౞౥(౭) + ߃ుɧ౫౞౥(౧) + ߃ూ౨౫ ? = ࡷ̇ީ޷ + ࡷ஼ީ޷ + ?(ࡷ̇ీుީު ) + ?(ࡷీు஼ީު ) + - modulo //x = ۩ ީ޷ + // ީ޷ + ۩ ީު + // ީު + - direzione 16 Così trovo le grandezze incognite come ho fatto con le velocità. Questo studio può esse re applicato ad ogni punto del sistema e non solo agli estremi delle aste, per far ciò è consigliabile usare Rivals. 4. 2 Manovellismo ordinario de via to Viene definito il manovellismo ordinario deviato il sistema di aste avente una manovella e una biella; inoltre è definito deviato perché la direzione del moto del carrello non passa per il vincolo esterno, il quale è il centro di rotazione del vincolo interno. Il procedi mento, sia coi numeri complessi che con le terne mobili, è come prima però bisogna c onsiderare il salto d costante. 4.3 Glifo Il glifo è un sistema composto da tre elementi: 1. Manovella : compie un moto rotatorio ed è collegata al glifo tramite il corsoi o 2. Corsoio : compie un moto rettilineo ed è considerato il vincolo interno del sistema (manicotto) 3. Glifo : compie un movimento oscillatorio (rotatorio incompleto alternato) che viene imposto dal manicotto (o viceversa). [NB corsoio e glifo hanno stessa rotazione] 17 Come nel caso del manovllismo posso risolvere un problema in diversi modi: 1. Risoluzione tramite numeri complessi 2. Risoluzione tramite terne mobili 4.3 .1 Analisi cinematica con numeri complessi Prendo un classico si stema manovella -glifo di cui, per esempio, conosco: - ߎ౦ౚ౧ = ߃= ߅ߑߕߖ - ީ޷ඪඪඪඪ= ߆= ߅ߑߕߖ - ߃ߐ߉ ߖ߇ߎ߃ߋߑ = ࡢ= ߅ߑߕߖ - ߒߑߕ ߃ߐ߉ ߋߐ ߖ஺= ࡟(ϸ) - ߘ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷీు = ࡟̇ - ߃ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇ీు = ࡟̈ Inoltre dico che ࡠ è la posizione angolare del glifo, ߄ è la lunghezza del vettore congiungente il corsoio ad O e sono incognite . L’equazione di chiusura è: ߃߇ ౢಎ + ߆߇ ౢ಑ = ߄߇ ౢಏ Quindi: {߃дċėě (࡟)+ ߆дċėě (ࡢ)= ߄дċėě (ࡠ) ߃дěđĖ (࡟)+ ߆дěđĖ (ࡢ)= ߄дěđĖ (ࡠ) ע ࡠ(࡟) ߇ ߄(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ Per ottenere le velocità derivo le po sizioni, prima l’equazione di chiusura : ࡟̇߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)= ߄̇߇ౢಏ + ࡠ̇߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ) Mentre il sistema diventa: ዐ−࡟̇߃дěđĖ (࡟)= ߄̇дċėě (ࡠ)− ࡠ̇߄дěđĖ (ࡠ) ࡟̇߃дċėě (࡟)= ߄̇дěđĖ (ࡠ)+ ࡠ̇߄дċėě (ࡠ) ע ࡠ̇(࡟) ߇ ߄̇(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ Stesso procedimento per le accelerazioni: ࡟̈߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)+ ࡟̇஼߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ)= ߄̈߇ౢಏ + ࡠ̈߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ)+ ࡠ̇஼߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ)+ Ϻࡠ̇߄̇߇ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ) ߃౭+ ߃౧= ߃ు౫౞౥ + ߃ు౭౫ɧ౭+ ߃ు౭౫ɧ౧+ ߃ు౜౨౫ In forma di sistema: ዐ−࡟̈߃дěđĖ (࡟)− ࡟̇஼߃дċėě (࡟)= ߄̈дċėě (ࡠ)− ࡠ̈߄дěđĖ (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дċėě (ࡠ)− ࡠ̇߄̇дěđĖ (ࡠ) ࡟̈߃дċėě (࡟)− ࡟̇஼߃дěđĖ (࡟)= ߄̈дěđĖ (ࡠ)+ ࡠ̈߄дċėě (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дěđĖ (ࡠ)+ ࡠ̇߄̇дěđĖ (ࡠ) ע ࡠ̇(࡟) ߇ ߄̇(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ 18 4.3 .2 Analisi cinematica con terna mobile Prendo un classico sistema manovella -glifo di cui, per esempio, conosco: - ߎ౦ౚ౧ = ީުඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ީ޷ඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ߘ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷీు - ߃ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇ీు Inoltre dico che ު޷ඪඪඪඪ è la lunghezza del vettore congiungente il cors oio ad O ed è incognita. Analizzo subito le velocità: ߘు = ߘుɧ౭౫ + ߘుɧ౫౞౥ ࡷీు дީު = ? ( ࡷు౎ дު޷ ) + ? modulo ۩ ީު = ۩ ު޷ + // ު޷ direzione Considerando il punto B, posso scomporre il suo moto in tre parti: 1. Moto assoluto: moto circolare attorno ad A 2. Moto relativo: moto rettilineo lungo l’asse del glifo Inoltre ho il moto di trascinamento (moto circolare) solidale col sistema di riferimento. Conoscendo quindi ߘు (modulo direzione e verso) e le direzioni dei due vettori incogniti, faccio la chiusura cinematica per trovarne il modulo: Di conseguenza trovo ࡷు౎ : ࡷు౎ = ዠߘుɧ౭౫ ު޷ ዠ Faccio lo stesso per le accelerazioni: ߃ు(౭) + ߃ు(౧) = ߃ుɧ౭౫(౭) + ߃ుɧ౭౫(౧) + ߃ుɧ౫౞౥(౭) + ߃ుɧ౫౞౥(౧) + ߃ూ౨౫ ࡷ̇ީު + ࡷీు஼ ީު = ?(ࡷ̇ు౎ު޷ ) + ࡷు౎஼ ު޷ + ? + - + Ϻࡷు౎ ߘ౑ modulo ۩ ީު + // ީު = ۩ ު޷ + // ު޷ + ۩ ީު + - + ۩ ު޷ direzione 19 4.4 Quadrilatero articolato Il quadrilatero articolato è formato da una manovella , una biella e un bilanciere . La prima è incern ierata al telaio e alla biella ed è il lato che compie la rotazione completa ; la seconda è incernierata agli estremi alla manovella e al bilanciere e serve a riportare sul bilanciere il moto ; infine, il bilanciere è la componente che compie un moto oscilla torio. Regola di Grashof: ߎ౦ౢ౧ + ߎ౦ౚ౳ < щ߃ߎߖߔߋ ߎ߃ߖߋ Esistono diverse configurazioni del quadrilatero articolato, le quali dipendono dalla dimensione delle aste che lo compongono: - Manovella -bilanciere: il lato più corto è incernierato al telaio - Doppia manovella : il lato più corto è il telaio - Doppio bilanciere: il lato più corto è la biella ( ߎ౦ౢ౧ + ߎ౦ౚ౱ > щ߃ߎߖߔߋ ߎ߃ߖߋ ) 4.4 .1 Analisi cinematica con numeri complessi Prendo un classico sistema a quadrilatero articolato di cui, per esempio, cono sco: - ߎ౦ౚ౧ = ީ޷ඪඪඪඪ= ߃= ߅ߑߕߖ - ߎ౛ౢ౞ = ީުඪඪඪඪ= ߄= ߅ߑߕߖ - ߎ౛ౢ౥ = ުޫඪඪඪඪ= ߅= ߅ߑߕߖ - ߎ౭౞౥ = ޫ޷ඪඪඪඪ= ߆= ߅ߑߕߖ - ߒߑߕ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡟ - ߘ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷీ౎ = ࡟̇ - ߃ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇ీ౎ = ࡟̈ L’equazione della chiusura risulta essere: ߃߇ ౢಎ + ߄߇ ౢಏ = ߅߇ ౢಐ + ߆߇ ౢ಑ Che riscritto in un sistema: {߃дċėě (࡟)+ ߄дċėě (ࡠ)= ߅дċėě (ࡡ)+ ߆ ߃дěđĖ (࡟)+ ߄дěđĖ (ࡠ)= ߅дěđĖ (ࡡ) ע ࡠ(࡟) ߇ ࡡ(࡟) ߋߐ߅ ߑ߉ߐ ߋߖ߇ Per ottenere le velocità derivo le posizioni, prima l’equazione di chiusura: ࡟̇߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)+ ࡠ̇߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ)= ࡡ̇߅߇ ౢ(ಐ௄ಝ஼Ъ) E anche il sistema: ዐ−࡟̇߃дěđĖ (࡟)− ࡠ̇߄дěđĖ (ࡠ)= −ࡡ̇߅дěđĖ (ࡡ) ࡟̇߃дċėě (࡟)= ߄̇дěđĖ (ࡠ)+ ࡠ̇߄дċėě (࡟) ע ࡠ̇(࡟) ߇ ࡡ̇(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ Faccio lo stesso per le accelerazioni: 20 ࡟̈߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ஼Ъ)+ ࡟̇஼߃߇ ౢ(ಎ௄ಝ)+ ࡠ̈߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ஼Ъ)+ ࡠ̇஼߄߇ ౢ(ಏ௄ಝ)= ࡡ̈߅߇ ౢ(ಐ௄ಝ஼Ъ)+ ࡡ̇஼߅߇ ౢ(ಐ௄ಝ) ዐ−࡟̈߃дěđĖ (࡟)− ࡟̇஼߃дċėě (࡟)− ࡠ̈߄дěđĖ (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дċėě (ࡠ)= −ࡡ̈߅дěđĖ (ࡡ)− ࡡ̇஼߅дċėě (ࡡ) ࡟̈߃дċėě (࡟)− ࡟̇஼߃дěđĖ (࡟)+ ࡠ̈߄дċėě (ࡠ)− ࡠ̇஼߄дěđĖ (ࡠ)= ࡡ̈߅дċėě (ࡡ)− ࡡ̇஼߅дěđĖ (ࡡ) ע ࡠ̈(࡟) ߇ ࡡ̈(࡟) ߋߐ߅ߑ߉ߐߋߖ߇ 4.4 .2 Analisi cinematica con terna mobile Prendo un classico sistema a quadrilatero articolato di cui, per esempio, conosco: - ߎ౦ౚ౧ = ީ޷ඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ߎ౛ౢ౞ = ީުඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ߎ౛ౢ౥= ުޫඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ߎ౭౞౥ = ޫ޷ඪඪඪඪ= ߅ߑߕߖ - ߒߑߕ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺ - ߘ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷీ౎ - ߃ ߃ߐ߉ ߏ߃ߐߑߘ ߋߐ ߖ஺= ࡷ̇ీ౎ Pongo la terna mobile in A, o in B. Analizzo subito le velocità: ߘు = ߘుɧ౭౫ + ߘుɧ౫౞౥ ? ( ࡷుూ дުޫ ) = ࡷీ౎ дީ޷ + ? ( ࡷీు дީު ) modulo ۩ ުޫ = ۩ ީ޷ + ۩ ީު direzione Considerando il punto B , posso scomporre il suo moto in tre parti: 1. Moto assoluto: moto circolare attorno a C 2. Moto relativo: moto circolare attorno ad A Inoltre ho il moto di trascinamento solidale col sistema di riferimento con la velocità ed accelerazione di A. Conoscendo quindi ߘుɧ౭౫ (modulo direzione e verso) e le direzioni dei due vettori incogniti, faccio la chiusu ra cinematica per trovarne il modulo: 21 Di conseguenza trovo ࡷీు e ࡷుూ : ࡷీు = ዠߘుɧ౫౞౥ ުީ ዠ ࡷీు = ዠߘు ުޫ ዠ Faccio lo stesso per le accelerazioni: ߃ు(౭) + ߃ు(౧) = ߃ుɧ౭౫(౭) + ߃ుɧ౭౫(౧) + ߃ుɧ౫౞౥(౭) + ߃ుɧ౫౞౥(౧) + ߃ూ౨౫ ?(ࡷ̇ుూުޫ ) + ࡷుూ஼ ުޫ = ࡷ̇ీ౎ ީ޷ + ࡷీ౎஼ ީ޷ + ?(ࡷ̇ీుީު ) + ࡷ̇ీు ީު + - modulo ۩ ުޫ + // ުޫ = ۩ ީ޷ + // ީ޷ + ۩ ީު + // ީު + - direzione 22 5. INTRODUZIONE ALLA STATICA E DINAMICA 5.1 Statica 5.1.1 Punto materiale A determinare lo stato di quiete o di movimento di un punto materiale sono le azioni che si esercitano su di esso gli altri corpi circostanti, direttamente o a distanza. Queste azioni , dette forze, sono rappresentabili mediante vettori. L’uso dei vettori è giustificato dal fatto che l’effetto globale delle varie forze è equivalente a quello dovuto a un’unica forza pari alla loro somma vettoriale, che viene chiamata risultante. Poiché un punt o materiale non soggetto a forze non si mette in moto da solo, si può concludere che un punto materiale resta fermo , in equilibrio pur sotto l’azione di più forze, se la risultante di tali forze è nulla, ossia se è verificata la seguente equazione vettoria le: ऄ = ๓ ࣸౣ= ϸ ౧ ౣெ஻ O scomposto nelle sue componenti: { ๓ ޮ౱ౣ = ϸ ๓ ޮ౲ౣ = ϸ L’equazione precedente è l’equazione cardinale della statica del punto materiale. 5.1.2 Corpo rigido Poiché un corpo rigido fermo, non è soggetto né a forze né a coppie, non si mett e in moto da solo, si può concludere che esso resta fermo pur sotto l’azione di più forze e coppie, se complessivamente tale sistema di carichi è equivalente a un sistema nullo, ovvero se sia la somma delle forze sia quella dei momenti rispetto a un polo O qualsiasi (anche non appartenente al corpo) sono nulle. Quindi posso creare il sistema di equazioni vettoriali: { ๓ ࣸ = ϸ ๓ ࣿ ஺= ϸ Queste proiettate sugli assi diventano: ݛ ݜݚ ݜݙ๓ ޮ౱ౣ = ϸ ๓ ޮ౲ౣ = ϸ ๓ ޵஺= ϸ Queste condizioni costituiscono la legge cardinale della statica del corpo rigido. 23 Integrazione: momento e coppia di forze - P è il punto d i applicazione della forza - b è il braccio della forza rispetto al polo O ࣿ ୟ= (ं − ँ)ᨲࣸ= (ं − ः)ᨲࣸ+ (ޅ − ރ)ᨲࣸ = ±ऎࣸग [dove k è il versore perpendicolare al piano x -y] - A e B sono i punti di applicazione delle forze, uguali, parallele e opposte La somma delle forze è nulla, ma non il momento: ࣿ ୟ= (−ऎୠࣸ+ ऎୡࣸ)ग= (ऎୡ− ऎୠ)ࣸग = ऎࣸग Quindi la coppia non dipende dal polo scelto ma dalla distanza delle due direzioni 5.2 Dinamica 5.2.1 Punto materiale Se la risultante R non è nulla, non si verifica più la situazione di equilibrio e il punto si muove, obbedendo a una legge che è detta legge cardinale della dinamica o legge di Newton : ऄ = ๓ ࣸౣ= ߏऍ ౧ ౣெ஻ Riscritto nelle componenti: { ๓ ޮ౱ౣ = ߏ߃౱ ๓ ޮ౲ౣ= ߏ߃౲ = { ๓ ޮ౱ౣ + ޮ౱ɧౢ౧ = ϸ ๓ ޮ౲ౣ + ޮ౲ɧౢ౧ = ϸ Quindi dico che la forza inerziale vale : ޮౢ౧ = −ߏऍ Per il principio di D’Alembert si semplificano i problemi di dinamica a un problema di statica considerando le forze come forze inerziali, infatti: ๓ ࣸౣ+ ࣸౢ౧ = ϸ Infatti se le forze inerziali risultano nulle, si torna nella condizione di statica. 5.2.2 Corpo rigido Baricentro di massa Per semplificare il problema si consideri il corpo come un sistema discre to, costituito da un certo numero N di elementi finiti omogenei di forma semplice e dotati ciascuno di una porzione della massa complessiva. 24 ޵౭౨౭ = щ ߏ౤ ౤ La geometria con cui è distribuita la massa nel corpo determina per prima cosa la posiz ione del centro di massa ( baricentro ) G con le coordinate cartesiane: ߚె= щ ߏ౤ߚ౤ ౤ ޵౭౨౭ ɧ ߛె= щ ߏ౤ߛ౤ ౤ ޵౭౨౭ ߏ౤ߚ౤ e ߏ౤ߛ౤ sono detti momenti statici . Per un corpo rigido contin uo tridimensionale, dotato di una densità non uniforme, le coordinate del baricentro sono: ߚె= Ϲ ޵౭౨౭ ื ࡯(ߚɧߛɧߜ)дߚд߆޾ ౕ ɧ ߛె= Ϲ ޵౭౨౭ ื ࡯(ߚɧߛɧߜ)дߛд߆޾ ౕ Se invece si considera un corpo omogeneo ( ࡯= ߅ߑߕߖ ) e di spessore costante: ߆ߏ = ߆ީ ߊ࡯ ɧ ޵౭౨౭ = ީߊ࡯ Inserisco la definizione e queste equazioni nelle equazioni precedenti: ݛݜݚ ݜݙߚె= ࡯ߊ ޵౭౨౭ ื ߚд߆ީ ీ ߛె= ࡯ߊ ޵౭౨౭ ื ߛд߆ީ ీ ע ݛݜݚ ݜݙߚె= Ϲ ީื ߚд߆ީ ీ ߛె= Ϲ ީื ߛд߆ީ ీ Quindi il centro di massa è il centro geometrico della figura (sotto la condizione id densità omogenea). Note: baricentri - Se il corpo è simmetrico il baricentro è sull’asse di simmetria - Se ho due assi di simmetria il ba ricentro è nell’intersezione - se il corpo può essere suddiviso in sotto -parti posso calcolare i singoli baricentri e poi sommarli in modo pesato. 25 Punto di applicazione della forza peso ޵஺= ϸ= ๓ (ߚ౤− ߚ஺)ߏ౤߉ ౤ = ๓ ߚ౤ߏ౤߉ ౤ − ๓ ߚ஺ߏ౤߉ ౤ Elido la g e sposto il secondo fattore dall’altra parte dell’uguale: ๓ ߚ౤ߏ౤ ౤ = ߚ஺๓ ߏ౤ ౤ Isolando la ߚ஺: ߚ஺= щ ߚ౤ߏ౤ ౤ щ ߏ౤ ౤ = щ ߚ౤ߏ౤ ౤ ޵౭౨౭ Momento d’inerzia d i massa Il momento di inerzia di massa dice come viene distribuita la massa nel corpo rigido (per problemi piani si considera il momento di inerzia rispetto all’asse perpendicolare al piano). Considero un corpo rigido generico e prendo nello specifico un a sua parte infinitesima. Il momento d’inerzia rispetto all’asse z: ޲౎= ื ߔ஼ ౕ д߆ߏ = ื (ߚ஼+ ߛ஼)࡯д߆޾ ౕ Ipotizzo che: 1. Il corpo sia omogeneo ( ࡯= ߅ߑߕߖ ) 2. Lo spessore del corpo sia costante ( ߊ= ߅ߑߕߖ ). Quindi il precedente integrale diventa: ޲౎= ࡯ߊдื (ߚ஼+ ߛ஼)д߆ީ ీ Ed è il momento d’inerzia rispetto al polo O. Ora però voglio conoscere il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto ad un suo punto caratteristico, ossia il baricentro (premetto che il momento statico rispetto al baricentro è nullo). Per fare ciò sfrutto la legge del trasporto del momento d’in erzia: ޲౎= ޲ె+ ߏ д޷ޯ ஼ Conosco il momento d’inerzia rispetto al polo, calcolato in precedenza, e le coordinate del punto: ݛ ݚ ݙ ߚ= ߚె+ ߚ஻ ߛ= ߛె+ ߛ஻ ޲౎= ื (ߚ஼+ ߛ஼)࡯д߆޾ ౕ 26 Quindi ottengo: ޲౎= ื [ߚె+ ߚ஻]஼+ ౕ [ߚె+ ߚ஻]஼࡯д߆޾ Sviluppando i quadrati: ޲౎= ื (ߚ஻஼+ ߛ஻஼)࡯д߆޾ ౕ + ื (ߚె஼+ ߛె஼)࡯д߆޾ ౕ + ื Ϻߚ஻ߚె࡯д߆޾ ౕ + ื Ϻߛ஻ߛె࡯д߆޾ ౕ I termini in rosso si annullano per la premessa, cioè che il momento statico calcolato rispetto al baricentro sia nullo. Quindi ottengo: ޲౎= ื (ߚ஻஼+ ߛ஻஼)࡯д߆޾ ౕ + ื (ߚె஼+ ߛె஼)࡯д߆޾ ౕ = ޲ె+ ߏ д޷ޯ ஼ In particolare considero: ޲ె= ื (ߚ஻஼+ ߛ஻஼)࡯д߆޾ ౕ = ߏߔె஼ Dove ߔె è detto raggio giratorio . Il raggio giratorio descrive come le componenti di un oggetto sono distribuite attorno al suo ass e di rotazione. Può essere definito come la distanza da un polo alla quale dovrebbe trovarsi tutta la massa di un corpo rigido affinché il momento d’inerzia resti invariato. Esempio: corona circolare Esempio: asta 27 Riprendendo il principio di D’Alembert per il punto materiale: ๓ ࣸౣ+ ࣸౢ౧ = ϸ Lo applico al baricentro del corpo rigido: ࣸౢ౧ = −ߏऍె ע ๓ ࣸౣ− ߏऍె= ϸ Per estenderlo a tutto il corpo rigido bisogna applicare D’Alembert a tutti i punti del corpo rigid o, quindi è una distribuzione continue delle forze d’inerzia: ߆ࣸౢ౧ = −߆ߏ ऍ Tale distribuzione corrisponderà a: - Una forza risultante: ࣸౢ౧ = −ߏऍె - Una coppia risultante: ࣵౢ౧ = −޲ెि̇ Esempio: asta incernierata a terra 28 Se considero ࣸकच applicata nel baricentro devo trovare ࣵकच risultante dalla distribuzione di ࣸकच rispetto al baricentro dell’asta : Equazioni di equilibrio dinamico Quindi riassumendo, le equazioni di equilibrio dinamico per il corpo rigido nel piano sono: ݛݜݚ ݜݙ ๓ ࣸ�