Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

An.2 Bio 7-9-2022 1 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… teo ex1 ex2 ex3 ex4 totale Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. 1. Sia 2 : f RR una funzione continua nell’origine. Allora: (a) f potrebbe non essere differenziabile in   0,0 , (b) f ammette tutte le derivate parziali in   0,0 , (c) fè differenziabile in   0,0 , (d) il       yxf yx , lim 0,0,  può non esistere. 2. Sia 0n n a    una serie a termini non negativi ( 0 na  per ogni n). Allora: (a) se 0 na per n  , la serie converge; (b) se 1 n a  per n  , la serie diverge; (c) se la serie diverge, na non può tendere a zero; (d) se 0n n a    converge, allora 0 na . 3. Sia dato il problema di Cauchy    2 '' ' 0 0 ' 0 0 x y x y e y yc y          . Allora: (a) se 0 c, l’unica soluzione è   0 ux; (b) esistono valori di c per i quali il problema non ammette soluzioni; (c) se 1 c , la funzione costante uguale ad 1 è soluzione del problema; (d) nessuna delle risposte precedenti è esatta. 4. Definizione di curva regolare. 5. Criterio del confronto (enunciato e dimostrazione). An.2 Bio 7-9-2022 2 Ex 1 a) Determinare il dominio, il segno e gli eventuali punti critici della funzione   22 2 , yx exyxf   2 DR ;  0, 0 0 f ,   22 2 ,0 xy f x y x e   in    2\ 0, 0R     2 12,22 x xe yxf yx x   ,   22 2 2, yx y ye xyxf     0,  yxf →     y x 0 , oppure     001 2 yx ,     01 y x I punti critici di f sono   0,1 A ,   0,1  B e tutti i punti   hP h ,0 , h reale. b) studiare la natura dei punti critici     22 1522, 24yx xx exxyxf   ,     22 14, 2yx xy ex xy yxf   ,     22 122, 22yx yy eyxyxf   Punto A :   1 4  eAf xx < 0,   1 2  eAf yy ,   0  Af xy   2 8det  eAH f > 0 → A è un punto di massimo relativo con   1  eAf Punto B : per simmetria, anche B è un punto di massimo relativo con   1  eBf Punti hP :   2 2 h h xx ePf  ,   0  h yyPf ,   0  h xyPf ,   0det  hfPH → caso dubbio; poiché   0  hPf e f è non negativa in tutto il suo dominio, si conclude che i punti hP sono tutti di minimo assoluto. c) determinare la direzione v di massima crescita di f in   0,2 C e trovare il valore della derivata direzionale  CfD v e l’equazione del piano tangente in C al grafico di f. Poiché f è differenziabile in C , per la formula del gradiente, segue che la direzione di massima crescita è quella del gradiente, cioè   0, 124  ev e   4 12  eCfD v Equazione del piano tangente:     7342 12 4444   xexeez An.2 Bio 7-9-2022 3 Esercizio 2 Data la funzione     3 1log,yxyxf  , dopo averne precisato il dominio, stabilire se fè a) derivabile nell’origine   1, D   R Poiché   00,  xf per ogni x reale, segue   00,0  xf ; analogamente   00,0  yf . Dunque la funzione è derivabile in   0,0 b) differenziabile nell’origine primo modo:               3 3 3 2 2 2 2 log 1log 1 , 0, 0 0, 0 0, 0 log 1 xy xyxy f x y f f x f y y x x y x y          Dalla precedente maggiorazione, si deduce che:             , 0,022 , 0, 0 0, 0 0, 0 lim 0 xy xy f x y f f x f y xy      secondo modo:                        22 3 0,0, 22 0,0, 1log lim 0,00,00,0, lim yxyx yxyfxffyxf yx yx yx       3 0 3 0 1logcos lim 1logcos lim    sen sen 0cos lim 3 1 3 0     sen (si osserva che 0 0cos 3 1 3 1 3   sen , uniformemente rispetto a ). An.2 Bio 7-9-2022 4 Ex 3 Data l’equazione differenziale 08'2''zzz a) calcolarne l’integrale generale eq. caratt. 082 2  rr , 2 1  r e 4 2 r integrale generale   xx ececxz4 2 2 1   , 12, cc R b) calcolare l’integrale generale dell’equazione 24 '' 2 ' 8 16 2 6 x y y y x e      - ricerca di una soluzione particolare di 2 '' 2 ' 8 16 2 y y y x       c bxax xu 2 1 ,   b ax xu 2' 1,   axu 2'' 1  22 2 4 2 8 8 8 16 2a ax b ax bx c x         8 16 4 8 0 2 2 8 2a ab a b c                2a , 1 b  , 1  c quindi   2 1 21 u x x x   - ricerca di una soluzione particolare di x eyyy4 68'2''    x kxe xu 4 2  ,   xx kxeke xu 44 2 4'  ,   xx kxe ke xu44 216 8'' xxxxxx ek xek xe ke k xe ke444444 6882 16 8 628  kk → 1  k quindi   x xe xu 4 2  - Per il principio di sovrapposizione,   24 21 x u x x x xe    è una soluzione particolare dell’equazione data, il cui integrale generale è quindi   2 4 2 4 1221 x x x y x c e c e x x xe       , 12, cc R c) determinare la soluzione di x eyyy4 68'2'' , tale che   10  y e infinitesima per   x L’equazione data ha integrale generale:   xxx xe ececxy44 2 2 1  La condizione   10  y implica 0 21 cc, da cui 12 cc . La condizione     0 limlim 44 1 2 1      xxx xx xe ececxy implica 0 1 c . La soluzione richiesta è   x xe xy 4  . An.2 Bio 7-9-2022 5 Ex 4 Sia dato il campo vettoriale   4 2 4 2 2 ,2xy x y y x y x y         ij F , con   R . (a) determinare il parametro  in modo tale che il campo sia irrotazionale nel suo dominio A.   2\ 0, 0 AR ,  1CA  F Posto  142 2 ,x F x y xy   ,  2 42 ,2y F x y y xy  , risulta:     1 3 422 2 , F xy xy yxy    ,     3 2 3 422 ,2 F x y xy xxy    . Per 3   , essendo     yx x F yx y F ,, 21      , il campo è irrotazionale in A. (b) stabilire se, per tale valore del parametro, il campo ammette potenziale in    0, : 0yy    e, in caso affermativo, determinare una funzione potenziale Poiché  è semplicemente connesso, il campo è conservativo in  . Detto   yxUU ,  un potenziale, segue:     342 42 2 ,x U x y dx x y g y xy       , dove  ygg  è una funzione incognita da determinarsi tenendo presente che     42 ,' y y U x y g y xy    '2 g y y    2 g y y c con c costante arbitraria. Un potenziale è quindi   4 2 2 , U x y x y y c    (c) il campo è conservativo in A? Sì, il campo è conservativo nel suo dominio, poiché  2 U C A e U F in A.