Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Second partial exam

An. II – Bio 2/7/201 5 tema B 1/4 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… Esercizio 1 2 3 T Tot Voto Consegnare solo questi fogli. Domande di teoria 1. (1+3) Si enunci e si dimostri il criterio del confront o asintotico per serie numeriche . 2. (1+2) Si enunci e si dimostri il teorema sulla struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea . 3. (1+1+1) Si dia la definizione di insieme y -semplice e si scriva la formula di riduzione per il calcolo di integrali in insiemi y -semplici . Si scriva poi la formula per il calcolo di integrali in coordinate polari. An. II – Bio 2/7/201 5 tema B 2/4 Ex 1. (a) Si studi , al variare del parametro β reale, il comportamento dell a serie (b) Si calcoli la somma della serie (c) Data la successione , con , , dimostrare che se la serie è divergente, allora lo è anche la s erie . Soluzione (a) serie a termini positivi: ~ = Per il criterio del confronto asintotico, ricordando il comportamento della serie armonica generaliz zata, si conclude che se (cioè ), la serie converge , se , (cioè ), la serie diverge . (b) La serie data è somma di due serie geometriche convergenti = (c) Si consideri la successione . Possono verificarsi due casi: - per k abbastanza grande, e quindi per il criterio del confronto, la serie diverge - è falsa è falsa poiché la condizione necessaria alla convergenza non è verificata, la serie non può convergere, ed essendo a termini non negativi, diverge. ( ) ( ) ( )  + = − − + 2 3 2 3 log log3 log k k k e k k k k  ( )  + = − − 1 8 4 2 k k k k  ka 0ka N  k ( )  + =1 2 k ka  + =1k ka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 2 3 log 1 log log log3 log k e k k k e k k k k a k k k − + = − − + = −   ( ) ( )3 1log 1 ke k + 4 1 +k 3−  1 4 +  3−  1 4 +  ( ) = − −  + =1 8 4 2 k k k k           − + − − − =         − −      + = 1 2 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1 4 1 1k k k 3 2 ( )  2ka ( ) 0 lim 2= +→ k k a  0 lim = +→ k k a  1ka ( ) k k a a 2   + =1k ka ( ) 0 lim 2= +→ k k a  0 lim = +→ k k a   + =1k ka An. II – Bio 2/7/201 5 tema B 3/4 Ex 2. (a) Si trovi l’integrale generale dell’ equazione differenziale . (b) Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale . (c) Si risolva il problema di Cauchy Soluzione (a) equazione differe nziale omogenea associata : equazione caratteristica : , , Integrale generale dell’equazione omogenea : , ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa : , sostituendo L’i ntegrale generale richiesto è : , (b) ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa , , sostituendo L’integrale generale richiesto è : (c) Per il principio di sovrapposizione, l’in tegrale generale dell’equazione è : , . Segue . Dalle condizioni iniziali, segue: 1 3' 4'' = + − y y y te y y y = + − 3' 4'' () ()        = = + = + − 2 1 0' 3 4 0 1 3' 4'' y y e y y y t 0 3' 4'' = + − z z z 0 3 4 2 = + − r r 1 2 3 4 2  = −  =r 3 1= r 1 2= r () t t e c ec tz 2 31 + = R   2 1 ,c c () a t u = () 0 ' = t u 1 3 =a  3 1 =a  () 3 1 = tu () 3 1 2 31 + + = t t e c ec ty R   2 1 ,c c () t ate tu = () t t ate ae t u + = ' () t t ate ae t u + =2 '' t t t t t t e ate ate ae ate ae = + − − + 3 4 4 2 t t e ae = −2  2 1−=a  () tte tu 2 1−= () t t t te e c ec ty 2 1 2 31 − + = te y y y + = + − 1 3' 4'' () t t t te e c ec ty 2 1 3 1 2 31 − + + = R   2 1 ,c c () t t t t te e e c ec t y 2 1 2 1 3 ' 2 31 − − + = An. II – Bio 2/7/201 5 tema B 4/4 La soluzione del problema di Cauchy è quindi: Ex 3 Si c alcol i dove è l’insieme dei punti appartenenti al cerchio delimitato da ed esterni al cerchio delimitato da . Soluzione Passando a coordinate polari, risulta : o Il dominio di integrazione è quindi      = − + = + + 2 1 2 1 3 3 4 3 1 2 1 2 1 c c c c    = + = + 1 3 1 2 1 2 1 c c c c    = − + − = 1 1 3 1 1 1 1 2 c c c c    = = 1 0 2 1 c c () t t te e ty 2 1 3 1− + =  + D dxdy y x 2 2 D 0 2 2 2 = − + x y x 0 1 2 2 = − + y x 0 1 2 2 = − + y x  1=  0 2 2 2 = − + x y x    cos2=    = =    cos2 1  2 1 cos =   3   = 3   −= ( )       − =        cos2 1 ,3 3 : , 'D  + D dxdy y x 2 2 =       =        d d 3 0 cos2 1 2 2 ( ) ( ) = − − = − = =                d sen d d 3 0 2 3 0 3 3 0 cos2 1 3 1 cos 8 cos8 3 2 1 cos8 3 2 3 2 =    − =      − − = − − = 3 3 3 3 2 3 3 2 3 8 3 2 3 8 83 2 3 0 3       sen sen 9 2 3 2  − =