logo
  • userLoginStatus

Welcome

Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors.
Please disable your ad blocker to continue.

Current View

Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Appunti completi del corso

Complete course

Analisi 2 (p!e 1) Lezione 22 febbraio 2022 Esame Devi totalizzare perlomeno 5 punti sulla teoria e 10 punti sugli esercizi (stesso discorso per la seconda prova ), rimane la possibilità di sostenere l’ora le su richiesta dello studente. Si consiglia di prepararsi bene per L’orale perché il voto può essere alzato e abbassato allo stesso modo Cenni di topologia Topologia= studio dell’ambiente, ambiente in cui studieremo le nostre funzioni che avranno perlomeno 2 variabili Possibili ambienti di studio Def di intorno Intorno circolare (sferico) di xo di raggio r Def di insieme aperto Sia A R, si dice che A é un insieme aperto se Def di insieme chiuso Sia E R. Si dice che E é un insieme chiuso se E è aperto. Oss.Oss. Esistono insiemi che non sono nè aperti nè chiusi Def punto interno : Sia D R, sia x D. Si dice che x è interno all’insieme D se tale che Insieme di punti interni a D Oss: Oss LR',LR',LR"^IR'✗0=1×0,yo ) r>0r•✗0Br(✗a)={✗EIR'×-✗o0 } APERTOla•E :{ ix.g)c-IR'/×≥0,y.>o } ",ENONÈAPERTO.EÈCHIUSO?GUARDOILCOMPIEMENTRE,SÌE'CHIUSO^◦D:{ ix.y)✗.>0,Y>◦ }¥9 ☐NONÈAPERTO> Hammam sa"¥complementare☐NONE'CHIUSODatouninsieme:°≤2è◦ ] resoBr(✗a)CDÈ . È≤☐ ) :È=DC)☐e'aperto Def punto esterno Sia D R, sia x R. Si dice che x è esterno all’insieme D se tale che Def Punto di frontiera Sia D R, sia x R. Si dice che x é un punto di frontiera se L’insieme dei punti di frontiera si chiama frontiera o bordo di D e si indica con Esempio Tip la frontiera é il bordo dell’insieme, é ciò che devi cercare Oss Def di chiusura di D La chiusura si indica con Oss Oss Oss Def di punto di accumulazione Sia D R, Sia x R. Si dice che x é punto di accumulazione di D se Si dice derivato di D l’insieme dei suoi punti di accumulazione di D Un punto che non è di accumulazione é definito isolato Es Oss Che relazione c’è tra i punti di frontiera e i punti di accumulazione ? Nessuna ! Def di limitatezza Sia D R. Si dice che D è limitato se tale che Def di insieme compatto Sia D R. Si dice che D è compatto se D é limitato e chiuso. Es. Fine insiemistica nel piano c2◦E'◦ ] re>0Br(✗0 ) CD'E2◦E'o"tre>0,Br(xD☐≠∅eBr(✗o )n☐'≠ % •D=/ (×,y) 1≤✗'+y' R , D R. Sia xo un punto di accumulazione di D. Sia l R. Si dice che Se: Te o r e m a risulta che Es 2 ±> IEA ,]__≤"()a= {ix.y)y:O } Aèconnesso?sì A' èconnesso?Considerooraa'^a1>I>=,e22a=AiUA2provoaspezzarlo:A, :{( ×,0)✗2}ainAz={(2,0)}>intersezionenonvuota=>AèconnessoAi / (×,0,0) v.✗EIR} }µ ae-connesso?sì µ lA'e-connesso?sìlospezzoc- il lIR" ( conn≥2 ) don (E) = | ✗EIRf(×)esiste } ≤IR✗>fcx)1in (E) ={YEIR"/7✗Edon(f) percuif-(×)=Y }EIR"C-IRC-IR" G(f) = {(×,flx)K✗Edon(f)} ≤ È "E=f-(×)()f:IR>IR,i.1...mf=f(×):(fi(×),falx)...fnlx) ) ✗≠'✗↑'≥"✗ti>°↑Fi:IR>IR↑i=1...M✗2flx):(2",✗'+If/A) = (log(✗+1 ) ,2",,×'-"¥ ) ✗+,>'9× ) don (f) =(o>+co )f:IR>IR' f :IR>IR"D (f)?DI:(2)+ a) "≤^fi)=lEtim>✗◦-" VE >0,7ofUE)>0talechese✗EDe0CIx-✗ 01 R, xo (a,b), h reale tale che xo+ h (a,b). Si dice che f é derivabike in xo se Modi per indicarlo Oss Si chiama vettore derivato Oss Es Riprendiamo alcuni concetti Sono continue derivata prima e seconda in (a,b) f continua nell’aperto e in più continua a destra in a e a sinistra in b f derivabile è continua nell’aperto tale sta in C e anche la derivata prima sta in C Si può proseguire con C, C ecc ×» ( si ? ">'09''+×), ) = (1,0,-s )limlim✗→◦ (¥ )✗2-'×, 10911+(05×1)=11 ,-1,1092) ✗tsinxDSIR",DCIR,sia✗0ED."V-E>0, 76=61E) >otalechese✗EDeIx-✗◦I< V ,alloraI' ×)- E 1×0)0hDF(Xo):Iimq→◦=/(✗◦+h)- E ixo)h) E 'lxo)y,, lfilxothifzlxothh.FI/th))-fxf2 (✗0),...fn(xo) )) g.→◦I(✗0th)-f-Hd =limIimhh= linguaÈ(✗◦+h ) -f.eHo),%(✗0th)-Ta k o) ,...., fin' ◦+h)-%/✗° )) .-(fr)(),fa'(xo),...fn'io)) enenen1-= ( fi...fn) e'derivabile/¨)sonoderivfi...fnI4) =larctgx,109× ) D=(o>+co ) E'(×)-_ (I. ×,> ?)f:IR>IRC°( A ) , C°( a, b) ,C' (a.b) ,C•la,b)...C°([a.b]) :◦.sonotuttispazivettoriali(^([a.b]) :>[◦(a.b) :{I:(a,b)>IR"%...fncontinueinla,b)}12f:la>IR">C'la,b)={I:(a, b) iIR"fi...fn,%'...fn'continueinla,b)} '[◦ ([ a> b)=/I:(a.b]'IR"fi...fncontinuein[a,b)}' c'([ a. b)=/I:(a.b]'IR"f'...fn,fi...fn'continuein[a,b)} Curve Si tratta di una funzione a variabile reale a valori vettoriali Def di curva Sia I un intervallo R. Si dice arco di curva continua (curva) una funzione (n>2) tale che I è detto intervallo base della curva r=r(t) é detta equazione parametrica vettoriale della curva r=r(t) sono dette equazioni parametriche scalari della curva r ( I ) si chiama sostegno Estremo iniziale della curva Estremo finale della curva I = intervallo dei tempi é la legge oraria é la traiettoria del punto Istante iniziale Istante finale Posizione iniziale Posizione finale Proprietà di una curva Def di curva chiusa Se I = [a,b], la curva si dice ch iusa se r(a)=r(b) Def di curva piana Una curva si dice piana se r (I) piano La traiettoria giace per forza su questo piano Def di curva semplice Una curva si dice semplice se “Vuol dire che in due istanti diversi, le posizioni sono diverse e il punto, durante il suo moto non può mai passare dalla stessa posizione” La def non deve valere sulla frontiera, altrimenti una curva chiusa non può mai essere semplice Es di curva chiusa ma non semplice Geometricamente Fisicamente """/¨✗it)inni^t (y: ylt)Y TE '2-=z(t)')✗>MIt):(✗It),yIt),zIt))*.r:IR'IR} { ✗=✗leieIt):(✗It),yltl)Y:ylt)M:IR-IR'≤r:ti>IR"nC- ÈII)••••r=r. l t) °()✗1=✗1It)◦r(t ) ✗a=✗alt)◦seI:[ a. b) { ;a:rla)✗n=xnIt)b:rlb) •≤IR"•seti:[a.b] >I(a) >eb) ES { ✗It)--sent2-=✗+y-1C ylt)--costtC-I2-(t)=sent+cost-IPconsideroipuntiinterni"°V.te,tiET,ti≠ta passo dell’elica Chiusa? No Piana? No Semplice ? No Oss Sull’orientamento delle curve Se abbiamo una curva così definita Il verso di percorrenza é automaticamente fissato In questo caso ad es esempio so di dover partire da 0 Se volessi cambiare il verso, devo modificare la parametrizzazione ✗2+4222bz=1{✗IttacostTEÌylt)=bSintest{✗A)=4costtE [ 0,1T]ES) { ✗A)=4costtE [0,21T] ×,=cost, } =sentylt):Sintylt):Sint^^✗'g,=COS'ttSenat=1a,tY≥•."•."•-It:E2s✗:O,y:1ti-Ig)✗=0Y:-I✗2+92=0,2 | ✗ lt-acostt.CIylt )--asent✗2ty':a'(cos't+sin't ) =adest { ✗(t)=cost,te(0,1, ] ES.2 { ✗(t)=cost,tC- [0,21T] ES.} { ✗(t)=cost,te(0,41T]ylt/=sentylt/=sentylt/=sent^^81^IV3 •s)>t:O:✗=1,9=0ti21T:✗=1,y:O t.IT/2:x=0,y=1 t'-41T,✗'-1,9=0a-2✗(t):acostto>r. I O):la,0,0) ( ya).-asent,telo >it]E.§>[(¥):(0,0,b ;)i :÷ -a&2-(f)=bta>b0t.it>Flit):fa,0,bit): rit)-_ ( ✗IN>ylt),ziti ) ti } "→ Il} " ) -_(o,-a, bf.IT)% ◦Ó,yf.=21TSI(21T)=(a,0,batt)Kti| It,d'2,d'3,|-IannelliPbfEC°(I)^ ~ :agirl ?:iI, Git ): { (×,-1k)✗C-I } Iconsidero :{ ✗=-1te, IH):( t,flt) ) ,IC-èII)y : flt) sefE(1(I) [b.a]b±•clic).-ba-•✗([c. d) =[b,a)Strett.decrescente { ↓s41d)=a1)sostegnodi82:è/[c.d) =e (Y[c. d) =r [ a, b) =sostegnodi822)i(c) =r(b),è/d)=rla) =, f. EH):INIla):Ila)3)Èlei .I'Hiei)I4) 8,='82LEGGE: I'(e) =e' /417))l'(e)4 ,4(y) :a+b-T4EC'liaib]) ✓ ° I 4(a) =b,4(b)=a4'/7)=-1è'(y):e' (4171) •K8,='l18 , ) :lira) |!È >tsit):I:[It)Ste[a.b)ripassoAnalisi1siti Ì /[' (a)ldt tE la >b]af-EBla,b)"¥var.integraleF(×): / "flt)dtaSla):↓"/['luildt=0FE Cita ,b] ) T.F.C.I.slb): [li 'intcit:118)>S:[a.b)' [ 0,llr)] sefeci([a.d)f(±)=IRDtt): { ±EIR"/7ft±)}≤IR"Imlf/= {YEIR I]±ED {f}peruny:f/± ) }≤IR {(f)= { ix.,fin) ±ED (f)}≤IRn'-1^055.Sen'2 ☆ >ES.Lfk,y,z):e"+log(✗'+y'-1 ) D=?☐aperto,chiuso,limitato,connesso?D={(×,y,z)c-IR'✗'+y?>1}A^•PP'(×,y,z)OP'=✗i.y'aperto?SÌ È .>P(×,y,Z)AP=✗'+y'chiuso?no0e•P',limitato?noconnesso?sì(èapertoeconnessoperarchi)f:IR>IR",D,In(f) E 8k:{ E :( ×,y ) EDflx,y)=K } K:O,1,2,}..."^3 "2)>✗ f presenta una simmetria radiale se in punti che hanno la stessa distanza dalle origine, il valore della funzione é costante Adesso interseco il grafico della funzione con un piano che sia perpendicolare all’asse Paraboloide con il vertice nell’origine (faccio ruotare la curva attorno all’asse z) In questo caso le curve sono tutte equispaziate Nelle funzioni a più variabili Non possiamo dire se da destra o sinistra Caso 1 Sia f : D —> R, sia xo un punto di accumulazione di D, sia l € R. Si dice che "^ESf(×,y)=✗'+y'2525D=/R2, flxiy)>OinD, figo):O,In(f) =(o,+co )26>✗K:O10,0)fasimmetriaradiale11=1✗2+92=1(=(0,0)r:1K:2✗Zty?--2Ci10,0)r-_v2>1V2v32K=3✗2+92=3[=(0,0)r.-V3K--4✗2+92=4C--(0,0)r=2pianoy :O ≤^2-^ly:o) V. i > y '✗ { 9=0✗✗>✗oL/ Il >+of'l,+00,-co limflxt-l.IE/R ✗→✗ocambiasolo"Iim±>≤◦ tl !):L "se | iltrattino≤e-Iolueitori ) "tiE>0, -16=6(E) >otalechese✗EDe 00,7diUlm)>Otaleche,se±EDe04.x-Io/M"s•LIim≤→≤◦t'×)=-• link ,+•=LIim≤→o=+oIim≤→+co=-coESEMPI1)Iim✗2=1(×,y)>(1,2)(✗zty2)"251=12)Iimo=1-00(×,y)>(0,0)✗2+92q2×2+42-1 lt -1=13)Iim"¥×,+gy,=( g) ""pongot=2×2+92:linf,ogix.y)>(0,0)2Tfacilmenterisolubile fi) > l seE'Io"tE>0,JofJIE)>0talechese◦(✗qy,=timf(✗°+post)Yo+pseno ) infunzionediop-io1)✗2-y'l'+cos'0-P'serio= ÉTÉ lim.>☒estimey)>(0,0)✗2+92="MpsoP2)ESIim2)(×,y,>(qo,2×2+92=ling>o292=Iim2p✗2+92pp→o3) )f/✗◦+ prosa ,yo+ pseno) -l/≤g( p)>07✓ p Cerco di maggiorarlo con una funzione che dipende solo da Rho Limite raggiunto indipendentemente dalla direzione ovvero indipendentemente da Thetha Continuità di funzioni di più v"iabili Def di continuità Sia f:D—> R, D R (n>2) e sia xo € D. Si dice che f è continua nel punto xo se : tale che se allora Oss Se nelle ipotesi date, xo è anche un punto di accumulazione di D, allora f è continua in xo lim Sia f : D R—> R é continua in un insieme A D se f è continua V x A. Notazione adottata : Def di funzione continua in un insieme Continua a valere la composizione di f continue (sommando funzioni continue, ottengo una funzione continua) In particolare Oss Oss Oss Continua a valere il teorema dell’algebra delle funzioni continue (prodotto, prodotto per una costante, somma, quoziente) é uno spazio vettoriale Oss Se g (x) continua in un punto xo f (x,y)=g(x) è continua in (xo,y) V y La continua si trasferisce in funzioni da 1 a 2 variabili Dov’è continua f? Per l’osservazione precedente Per l’osservazione precedente Perché somma di funzioni continue Per “composizione”= Perché somma di funzioni continue Per l’osservazione precedente Perché quoziente di funzioni continue esIim✗292p, PÀ 50seriop,l'costosenza=0?Ok(×,y))(0,0)2×2+42=""^2 * (0520+ * senza=|""it(0520a01+(05201+(0520≤i20≤""V-E>0,7.ceNE,✗◦ ) >01EDe/×.-Io/< 6fa:) -fio) IRfe-continuainA }f continuain✗o -dacui:Iimf-(×,9)=Iim✗→✗◦ I' ×)= Gio) =fio,yo)ix.y)>(✗0,40),/perlacontinuitàdigES fa ,y)=COS(✗+y ) It✗2D=IR?-✗>✗continuainIRA)y ) >✗continuainIR'/) g.→ycontinuainIR4)y ) >ycontinuainIR'/) >f-E Colpi)ix.y)>(✗+y)continuain/R2() IX.y ) 'ioslxty) continuainIRZ() ✗>11.x'continuainIRIX.y)>1++2continuainIR? () (×,y),cos'✗+Y )continuaintra() -1++2 Def di massimi e minimi di una funzione con più variabili Sia f: D R—> R e sia xo €D. Si dice che xo è un 1) punto di massimo assoluto se f ( xo ) > f( x), Vx €D 2) punto di minimo assoluto se f ( xo ) f(x), Vx € D B ( xo) 4) punto di minimo relativo (o locale) se tale che f( xo) > f(x), Vx € D B ( xo) Teoremi sul legame tra continua e massimi e minimi Teorema di Weierstrass Sia f: D—>R, D R, e sia f € C (E), E D. Allora f ammette massimo e minimo assoluto in E. f ammette massimo e minimo assoluti nel suo dominio ? Insieme D Chiuso? Si Limitato? Si D é compatto X è continua, y é continua, x-y è continua, x-y là dove esisteste è continua —> 1º membro è continua 1 è continua, 1-x-y per composizione è continua …—> 2º membro é continua Teorema degli zeri Sia E R un insieme connesso e sia f€ C (E). Se x e y € E e f ( x)0 (o viceversa) allora z € E tale che f ( z) =0. In particolare, se è una curva con sostegno E ed estremi x ed y, allora f si annulla in almeno un punto € al sostegno di Derivazione in più v"iabili Caso n=2 Def di derivata rispetto a x Sia f: D R—> R, D=Dom (f). Sia xo =(xo,yo)€D. Si dice che la funzione è derivabile parzialemente rispetto a x nel punto xo, se esiste finito: Si dice allora che la derivata parziale di f in xo (rispetto a x) è il valore e la si indica con En-:-- ti >o= no , 76>0 _-. no ≤"°≤ESf-(✗,y)=✗2-yt1-✗2-y'^PRIMACOSA:Dominioy--✗2 parabola D :{ ✗2-y'-0 ( y≤✗2s)D1-✗2-ya≥0✗ 2+9%1 G-10,0)F-1frontierainclusa { f-= È t1-✗2-y2222→fee◦ (d) =,]Maxeminassoluti≤ⁿ°7.- J ---- r ,8:[=[It),te[a.b]È,ÈIf ±>Yestremidi8E(a)=±,[(b)=y glt):fl!It) )q:IR>IR,gèdef[a.b]qECY-la.to ])perilteoremadeglizeridi1variabileg(a)=flr.la))=flx)f- Lrlto)) =D glb)=f-([(b))=f-(y)>0_ynIoPhyo-----9--↑✗0=1×0,yo)Phi(✗0th,YO ) Il1I✗"o✗'◦+n>×flxoth>Yo ) -f1×0,yo)h≤n◦IimF/✗0th)-f1×0,90) =✗(fr) haha dfix.0 ) ,☐✗ flxo) ,f-✗ 1¥) , 0×5-1×0) OX Def di derivata rispetto a y Sia f: D R—> R, D=Dom (f). Sia xo =(xo,yo)€D. Si dice che la funzione è derivabile parzialemente rispetto a y nel punto xo, se esiste finito: Si dice allora che la derivata parziale di f in xo (rispetto a y) è il valore e la si indica con Lezione 11 Marzo 2022 Sia f: D—> R , D= dom(f) R e sia xo € D. Si dice che f è derivabile in xo se esistono fx ( xo), fy ( xo) e in tal caso si dice vettore gradiente di f in xo il vettore f( xo) = (fx( xo), fy( yo) ) Def di funzione derivabile e vettore gradiente Oss Sia f : D R —> R, n >2 e sia xo € D. Si dice che f è derivabile parzialmente in xo rispetto alla variabile xi (i=1…n) se esiste finito In tal caso, il valore del limite é detto derivata parziale di f in xo e lo si indica con Def di derivata rispetto alla variabile xi Sia f : D R —> R, n >2 e sia xo € D, D R. Si dice che f è derivabile in xo se Def di derivata rispetto a più variabili e in tal caso si dice vettore gradiente di f in xo il vettore Esempio 1Esempio 2Esempio 3 f è derivabile V (x,y), x=0 e in (0,0) aPK≤◦(✗o,yo)PK=(XO,Yo t k) Yo t k---9yo-----È✗0flxo,yotk)-flxo,yo ) I9l',✗o≤n◦Iimf-1×0,Yo t k)-5-'✗0,yo)=p(FIR) K→0K Bofix.0 ) ,☐ yflxo) , fy1¥) , Oyflxo)oy0≤2PN.B.p-5110),9radf(× ) fx(✗°)✗0=1×0,yo)>(✗◦+h,yo)=(✗0,yo) +Lify 1×0)✗◦=1×0,yo)'1×0,yotk) =(✗o,yo)tKiIR",baseCasoriae'=(1,0,...>0 ) ✗◦ =/ ✗01,✗02,...Xon ) la=(0,1,...,0)✗◦+tei:(✗◦1,✗02,✗◦i-1,Xoitt,Xoitt...)✗◦n ) :ln=(0,0,...> 1) 'incrementodellavariabilei-esima0≤"filo+tei ) -fio)1inHotfxilxo),df(✗0 ) ,DXflxo), dxfixo)OxiE^,°E" ]fx ,1×0) ,V-i-1.in☐ fixe) -_ (f ×,1×-0 ) ,fx,1×0 ) ,... f- ✗nilo )f(×,g)=✗23×109yy""""≤ " """°""" "%) "t✗(×,y ) =2×-3logy f-✗(✗IY,-21=2' -2 ☐t'✗iyit)-4,2+-2×2+-2,>6COSYSEMY,za ) It✗22-2 fylx ,y)=✗2_3× fy (49,-2)=-6cosy-C-seny)= Gcosysenyfz (×,y,2)=2.✗It✗2-22aflx, a) =a1×1flx,g)=y1×1,-1C-(◦AR) a•(0,9) flx.co/=0,V-xfxlqo)=0fylx,y)=lxl-Vy ->59M✗,✗705-✗(✗isty.2µ,of(×,y) :( Ys o u n x,1×1 ) Sl(Yy) èINtaleche✗€0☐f(0,01--10,0) Che relazione c’è tra continuità e derivabilità in più variabili? Conclusione : f continua in xo f derivabile in xo Considero l’origine (0,0) Conclusione: f derivabile in xo f continua in xo Nessuna Dunque confermiamo che non c’è alcuna relazione tra derivabilità e continuitá Interpretazione geometrica delle derivate parziali (n=2) Chiamo Piano verticale xz, che continente Po Chiamo la curva che interseca il piano è il grafico Che espressione ha la retta tangente alla curva nel punto Po? Coeff. Angolare della retta tangente a gamma 1 e dunque ci da la pendenza del grafico nella direzione x a partire da, punto xo Coeff. Angolare della retta tangente r2 alla curva gamma 2 ottenuta intersecando il grafico della funzione con un piano verticale parallelo al piano yz e passante per Po Curve coordinate Fine prima parte su derivate parziali 1) fix.y)=✗'+y'in10,0)?✗'e'continua,y'e'cont,✗'+y'e-cont,✗4-y'e'contdoveesiste $f✗190)} =>fnone-derivabilein10,0)Flo,g)=lylnondariny:O=> ✗fy10,0) ^0 2)f- (×,y): {È?ya,(×, g) ≠10,0)D=IR'%f-ix.D=0,4--10,5-10,01=0 60,(×,y) =IO,oooooo,ooo>2-=41×0) t4'(✗a)( ✗-✗o ) 2-= flxqyo)tfxlxo,yo )IX-✗0 ) ~>nellospazio:ri-_ {g-- yo mmmB:✗=✗0,tari2-= f Ho )tfx(✗°)/ ✗-Xo ) 2-✗=✗o^ p% Ja:{ /¨✗o2-^rz=?Po2-≤fa,y ,{ ✗'✗o2-:-/(✗qy)"✗%)-- --q~ ,i1rz { ✗=✗ol' io >y2-=-5/✗a)+ fy/✗a)(y-yo) I|;%>✗^Io""9)=flxo,y ) ×?..-._ ↓ 2-= YIYO) tU'(yo)(Y-Yo ) ~, nekospo.jo :YeN-B.81,82= L a derivata direzionale Def di derivata direzionale Sia f : D R—> R e sia xo € D. Sia v un versore in R (| v|=1) . Si dice che f è derivabile in xo nella direzione v se esiste finito: Tale valore é detto derivata direzionale di f in xo nella direzione v ed é indicato con Oss: se n=2, xo =(xo,yo), v = Oss 2:Oss 3: Osservazione che ci permette di trovare la derivata direzionale in un altro modo, ovvero trovando la funzione g(t) di una sola variabile e calcolandone la derivata prima in 0 Esempio Calcola la derivata direzionale nell’origine con v generico Relazione fra continuità e derivabilità in V direzione Conclusione : f continua in xo f derivabile in in xo Lezione 15 Marzo 2022 Conclusione:f derivabile in xo f continua in xo Nessuna ✗◦1-tu◦>a1!/=1rapportoincrementale:filettv)-filo)Iottt✗00≤"inIimfette)-fico)t•ot dv.tk) , felino) , È / ✗o ) ... µ ,B),✗'+ B2 =1glt):f(✗◦ttv ) ,gia)=flxo ) y,,filotto,yottb) -f(✗0,90 ) +>◦5-Ho+t!)-filo)=/inGit)- Glo)=g.'10 )DI=IimD,fino)=/imttttotsen'2,K-_I:(1,0) DIf1×0 ) =-5×1×0) sen'-2,V.=I=(0,1)Diflxo)= fy (✗° ) d-(×,g)='✗'yDIFlo) -?modalità1USOladefinizioneV.=Io, B) 31inf/ti/tb)-V90) =/in1-2×2TB=IimÀàB =>✗2ps=Defla) t>0fico):Oᵗ+→°t1-→o µ modalità2usolafunzioneglt) It)=f(to,tB)=>t>✗'B=t}✗2ps'/f)=3gapg'(a)=}✗'B=D,fla)- 1)flx , g) =✗ 2+42fcontinuain10,0)fnonderivabilein10,0) =>fnonèderivabileintdirezione* ✗'Y 2)flx,g)= { ✗"+y''(×,y)≠10,0)flx,y)e'discontinuain/0,0) 0,IX.y)=10,0) I(o, B) ,✗'1-B'=1B:O,v.=i Dillo ,0)=lime>◦ t' flta>TB)-f-(0,0)] =/im t t>✗'B✗2ps1-"✗"+tipi=Iimgg,B#°00000000>t>°tagli+gg,=✗%=92t>0B2=)fe'derivabileintldirezione1manone'continua)fx(0,01=0☒ Interpretazione geometrica della derivata direzionale Interseco con un piano che contiene xo, Po, v. Piano tangente Problema: qual è l’equazione del piano tangente (ammesso che esista)? Proprietà del piano 1) il piano sarà passante per Po 2)il piano dovrebbe contenere le rette r1 e r2, tangenti alle curve coordinate Proviamo adesso a calcolarne l’equazione: 1) impongo il passaggio dal punto Po 2) il punto deve passare da r1il punto deve passare da r2 3) sostituisco i valori trovati Ma questa è l’equazione del piano che stiamo cercando? Problema : se f è derivabilità in (xo,yo), il piano é davvero il piano tangente? D! f1×0) ^rg ! )' @ ✓Pianoaf:IR≥→IR,DIl1'g ! ,',✗◦EÌ ',✗=✗nglf)Illl'>Po= ( ✗0,f/ ✗◦) ) I,1!/=1',r:rettatangentea8in POI I11è^Dè^DDyflxo)✗o✗-✗oIim,>×,flx)-flxo)-f-'io)/✗-Xo)=0✗-XO^condizioneda ftp.fx-f-X-t 0(✗-✗0 ) ,per✗>✗overificare *flx,g)= flxo ,yo ) + fxlxo ,yo ) /✗- xD + fy(✗o,yo )(y - yo) to (Ix-✗d'+(y-9012)per(×,y ) >(✗o,yo ) É derivabile in V direzione Ma anche esprimibile come : Condizione da verificare esprimibile come: Condizione da verificare : Confronto tra: n=1 n=2 Funzione differenziabile Def funzione differenziabile Sia f: D R—> R (n>2). Sia xo € D. Sia inoltre f derivabile in xo. Si dice che f é differenziabile in xo se : O equivalentemente: Oss Teorema funzione differenziabile f differenziabile in xo f continua in xo Dimostrazione : Oss f differenziabile in xo Continua in xo piano tangente (se n=2) La derivabilità in una variabile corrisponde alla differenziabilitá in più variabili Aflx,y)-flxo,yo ) - fxlxo ,yo)(X-$0)- fylxo ,yo(y-Yo ) =0 /(✗-✗a)'+ly-yo) ) 1inflxiy)-flxayoo)-fxlxo,yo)(✗-Xo)-fy(✗oyo)(Y-yo)=0ix.y)-4×0,90)(✗-✗012tly-90123esflx, g) =✗'y(0,0) -:D!f10,0)! O'BI=(o, B)fx10,01=0 , fy10,0) :O,f10,01=0 2-=033/in✗27=/in∅cos'0sino=>cos'asinodipendesoloda0→7IimIXIY)→'90)✗a+y,T'°∅'cos'asinoHpfderivabilein✗oHpfderivabilein10I]fxlxo,yo), fy (✗0,901)1)='fcontinuain✗o1)2)=>7 Ma come faccio a capire se una funzione è differenziabile? Adesso sostituisco i valori trovati nella definizione e vedo se il limite va a 0: Essendo il valore del limite cercato uguale a 0, significa che f é differenziabile in (0,0) Teorema del differenziale totale Sia A R un aperto e sia f : A—> R. Sia xo € A. Se esistono in un intorno di xo tutte le derivate parziali di f e sono continue in xo allora f è differenziabile in xo . In particolare, se le derivate parziali sono tutte continue in A f differenziabile in A. Notazione adottata Oss Se f€ C (A) f è differenziabile in A dov’è differenziabile? f differenziabile in tutto il suo dominio (per il teorema del diff. totale) Relazione fra differenziabilitá e derivabilitá in V direzione f derivabile in V direzione f differenziabile Teorema: formula del gradiente Sia A aperto R, f: A —> R, xo € A, f differenziabile in xo. Sia inoltre v un versore generico in R. Allora f è derivabile in xo nella direzione v e: Lezione 18 Marzo 2022 Dimostrazione Poiché f è differenziabile in xo : Noi sappi o che : Esempio Calcola la derivata direzionale di f in xo in direzione w Per usare la formula del gradiente vedo prima se é differenziabile Es.flx,g)=Ix-1)(y+2 )fdiff.in 10,0)?simaggiorazione:f-(0,0) =-2 [email protected] ,g)=yt2>fx(0,0)=2- fy (✗,y) =✗-I> fy /0,0)=-1Iim✗yix.g)→10,0) ÈÈ =line=0✗2+92(✗IY/→(0,0)✗fxlx,y)=-2xY}_×'>0txed(sonodefinite) y3-✗2fylx,g)=392fx(✗,y), fylx ,y) continueinD=)y}-✗2-es◦f-ix.g)=✗2ge'derivabileintldirezione=)- #DIf-10,0):}✗2Bfe'diff.?No!n≤n DIf(Xo ) =Pf1×-0).tlf(E) = fico) +of/E) ◦(E- E) +◦ (ix.-✗◦1)ossidv.fi/e)=limfl.xottv)-flEo)ottvl) --◦(Hilal):011th:◦It)1-→ot ' mafle+tv) =f-(xe ) +☐filo).tu+◦(Itri )pert>osostituendoottengo: linfaf+☐tie).tu+◦(Itri ) - f =Iim☐filo) .tu+◦ (Itu)=1in( ☐filo)iv.+◦It)) , pf( ☒ ) .It1-→◦t1-→o µ 0fIX.g)=10g✗+y'✗◦=(1,0)=(1,V2 ) Per il teorema del differenziale totale f è differenziabile in D e vale la formula del gradiente! Errore tipico! Non è un versore Riassunto conclusivo delle implicazioni studiate differenziabile derivabile in V direzione derivabile Continua Oss f differenziabile? Se differenziabile: vale la formula del gradiente dunque dovrebbe essere lineare in alfa e beta! Ma noi abbiamo alfa quadrato Regole di derivazione di funzioni composte Sia f (x,y) derivabile e g=g(t) derivabile. Allora posto h(x,y)=g(f(x,y)), risulta che h (x,y)= g’ (f(x,y) f(x,y) Sia f(x,y) differenziabile e x=x(t), y=y(t) derivabili. Posto g(t)=f(x (t), y (t) ), risulta: g’(t)= f( x(t), y(t) ) (x’ (t), y’ (t) ) Oss Direzione di max/min crescita f differenziabile in xo D massima direzione di max crescita : minima direzione di min crescita: Relazione tra gradiente e curve di livello curva su livello K “il gradiente di una funzione è sempre ortogonale alle curve di livello” D:Io,+ a) ✗IRfcontinua(compostadicont. )fxlx,g)= ± ,fxlx,g)C-C'(D) ) ,stessoversoi↓≤ j ,☐tie)ltflxo) e'° Dyfl ✗°)per9=11-4--1VIlv.filo),verso opposto K-☐filo) r IN > f8in,[=[It) °'• gltt-flr.lt/)=k,V-t ma giltl-rflr.lt )).IN/=0-Vt ✓g)It):O,Vt) ☐ Firth) 1-I'It)it Le derivate su#e$ive Le derivate su#e$ive La indichiamo con :La indichiamo con : Conclusione: se parto da una f di due variabili f=f(x,y) ho derivate parziali prime derivate parziali seconde pure miste se ho una funzione di n variabili f=(x1, x2,…,xn) ho: derivate parziali prime derivate parziali seconde Derivate di ordine superiore a 2 Esempio Oss Teorema di Schwarz Sia A R, A aperto e f:A—> R. Se esistono in un intorno di xo per qualche i, j con (i,j =1…n) le due derivate fx , x e f x x e sono continue in xo Spazi vettoriali tutte le funzioni sono continue in A Oss Oss Dunque : tutte le derivate parziali di ordine K continue in A tutte le derivate parziali di qualunque ordine continue in A Sono tutti spazi vettoriali AEIR', f : flx ,y) • ]fx (×,y)inA.piùcomodose 7§ > D' ✗✗flei, fxx(✗° ) , ¥;I) ,?tie)....• ]fylx ,y)inA.piùcomodose7Jfk(xe), DIYfle), f. ✗y(✗° ) ,d'fle) ,d'Fle),...✗y fydxdy • 7fy = fylx , g)Ina: fyx ... fyy2fx , fy nf-✗1,-1×2..fxn42f-✗×, fyy n" fxifxj ,i>J-_1,...,n2fxy , fyxflx ,y, 2) =.-- fxyy , fzyxx =.-- flx ,y, z.tk/t2+seny-t3logxfxt?ftx?fxlx,y,z,t)--t2-t3 ✗,f✗t(×,Y,Z,t)=2T -3¥ftxlqy.at)=fxt(×,y,2-it)ft(×,y,Z,t)=2×1--3-12logx'ftxlx,y,z,t)=2T-3.Èingeneralenonèvero✗d-txt(×,y,Z, f) =2-Gt✗ingeneraleftxlxiy.z-l-tfxtlxiy.it)E"ij;i>fxixj(✗ a) = f ✗j✗i1×0)( 2 (a) = { f:A>IR}SefEC'(A)Ì=1....,n.SefEC'(a) > fan ,-1×2×2... fxnxn EC◦ (A) 7fx,EC'(A)>fx,C-CTA);fa,...,fxnC-CTA) > FEC?f-C- C2 > feci . C°>(1>(2 CKIA) = {f:A>IR}( • (A) = { f:A'IR}E°c....E" (a) C... C'(A)ce' (A) C Cola) Matrice Essiana matrice essiana di f in xo , si costruisce con le derivate parziali Oss Gli elementi evidenziati saranno uguali (per comprendere la simmetria) Sia f C (A) . Si dice differenziale secondo f in xo € A, la funzione Funzione differenziale secondo di f Oss Ogni derivata parziale viene moltiplicata per la variabile corrisponde, se derivo due volte rispetto ad x moltiplico due volte per la variabile h corrispondente Metodo per esprimere il differenziale secondo in modo più compatto (con la matrice essiana) Oss Differenziale secondo Oss Esempio Calcola il differenziale secondo Formula di Taylor Oss Da analisi 1 Cosa si ottiene (senza dimostrazione ) in più variabili? Def formula di Taylor Sia A aperto, f € C (A), sia xo € A. Allora : NB cerca l’anallgia : xo+h=x Le derivate seconde sono n al quadrato - f (✗ a)=/fxix ;(✗ Di >Jie..-nfxn✗1(✗0 )fxixz(x-Df-✗1✗3 (e) ....fai✗inII)Hf(✗ a) =fa☒1110)fa☒2110)-1×2*31×-0)....fa☒n'10)f-✗3✗1(Io):: fin ☒1110) fxn ☒2110) fin ☒3110)... fin ☒n'10)sefEC'(a)>Hfl )èsimmetricaE' d'f/ ✗ a)(9) ="i,;=, fxixj /✗° )hihi ,&=/91...hn) M--2,ha=&, ha =K,Xix,✗2 =LFxyy(continua)d'f-(e)(h,K ) --f-✗✗(✗ a)L' t fxy/✗ a)hk, fyx( ✗◦ )hk) fYYl±=/ ✗✗ (e)hit2fxy/E)hktfyy / e)Hai--2,5=2hA-2la:(Èfxxfxyµ ) = (ttfxxtkfxyhfxytkfyy ) . ( = htH,1×0)h =(hk )(fxyfyy 1×2matrice2×2= PifxxthkfxytPnkfxytkfyy =f-✗✗ (e)h'+2 fxylxo)hktfyy(✗a)K2d'flxo)(G) = b.TH,1×0)hf(×, g) =✗3-✗seny✗◦=11,0)fxix.g)=3×2-seny,fxxIX.g)=Gx, fxyl ×, g) =-Cosy=fyxlx,y )fcglx ,y)=-✗cosy,fyy(×,y)=✗SonyFxx(1,01=6fxy11,0)=-1'd'f11,0)(b)=6h'-29Kfyy(1,01=0n--1:flx):f1×01+-1'/Xo ) (✗-✗a)+§f-"(xo ) (✗-✗a)'+◦ ( ✗-✗ d) ✗o2nin≥2:f/✗◦+ f) =f1×0) + § ,fxi1×0)hi +1≈fxix] II)hihi +◦ (1h12)perla > I2i,]-.fino+ b) =f1×0 ) +ltflxo).fr+1g htHf1×0)h+ 0th /2 )perI >°.n--2 £ = (h ,K ) ,l'◦=(✗0,yo)f(✗0th,yo+K) =fixo,yo ) + -5×1×0,90)htfylxoiyolkt↓/fxxlxqyo)L' + 2fxylxqyfhktfyylxqydKYtollhi.kz ))per1h,K)→10,0)•Mi2(×,y ) ,/✗0,Yo)h-_✗-✗0,K--y-yof(×,g)=flxo,yo)+ fx (✗0,90)/ ✗-Xo )tfy (✗0,yo)(Y-yo) + {(fxxlxo,yo )/✗-✗ d' +2fxylxqyo)/ ×-Xo)(y-yo) + fyy1×0,90119-9012 +◦ ( Ix-✗d'+(y- yoi)per✗>✗o,y>yof-(×,y/=✗3-✗ seuy ,d'f-= 6h2 _2h11f-IXO,yo)=f-(1,0)=1f-✗(✗,g)=3×2_senyfylx , g) =-✗cosyf-✗ (1)a)=3 {(6h2-24k)fy(1,01=-1 5-ix.g) =1t3(✗-1)-y+ 31×-1%1%+0/ (✗ -11242) , perix.y)> 11,0) nn>qII)-- Èaijxix;i,j=11.q(×,y,7)=✗2- 2×4 +✗2-2.q(✗,y,2)=✗2_2✗y+e≥'nqI×)= § ,,aij✗i✗si✗1✗2A=(aii)i>j=1,...,n)q(E)=✗TA×dove✗=:T9(×,y, 2) =✗2+2✗ y -4✗2-+ 2g '-2-2•✗n12-42-yA-=✗1=✗,✗2=1,✗3=7 LI% 2-×↑ZZ↑YZ↑✗✗✗y✗z↑↑↑↑02°all'-1,0112=2,0113=-4,Azio,0122=2,A23=0,a33= -1,0131=0 ,①32=000-1✗ TA I :✗'_AI=/ ×,y,-2 ) 12-4✗ ) 020Y00-1Z Tuttavia ogni forma quadratica può essere riscritta diversamente, ad esempio: Dalla matrice B riotterrei la stessa forma quadratica Se però pensiamo i termini misti in questo modo: Otteniamo la matrice simmetrica : Quando parliamo di matrice rappresentativa di una forma quadratica questa simmetrica è l’unica matrice simmetrica, ovvero quella a cui ci riferiamo Oss: è una forma quadratica e la matrice rappresentativa è quella essiana La matrice sarà simmetrica per il teorema di Shwarz Oss 1) q ( O) =0 2) q ha segno costante su tutte le rette uscenti dall’origine (tranne l’origine) Definizione delle classificazioni delle forme quadratiche Sia q ( x) = x A x una forma quadratica. Si dice che q (e anche la matrice A) è: 1) definita positiva : se q ( x) >0, V x=0 2)definita negativa : se q ( x) 0, V x€R e xo € R tale che 4) semidefinita negativa: se q ( x) 0 e q( x2) 0 e sia A = la matrice associata a q. Allora, se a=0: 1. q definita positiva det A>0 2. q definita negativa det A0 3. q semidefinita positiva det A=0, e a>0 4. q semidefinita negativa det A=0 e a0 V k =1…n 2. q definita negativa det A0 V k=1…n e almeno uno di essi è nullo 4. q semidefinita negativa det A 0 2. q è definita negativa Gli autovalori di A sono tutti 0 e almeno uno di essi è nullo 4. q è semidefinita negativa Gli autovalori di A sono tutti 0 tale che q( x) > Se q é definita negativa >0 tale che q( x) Oss Il grafico di q (x,y) sta dentro al paraboloide Fine delle forme quadratiche II'EIKA:1203An:(1)1-4=12034560A>= /I}) u5604-89-l"56 ) ( a}4-8a-1A} :(;; °,o243T()µ-(71-1)Kµ-(7"_-(7K--9(×,y,2- / =-✗ 2+2×4 - 242-4-221-=-11°1-1=-1,det1-1=-1✗ fy(0,01=0+--tof(0,0) =Ev→>No/comeAnalisi1)flx,y)=✗ 2+42puntodiminimo: 10,0) ≤" 76 >o5-(±)≥5- (E) , eIe1361) ^ {E',E,...ln }glt)=f-(✗◦+tei) >:I'IR,Iintornodite•IogIt)≥ gio)=>c-=OI=✗o+teilifissatofrag)10)=lire, 9h)-910)+,f/✗◦+tei ) -t'°)= fai y ] per hp => Ìg'10)t=Iimt G)Io) =0=> fa . 1×01=0 ,Ke-=1...n=>☐f(✗0 ) =o=> Ricerca di punti di estremo Critici (?) Punti di non derivabilita (?) Punti Esempio La funzione vale 2 quando x=0 o quando y=0 Proviamo a cercare i punti critici: Punti critici: sono punti di minimo assoluto punti di massimo assoluto punti di massimo La funzione è limitata? Quando troviamo questa domanda è molto semplice rispondere considerando una direzione generica f non è limitata Oss Interpretazione geometrica di punto critico piano tangente orizzontale Se xo è critico, ma non è nè di massimo nè di minimo, è detto punto di sella (colle) Definizione di punto di sella Teorema-Criterio per il riconoscimento della natura di un punto critico Sia A aperto R, f: A —> R, f € C (A). Sia xo € A un punto critico per f e sia H ( xo) la matrice hessiana di f in xo. Allora: 1) se H ( xo) è definita positiva xo è un punto di minimo (locale) 2) se H ( xo) è definita negativa xo è un punto di massimo (locale) 3) se H ( xo) è indefinita xo è un punto di sella Dimostrazione vale la formula di Taylor (xo è critico) I C-dd20flx,g)=✗ log(1+42)+2D=[ 0,+co ) ✗IR^22>22222222222,f-✗= 109111-92)fy =2TX.Y22Mlty22>2Pf=0→ | loglity ')-0,×>0 Pa (qo) ,a>0y--0P,tra>0 Balo ,h),GEIR* +osey→±co=>mi22-=flxo,yo)+ fx1×0,yo) Ix-Xo)+ fylxo ,yo ) (y-yo) ✗0=1×0,yo )critico:2-=5-(✗0,yo) TÈ ≤^2|.91×-1=+1×-12"ofle + 9) -fle)=LÈHflxo) . la +◦ (1h12) perla→e|RICORDA:◦(X)=✗.011)≥o 7, 1 >o :& '- Hfle) ≥ HAI ',uh>f-le + E) -filo)≥ { ✗1h12tolhl)perle > Q xo è un punto di minimo (locale) Formula di Taylor + xo critico: xo è un punto di massimo (locale) Non prevede dimostrazione Oss Caso dubbio Esempio semidefinita positiva lungo questa direzione il punto xo è di minimo lungo quella direzione la forma quadratica è nulla dunque ha il segno di ma non sappiamo se la quantità è positiva o negativa Se positiva : ho un punto di minimo Se negativa : ho un punto di sella Ma allora come mi comporto? Devo trovare altri tipi di considerazione che mi permettono di raggiungere una conclusione Teorema di riconoscimento della natura di un punto critico nel caso n=2 Sia A aperto R, f € C (A). Sia xo € A un punto critico di f e sia H ( xo) la matrice hessiana. Allora : 1) se det H ( xo) >0 f ( xo) >0 xo è un punto di minimo 2) se det H ( xo) >0 f ( xo)< 0 xo è un punto di massimo 3) se det H ( xo) R, e risulti A e f€ C ( ) Allora si dice integrale di linea di 1ª specie di f su =1h12(f- +◦l" ) 7ci >otalechese 1h /< 6 0,allora:1h12(f- +0111 ) >oper1h /< ci RICORDAILTEOREMA=> f(Io+ E) - filo) >Ose 1h1 < ci =>qe'def.neg.=>7A>0t.C. 2)qui≤✗ix.12fle+&) - tie)= ;9TH ,II)E+◦ (1h12) ≤- £ . 1h12 +◦(1h12) ÌÈf£s) 7ci>otalechese1h/-✗g.1-◦(1)yt> f([It)) EC.◦ ([a.b])[=Els)parametricanonica R. Sia xo un punto di accumulazione di Sia l € R, si dice che se: tale che Oss La def di continuità è la “solita” Oss f continua in xo fi continua in xo Oss differenziabilità fi differenziabile in xo V i=1…n Oss Oss IT/2+126sent(◦Stit,≥a(E)= |flr.lt))-It'It)/dt / 32costsent.11+3Sarit) ""dt= § .(1+3.seri2=[8-1]=140303☐9hodimostrato✗y'=> /fds= Sfds r8' ✗T81,82 ,... 8K .≤"SI, FEÈIT) K SfdsE/fds✗i-1tidàf-ok ,y) ☐8:n--rit),te[a)b]viisjaitiijnfini spazioElt)e'It)dt• f-dmbun=>mi /dir.lt)) ./I'ltlldt av.=Api= (3-1,1-0)=12 '" )(% ), { ×>a)=288 :{ ✗It)=1+2ttc-[0,1]↓ ylt)-ott11,0) y' It)=1bm= / ✗'ds= /dire ))./['ltlldt= [ lltst)'.5dt=5. ( 11+at)} } "=V5[27-1]=1-3v5lett)/=✗'It'+y'It)?58a023◦6F :IR">IRM(n,m≥ 2) I±>E/≤se/ Rm ☐' f)=/ ±c-IR" Jfk)}≤tra1m(f) = {I C-IR"7±EDIE)percui f- ix.1=7} C- IRM ≤=✗1,✗2,...✗n)E '?/= fa '±),-52111,... fm II )G.(f)= { (±,f/±) )txEDI f)}EIR """ fi :LR">LRfanKimflx)=L nmDl!) ._"limx>✗◦-" V-E > 0,76K) >Ose ≤EDe◦< II -✗◦IEH) - lIRGeLR.">LR? ÷ 3≤3 8ICA . SiaFC-ÈII) b ✓| F.drè)f(rit) ) .I'It)dtodeidbF= ( F1,Fa,Fg ) n=31:Elt)=(✗It), yltl ,2-It) )F- ◦dr= /[Fi([It)) ✗'It)tFa(r.It) )y'It) +F}(Elt)) 2-' It) ))cit8an=21=1(f)=(✗(t), ylt ) ) E :(F1,-1-2)b / F-dr= /(Fi([It)) ✗'It)+Fa(Elt))y'It)) cit8aEEC°(I) ,1E l' =>re,I'EColla,b)) =>EII(t)) c- Colla ,b])>t>Eletti) .I'It)c-lotta,b])8 § F.diPOS.iniziale↓-ti /E'DIdaIla)a[ (b) ✗↑POS.finaleElx,Y, 7) =(✗y, yz ,2-× ) ✗=sentcurvapiana!✗ =L ✗'It):(Ost { y=senttc- Io , :] { F.dr ?I'Itt. { y'it)--cost2-=2cost2-'(f)=_v2SintIT/2ITL2 |E-di= / (( ✗y.✗'It)) + (yziyilt))+ (zx.z.lt) )/dt= /[ sent-cost+V2costsent -2sin'[cost]dt=r00IT/2I/2o= §[v2sentcos't-serifcost]dt=-V2cos't-sen>t=v2cos't+sen>t=1- [ 2- 1) =VI-13333%330✗↑81 ,82... Xk 3≤3K (I) , TCA . SE -dr.= E/E.dri.18ti Proprietà dell’integrale del campo vettoriale delle curve regolari a tratti 1. Linearità: 2. Additivitá rispetto all’unione di curve: Teorema (verso di permanenza) Se e sono curve equivalenti Se e sono curve antiequivalenti (in particolare opposte) Rotore Se il campo è piano (ho solo componenti x e y) Oss Il rotore è ortogonale al piano che contiene e F Un campo F € C (A) tale eche F =0 è detto irrotazionale Def campo irrotazionale Oss Lezione 1 aprile 2022 Def divergenza Sia A R e F: A —> R , F € C (A). Si definisce divergenza di F Esempio Solenoidale div F =0 Def di campo conservativo Sia A un aperto connesso R e sia F :A —> R , F € C (A) Si dice che F è conservativo in A se una funzione U:A—> R , detta potenziale di F, tale che U € C (A) e Oss Se U è un potenziale in A —> U + C è un potenziale Teorema (condizione necessaria per il campo conservativo) Sia A aperto connesso R e sia F : A —> R, F € C(A). Se F è conservativo in A F è irrotazionale F, G) 8: { (✗F+B.E)DI=✗ { EDI+ B. { GdrSF-dr=SE-dr+ |E-DI°""↓"8=6 ,+8288,828,8,=>↓,F-DI= { E.DIKK => { ,EDI=-SF.dr.82N.B.Il=lui,U2,il} ) ,V.=(v1,V2,V3 ) une=ÈÌ KF-= ( Fn,Fa,F})El'(A) M1M2MssidicerotorerotF=0nF=iÌEV1V2V3c)× dyÒZ=!/Fssy-Faz ) +I(Faz-F>× ) +E/ Fax-Fry) F1Fz1=3vi.2,[=Fa,Fa/×,y)rotF=i/Fssy-Faz ) +I(Faz-F>× ) +E/ Fax-Fry) EèirritazioneIlFax=Gxy' 44"" B=>Cpotenzialeflx, g) =✗2+✗yty?ViUlx,y,2- ) talecheTU=Efx=2×1-4 uyi-fz-3xayi-S-xdx-x2txyukyt.IN/yYt1)dxtgly ) ,doveg=?terminescomp.gly)= 2×24y+✗ tgly)Uylx ,y ) = ✗ ✗23gy+ qily)= 3×2y+g.' ly)= Fa =3×2y +1=>g)(g)=1=> gly)=y+eUlx, g) =2×2yy+✗+ gigli = 2×24y+✗tC,VC3E ix.g)=✗✗2+42+✗ { yaDIE)=IR≥' { 0.}aperto1.Fiy=(-✗ Il ✗2+92)-2.21=-2✗y1×2+4212Fa✗=(-7)(✗2+42)'≥◦2x=2×9=) Fly = Fay =)1×2+92)≥2.DIE)U=Ulx,y)f-1=×✗2+42f-2=✗ { + yfUH7)=/ ✗ [ +y,c'✗=12109( ✗'ty≥ ) + gly) ,dove glyt .?Uy =Fa=Y✗2+42+ È '4)=✗Fuga=>G'IY )-0Ee'conservativoin☐ (E)≤31 g C tela , b) { Fdr= Ulrlb)) -Utrial) rla) # •rlb)dipendesolodagliestremi Dimostrazione Oss Se è chiusa ( r(a) = r(b) ) Te o r e m a Sia A aperto connesso e F € C (A), allora le seguenti affermazioni sono fra loro equivalenti 1. F è conservativo in A 2. V curva chiusa, semplice e regolare a tratti A 3. V con estremi iniziale e finale coincidenti, regolare a tratti, con sostegno . Allora: Quesiti con 1-2 risposte esatte Enunciato e dimostrazione 1 definizione / esempio / enunciato Qualsiasi teorema fatto a lezione, non solo quelli da dimostrazione Semplice, criterio di Hurwitz, sottomatrice principale, Schwarz Recap parte teorica esame Lezione 5 aprile 2022 Esempio di applicazione del teorema sui campi conservativi 1)Calcolare il lavoro di F lungo la circonferenza unitaria con centro in (0,0) percorsa in senso antiorario 2) calcolare il lavoro di F lungo l’arco di parabola y=2+x 3) calcolare il lavoro di F lungo un V arco di una V circonferenza con centro (0,0) Ci muoviamo lungo una curva equipotenziale Secondo esempio di applicazione del teorema sui campi conservativi 1) F è irrotazionale? 2) calcolare 3) F è conservativo? 4) Calcolare il lavoro sulla circonferenza unitaria di centro (1,2) F non è conservativo, perché vi è una curva chiusa nel suo dominio, il cui lavoro è diverso da 0 Fine programma 1ª prova in itinere ofUGHI) =Upotenziale =>TU=Ebbbb=TU/[It)).E'It) { E.DI = / Etriti) .r'It)cit =/ PUkit) ) •['it)dt= f- d Utrltljdt =VK.lt')dt=Ulrtb)) -U/[la) ) aaa-_a 8 => §Ede-01-se :&EDI=D- kekca↓ ,EDIDI82 / EIx,g)=✗j✗2+42i+I✗2+422,✗C-[0,2] Econservativo(giàstudiato)--VIKY)= {log(✗'+y≥ ) 'unpotenziale^D=/R2' {10,0) } Lg>=UIB)-Ula)22-'l>L81=0curvachiusa'>BI2,6):{log(r ) - {log/ r2 ) =01esemplice↓Lg,=U/B)-Ula)=D=✗È+ypi-r2.ua=L,109140)- {100,4=1-2100,100=1-2100,1×2+92)↓Curvedilivellocost.'= ix.g)=_LI ✗ztyz+✗ticirc.incentro(0,0)✗2+92D=IR'' / 10,0)}§ F. d e,8:[It)=(cost,sent ) >tC-[0,21T]1Fly=FaxEirrita2F,y=-(✗'ty')+YIZY)=-✗2+YZg,(✗2+42)≥(✗2+4212✗21-42-✗(2x)=-✗2+42Fa✗=µ>+yy,=>El'irritazione/e(✗2+42122ritti:( -Sint,cost)21T21T § E'dr= /lfsintfsint) +(cost )/ cost)/DI= Scie =21T8o°35,4a---;Eind-= {ix.y)/✗EIR,y>0 }sempl.Conn.=>Econservativoin (a) => Lg ,:O:">1 Esercizi in preparazione alla prova 8 Aprile 2022 1)Derivate parziali in (0,0) 2)Differenziabile in (0,0) Segue che f é derivabile nell’origine Ponendo y=x Esercizio 2 1) per quali beta F è irrotazione? Per quali è conservativo? 2) calcola il valore del potenziale per quel valore di betha trovato nel punto 1 Affinché sia irrotazionale: L’insieme di definizione è semplicemente connesso quindi sarà conservativo per betha =0 1flx,y).- { ✗109 ( '+✗4)+293,(×,y)-1-10,0)✗Ztyz0,(✗/y)--10,0)^1.f-(0,0)=Q5-(×,a)=Olfx,of5-(0,0)=0dx>f(0, g) =zy}y,=ZYV-y.to,off(0,0)=2 dyiìi (×,y)>(0,0,""Y)-"◦'°)-fi(0,0)✗_ fy (0,0)y2.Iim✗2ty2✗109(ltxlf ) +zy}-2y(✗2+92)Iim✗2+92=1in✗109(it✗Y)+2$ }-2-2x>y(✗/Y)>(0,0)*a+ya(✗'Y)>(0,0)(✗2+4213/2:(in✗109('+✗2)-2×3=Iim✗3-2×3=-✗=,i✗so(2×2)>'2✗→022✗32Kµ 2V2EraIX.y,7)=2✗I+(2- lb cosz )It( 2z+ysenz)E D=IR},EC-e'/IR} ) i.IE1.rotE=adyOz=i.(senz-sinzl ? +(o-0 ) +Elo-0 ) 2x2-LBCOSZZztsenzsenz-LBSIMZ:O=)1- la =D=)B.-02.Ux=F,=2✗, Uy =Fa=2-(OSZ,Ùz=1=3=2-2tyson-2Ulxiy,7)= / 2✗dx+ glyiz )=✗ 2tgly.at?Uylx,y,z)=gyly,2-)=2-C0Sz--sgly,z)=/l2-cosz)dy.-2y -ycosztAlz] ?U(×,y,z)=✗ 2+24 -yCOSZ+hlz)Uz(×,y,-2)= § ,(✗'+Zy-YCOSZ+hlz)) = 22-tysenz-sysfnzt.fi '(7)=ZZ+y # z=>hlz).-z≥U(×,y,7)=✗2+2y-lfcoszt2-2+C,te 2ª parte Lezione 5 Aprile 2022 Gli inte%ali doppi Integrali doppi (n=2) Caso più semplice: integrale su un rettangolo—> dominio rettangolare limitata in D Considero un punto arbitrario nel rettangolino Somma di Cauchy-Rienmann Definizione di integrale doppio Sia D: [a,b] x [c,d] e f : D—> R limitata in D. Si dice che la funzione f è integrabile in D se esiste finito: e tale limite risulta indipendente dalla scelta ad ogni passo della costruzione dei punti P hk nei corrispondenti rettangoli I hk. In questo caso, si definisce integrale doppio: In analisi 1 : x=variabile muta In analisi 2: sono la stessa cosasono la stessa cosa OssOss D rettangolare + f limitata f integrabile in D Esempio di funzione limitata ma non integrabile sul quadrato Teorema condizione sufficiente di integrabilitá Se D=[a,b] x [c,d] e f € C (D) f è integrabile in D Interpretazione geometrica (n=2) Cilindroide a generatrici all’asse z compreso fra D é la porzione G(f) che si proietta ortogonalmente in D Se f è integrabile in D ^ gy D=[a,b)✗[c.CI ] , f :D>IRa>MEIN,n≥2 ÷: ei_iiiiiiii:b,✗◦=a1↓irruzioni◦)2-^5=44)f:D.→IRyf≥oinD"Ehi,={(×,y,z)/ix.y)C-Ihk,◦≤2-≤fIX.y)}, Vehk --ab-h=a/Ihk)- ftphk)Inn""""→ÈÈÈÈ/¨uehi,✓(e)=-2✓(Eak)= È.tl?hK)alIhK)=Sn ~Inkf-noninteg.OinD'1 60 g-semplice→...-" FINE :1=1IX.y)a≤✗≤beaix)≤y≤Bix)} ,br ✗dCry)=>v1E)= Ìviy )dy= { ygfix.g)clxdyC✓lei{Stix, yiclxdy>fix.yldxdy-f%F7.tn/dxdyXly) Sia un insieme semplice e f € C ( ). Se 1) è y-semplice : = 2) , con , € C ([a,b]) e Allora: e x-semplice: , con , € C ([c,d]) e Allora: Teorema sulle formule di riduzione di integrali doppi Dovremmo ottenere sempre un numero come risultato Esempio D è x-semplice D è y-semplice f€C (D) Posso applicare il teorema Posso integrare sia rispetto ad x che rispetto ad y ma rispetto ad y è più facile, quindi: Lezione 22 Aprile 2022 Def di insieme misurabile Un insieme limitato R si dice misurabile (secondo Peano-Jordan) se la funzione costante 1 è integrabile in . In tal caso, si dice misura (o area) di il numero: Oss Ogni insieme regolare è misurabile (perché la funzione costante 1 é continua ) Riflessione su insiemi di misura nulla Proposizione Un insieme limitato R è misurabile e ha misura nulla se e solo se vale la seguente proprietà : Detto D un rettangolo , considerata la suddivisione di n rettangolini uguali (come nella definizione di integrale) e detta An la somma delle aree dei rettangolini che hanno intersezione non vuota con , si ha che An —> 0 se n—> + . tali che Oss Un insieme di misura nulla può essere ricoperto da rettangolini la cui area complessiva tende a 0. ◦rrrr{ix.y) a≤✗≤ b , 91×1 ≤ y ≤ Blx)}ad°✗IN≤ Bix)in [a.b] .bBCXIflx,y)dxdy = !// 5-ix.g)dy)DX✗(X)R:{ ix.y)/(≤y≤y, fly )≤✗≤d'y)}86°✗ly) ≤ City) in [ c.CI].dCry) µFIX, g)dxdy = /|/ flx,g)di dy Cfly) //y✗'+y' dxdy DD^y=✗1✗y✗'+y' dxdy=/ ✗'+y≥ dy) di [ 123(✗'+ 5) ""dx= §2×2)"?✗3)di>, µ °°0o0È1 i = § ◦(22- 1) ×>DX=22-1.✗"°=22-134112D={ix.y)/◦≤✗≤1,◦≤y≤× }y-semplicese2111=m (d) = V1dxdy a^>✓ (E) =sdxdy,all)=m11)-_1 dxdy < ( 1VIE)=a11)-h=a11)-1arc2orra ✓ E-◦✓E.aD- §q m'"= ! '"""= "i """>coni :{ '"^DOSUD'1n,sn≤ -2alIhk) ,=>Sn≤Anh,K--1Ì:OIhkIhknn≠∅ Proposizione Sia g: [a,b] —> R, g € C ([a,b]) Oss Un segmento ha misura nulla Proposizione L’unione di un numero finito di insiemi di misura nulla ha ancora misura nulla. Ricorda che misura è diverso da lunghezza,nel segmento: Proposizione La frontiera di un insieme regolare ha misura nulla (L’unione di un numero finito di insiemi di misura nulla, poiché tutti continui di cui due segmenti) Teorema (misura nulla e integrabilitá) Sia R un dominio regolare e f: —> R una funzione limitata in e continua in ad eccezione di un insieme di misura nulla di punti di discontinuità. Allora f è integrabile in . Esempio: Esiste l’integrale? Cioè è integrabile in D? D semplice D regolare f non è continua in D, ma lo è in D Requisiti per applicare il teorema f limitata insieme di misura nulla di punti di discontinuità f é limitata in D : f è integrabile in D Proprietà elementari dell’integrale doppio Te o r e m a Siano R limitato e misurabile e f,g integrabili in , € R. Allora -Linearità : la funzione è anch’essa integrabile in e In particolare: -Positività e monotonia: se f >0 in se f> g in -Monotonia dell’integrale rispetto al dominio di integrazione se è un insieme limitato e misurabile , allora f è integrabile in ; se inoltre f(x,y) > 0 in , allora -Additività dell’integrale rispetto al dominio di integrazione ^ ~ ,°> mlgig ) ) --Omio,1=10" ÷ ,ne'rrrn f) ✗Y✗2+yz"✗"YD= [0,1]✗[0,1] Dfi,g)=✗Y,^-)✗'+YZflx,y)=✗Y×>+y,f:'R≥' {?} >'R•,>5-C-C°(D' { 0.4 ): 1' { °.}+✗Y≤12✗2+122ner QB9ftBgntflx ,y) + Bglx ,y)dxdy = flyyldxdytbfn.gl/,y)dxdy[ ✗ dxciy-xfdxdy-XR~misuradi.nl i 1 >flx, g)dxdy≥0•1>flx, g)dxdy≥gkyldxc.ly r'CI1'_Iflx.yldxdy-H.fi/,y)dxdy se e sono domini regolari, ha misura nulla e se f è integrabile in , allora: -Annullamento se Te o r e m a Sia R , limitato e misurabile e f€ C ( ) e limitata . Allora 1) se è aperto, 2) se é connesso, vale il teorema della media tale che Applicazione degli integrali doppi al calcolo di masse e baricentri (di una distribuzione superficiale di massa) Immaginiamo una lamina di cui sia nota la densità superficiale di massa: Massa: Baricentro: Caso particolare della lamina omogenea: Massa: Baricentro (o centroide): Esempio : Ascissa del baricentro di D Considero D come x-semplce: (Potevamo effettuare lo stesso calcolo considerando D y-semplice) Cambiamento di variabile negli integrali doppi Oss n=1 formula di integrazione per sostituzione n=2 Passaggio a coordinate polari Esempio: Oss 1=51,1-12di1, AnnaRUR, ✗ 5-(×,y)dxdy -_ flx.yldxdy.tn/fflx,y)dxdyrNR2rl-- 0'5- ix.g)dxdy --00,flx,Y) ≥Oin1efix,y)dxdy :O=>f:Oin1R:7unpunto(XO,yo)Edflx, g)dxdy =f/✗0,40) I Kix .gs#dy=v>!"""" Plx , g)=p ☐ dm =plx,g)dxdy M= f)play)dxdy☐m § ✗ plx , g)dxdyjYB.fm/fypHy)dxdy B(✗B,Y,} ) :✗B.=1DDM-- P -a (D) C- ( ✗c,yc) :✗y=psino2flx,g)=✗'+y≥= p22bB☐'= ftp.O)◦≤se2,◦≤◦≤ È}|)1×2+42)dxdy : § , 92dpdo •in n-i://ixidx-fflqithg.lt )cit☐a Non è una dimostrazione, bensì un ragionamento di tipo intuitivo Oss In cartesiane: In polari: Voglio calcolare l’area: Lunghezza arco: raggio x ampiezza angolo sotteso Assimilandolo ad un rettangolo Dunque la formula di passaggio diventa : Esempio: f non è definita nell’origine ma l’Integrale esiste per le considerazioni precedenti Fine integrali doppi Le serie numeriche Oss Procedimento di sommazione ordinaria di numeri reali successione delle somme parziali Def di serie dei termini an Data una successione di numeri reali {an} ,si dice serie dei termini an la scrittura formale an= termine generale della serie Sn=somma parziale n-esima (ridotta n-esima) Lezione 26 Aprile 2022 Def di serie convergente, divergente, indeterminata Si dice che la serie é convergente, divergente, indeterminata se rispettivamente la successione {Sn} è convergente, divergente, indeterminata In particolare, se {Sn} n è convergente, con lim Sn=S. Allora si dice che S è la somma della serie e fix,y)dxdlf^^ ydxdlf ^CYtdy----------enptdpg-------- Fi daB°I1)Dp'' l ☐!I,ei0",A°✗✗+DXÀB-- pdopdt >Ad--dp,BT=clp-_ pdpdtdpSI 5-ix.y)dxdy = f)f/pcoso , psinopdpdl DD'^y:X✗4 ✗ ×>+y,c'✗DID={(×,y)◦≤✗'ty'≤4,y≤✗,✗?0,y≥o } D>☐' =/4,0) ◦≤g≤2,◦≤o≤ I} IT/4,È,"12=2¥, § 5-ix.y)dxdy= ✗ cososino- pdpdo = /(cososinofpdp)di= /cososino.CIO=L / cosoSinodo-7Sirio◦ =/%)?{ Di°02o0✗|1112|'14,48A',effgAB'2C 2=1+1-2 +tut §t' g+132+--- { 0in } MEINQOtQi+A21-Di}tant...tant...So=010Si=QotQI=So+ai52=QO1-ai1-012=SI1-Qz53=010+ai1-021-Q}=52+Q};{SH neinan=/Snn+oMEN= [Ean=010tQi+Qzt...tant...Mio1+omio Def di serie regolare Una serie si dice regolare se è convergente o divergente (Ovvero se esiste il limite ) N.B . Il termine indeterminata é a volte sostituito dal termine “irregolare” Carattere di una serie (o comportamento) é la sua proprietà di essere convergente, divergente o indeterminata Oss L’indice di sommazione può partire anche da un altro numero di naturale No € N Esempio: Definizione di resto n-esimo Se è convergente ad S, si dice resto n-esimo della serie il termine Rn = S - Sn Esempi di serie La serie geometrica q=ragione Oss Dunque : Conclusione : divergente indeterminata convergente Esempi riconosco subito che si tratta di una serie geometrica, ragione = q = sarà convergente riconosco subito che si tratta di una serie geometrica, ragione = q = sarà convergente Se l’indice partisse da zero, converge a ma in questo caso parte da 2, devo togliere 2 termini Numero fissato (non cos q = ragione non è fissato, dipende da n —> non sono serie geometriche ✓+co+o1 ZE antnn:ONel+ 2 n:O①~+o 1+9+92 t...tq"+... =Lqn)q EIRn--0^ Sniltqtq '+..-t an >e?.. ) ""+a"-' b +....+ bin -'=°'"-b"an-b?/ a- b)( a+a"_'b+...+b"" ) -a""a-b1-9msea--1,b-_q>1tqt...tq"_'=1-qSn--ltqtq'+...+ qn =1- 9Mt '1-q) 9=119=1Sn=nt1Iimsn=+no,9=1n>+co+no,q>1f-q, 191+• ( ^- Inti) =1n>+ioSn=/in=> È "1=1minlnti)^flx)=↓+°1 E n=,^STRATAGEMMA:I1>KKtlK≤✗≤KtlK≥',KEIN ÙH ≤'×≤'µ,ktlKtlHtl /f- c'✗≤ | 'di=')/dx≤'kkkkk↑costante"KtlM"s-2 K=,K='+ ↓ + § +...+ In = Sn K=,µ,↓di≤ 2 ,nKtlNtl | 'c'✗= /I "✗= login +i ) - log(1) = 109In+1 ) K--IK×1>109Inti)≤sn+oIimsn=+co> E nei ↓ Mto+co (1)Emio0in=QOt①i+a2+Q3t014+...+①nt... (2) =bitbz+①4+015+...ant... { sn } nEan {Tn) nseriemodificata12)Tn=SM,-(QO+ai+02+03 ) +bi+bz,=>Tn=Sm-KK{sn }c>{on}>3+I+fa+tu.._=2+3=5)1+1-2+1-4+ § ...=249.47 Teorema (operazioni con le serie) Siano due serie convergenti rispettivamente ad a e b (a,b€R) e sia c € R una costante. Allora le serie sono convergenti e risulta: Dimostrazione Siano le successioni delle somme parziali di rispettivamente. Sia la successione delle somme parziali di Sia la successione delle somme parziali Esempio di applicazione la serie è la somma di due serie geometriche serie convergente Teorema (condizione necessaria per la convergenza) Se an converge, allora lim an = 0 Dimostrazione Sia {Sn} la successione delle somme parziali. Risulta an = Sn - Sn Inoltre sia S = lim Sn Allora lim an = lim (Sn - Sn ) Esempio data non converge Serie a termini non negativi Teorema (regolarità serie a termini non negativi) Una serie an a termini non negativi (cioè an > 0 V n) è regolare (o converge o diverge) Non può essere indeterminata Dimostrazione Sia {Sn}n la successione delle somme parziali. Risulta : é crescente Per il teorema di esistenza dei limiti di successioni monotone: lim Sn = sup {Sn } = . Precisamente: InaneZnbnZnlantbn) e In/can)[ (an+ bn) =atb, In(can)=Ca./sn}n e { in }nZaneEn nbn +co{tu}nEnIan +bn)tn-010+bo+a,+a≥+bzt...+0in+ bn ==00+ai+012+...+an+bo+bs+bzt...+bn= Sn +In+oIimtn=Iim (Santon) =a+b)2Ian+bn) =atbM>+con>+comio+no{dn }nE. ◦condn=CQOt(QitCo2t...tcan=cSn+oIimcsn=c.a >-2 n→+•dm=timcon=COLn>tcomio+o z2^+4"gn =/f) "+ (¥) "5N)an,2^+4"mio+o z2^+4"+° (f) "+ Egn=-2+° ( " 5) ^ ) q,= } ,q>="5, lq ,/E2^+4"1+1=5-3+5=20mio5~='-EI-4355 è mioh>+ con -1n->+◦'n>+•"¥+•-'=S-5=0+o Z cos1 jlimn>•cos1=1=/0)-2n'-1nM -In _Sn+1=sn+ a% >Sn≤Sn+1tu>{Sn} n7nato✗≤+co◦se✗=+co> [ andiverge)◦se✗ In an=a Esempio carattere? —> serie a termini non negativi, dunque o converge o diverge non converge essendo a termini non negativi, diverge. Criterio del confronto Siano due serie a termini non negativi (an > 0, bn >0 V n) tali che an < bn V n. Allora: 1) Se converge converge “serie maggiorante” “Serie minorante” 2) Se diverge diverge Dimostrazione Siano {Sn }n e { } n le successioni delle somme parziali rispettivamente, allora: 1) Se bn converge finito lim {Sn } è limitata : Sn < é limitata e crescente (per il teorema di dei limiti di successioni monotone ) converge 2) an diverge: per assurdo suppongo che bn sia convergente: ma per 1) é convergente (assurdo) è divergente Esempio non è geometrica ma la posso maggiorare : Termine di una geometrica É una seria geometrica convergente (somma=2) Per il criterio del confronto: Converge e Oss serie armonica generalizzata noi sappiamo che : diverge diverge per il criterio del confronto Esempio Cosa fa questa serie? Criterio del confronto asintotico Siano serie a termini positivi ( an > 0, bn >0 V n). Sia inoltre an bn per n —> + Allora le due serie hanno lo stesso carattere. Oss Carattere? Serie di mengoli: convergente è convergente per il criterio del confronto asintotico Oss è convergente per il criterio del confronto per Lezione 29 Aprile 2022 Dimostrazione É noto che Dalla definizione di limite, tale che se risulta che ^+o Z vi.1(◦S1n),0in=COSInIimn>+cocos'=1=10>En> È costheIman e Znbn ,--2-non= Znbn > È an Znbn-E.am > Enbn on Fan e [bnSn=Qo+Qi+...+an≤bo+bit...+ bn =Tn,tuSn≤TntuEn→]→+ corner >- on ≤otre{sn }n >]]Iim"¥+•Sn=s≤o> IanIseo)InEnEau > Znbn +•11I-2mio2^+1 ) an=271an=zn+,≤ In = ({) ""+co+co+°, E ' E.I:-) "> E mio2"tiho2^+10+ose✗1In)≤fndiverge=>EnaMelha+°|Ern,✗=laEdivergeM:|Enone Znbn -~co.+I2-n='^≥+no,1+,2-,nlnti)~n'2pern>+co=>Enlnt')n=,n≥h=sea>2=> ha > MIha +cobn=1E='2,7noC-INn>no,NEIN☐nbn_'+arctg(n'ti)-2.+sentii-')) annn}n}~n}=1convergen'+10911th')n-57login) =ns+6109nsnsM2Zann 1 >Zann+no≥n;Qn.-ntimoMt1n!anti=nt2.n!=nt2.MA=nt2>0 )1=0(1-7InntianInti)!nti(nti) Y !ntlIn+1)2n!+°✗n✗" In :OM!✗>00in'n!+°✗n anni '=✗"+'✗n=✗"+'>0 1=1 ☐n='(mt,>,>1=1anan t n En an=L≤+0.noto l > Zion| >2-anan>0'+.n' an.CM/ È/÷ . ) "☐"=/g?+, ) ","an=2h6^+1> § =L21+• ?% ., ( 1+ f) ",an-_ ( +↓) ≥ ) "an= ( '+ £) ">1=1.casoDUBBIO La serie data non converge perché non è rispettata la C.N. di convergenza La serie data diverge (essendo a termini positivi) Criterio integrale Sia an una serie a termini e sia f: [no, ) —> R , f € C ([no, )), non negativa e decrescente in [no, ), tale che Allora converge o diverge rispettivamente se converge o diverge Oss Serie armonica generalizzata non negativa e decrescente sono verificate le ipotesi del teorema in analisi uno avevamo visto che l’integrale improrpio converge se >1, diverge se +°≥0Un≥no+oI°+no+ioan-flx)pern≥no. E tuh È .noan /flxldx.no È "^(se✗≤1diverge,sei≥2converge: f ?'a ) maNelQn=1maifili1✗×f:[1,+co)>IR,feci[ 1,+co ) ,=)tototoI | flx)di= / 11,✗a×°°_->ÈnaConvsea>1,d.iv✗Emianlogindiverge+o1Zman''09N' (B)0,8=11)Ian=nllogn)Iflx)=✗(loqx)f:[2,+a)→IR+no,seB12✗llogx)B""=/" ↑ ✗1,0g,>Box=Iim-sto § 1-Bt>+•1-Bg-,2toI>En=, nlloojn)'divergeseBI,convergeseB≥i"¥dall'es.diprima+°I-2man◦ 9nF ✗=L,B>i✓a>1KB, Serie a segni alterni dove an= (-1) Criterio di Leibniz Sia data una serie a segni alterni bn >0 V n. Se é decrescente Allora converge. Inoltre, dette {S2n}n e { S2n +1} n ,e successioni di somme parziali di indice pari e dispari rispettivamente e detta S la somma della serie, risulta che Esempio Serie armonica alternata Carattere? Per Leibniz la serie converge Domanda: quanti termini della serie devo sommare per approssimare la somma della serie con un errore < Somma parziale ennesima di indice 99 Serie a termini di segno arbitrario Def di convergenza assoluta Si dice che una serie generica converge assolutamente se risulta convergente la 3 maggio 2022 Criterio di convergenza assoluta Se an converge assolutamente an converge Oss Non vale il viceversa : an converge an converge assolutamente Esempio serie armonica alternata Converge per il criterio di Leibniz ma non converge assolutamente serie armonica —> divergente Esempio Criterio del confronto Per il criterio di convergenza assoluta Conclusione: a termini di segno arbitrario: ÈIÌOAN " bn ,conbn>otu.bo-bi+ba-b}....es:-1,2,-3...+o È ,1-1)"bn,- ①Iim n→+obn=° ②{bn} nESanti≤S≤Santne/rn/ =/ S-sn/≤bn+1,kn•i""s'2so:b.So=bo,s'=bo-b,si53sbo-bitbz...I-1)"bn+ ÷ =SS>=Si+b.2Irnl≤bntl+°I-1)": Z n+1=1-↓+3 ....n:Obn=1nt,>◦tn①Iim1n→+obn=tim,ti→+any,=D✓ ②{n'+, In decrescente|?100errore:/rn/≤bntl=1< % =>nt2>100=>n>98,n≥99599nt2+ocosini)EM2-mn'2 [ nonIn0in. In>%In≠ > In +°1.i)"i=I_la+§- f ,+---. In :OntiEntant='+'-2+'-3+te+°[cosini+il](n-I)En'-2n}109h≤In,=>Zbnconvergean=[cosIn>+1)]In-1);bn=Ian/=(n-I)cos(n'+1)≤n-I≤nn}109Mn}/ogn^n>109hn>login=na/ognmaggioriE1(a>IConv)=>ZbnconvnatronIbnconverge>ZanconvergeZnan←1)Zlanlconverge> Ianconverge2) Etantdiverge > ?nulla Serie telescopiche Esempio Serie esponenziale per il criterio del rapporto converge V x) converge per il criterio di convergenza assoluta (Come McLaurin) Esempio: serie di Mengoli Si studiano generando le successioni delle somme parziali Carattere: Esempio telescopica Fine serie Equazioni differenziali Equazioni differenziali ordinarie Equazioni differenziali parziali ordinarie 1 variabile Più variabili Quelle che tratteremo nel corso Def di equazione differenziale ordinaria Si dice equazione differ