Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Elenco dimostrazioni del corso

Divided by topic

Dimostrazione 1: relazione fra differenziabilità e continuità Relazione fra differenziabilitá e derivabilitá in V direzione f derivabile in V direzione f differenziabile Teorema: formula del gradiente Sia A aperto R, f: A —> R, xo € A, f differenziabile in xo. Sia inoltre v un versore generico in R. Allora f è derivabile in xo nella direzione v e: Dimostrazione Poiché f è differenziabile in xo : Noi sappiamo che : Direzione di max/min crescita f differenziabile in xo D massima direzione di max crescita : minima direzione di min crescita: Teorema funzione differenziabile f differenziabile in xo f continua in xo Dimostrazione : Dimostrazione 2: relazione fra differenziabilità e derivabilità lungo una direzione arbitraria (formula del gradiente) Dimostrazione 3 direzioni di massima e minima crescita Dimostrazione 4: il teorema di Fermat Sia A R un aperto e f: A —> R. Sia f derivabile in xo € A. Se xo è un punto massimo/minimo, allora xo è critico. Dimostrazione Sia per esempio xo un punto di minimo. Allora : tale che Considero la base canonica di R è un punto di minimo locale per g Allora g é derivabile in t=0 e ha un minimo in t=0 =)-Iim≤→×, fai =Iim(tie) + ) +o / =filo)E.→IO(rinvio) -es◦flx,g)=✗2ge'derivabileintldirezione=)- #DIf-10,0):}✗2Bfe'diff.?No!≤^n DIf(Xo ) =Pf1×-0).tlf(E) = fico) +of/E) ◦(E- E) +◦ (H-✗◦1)ossidv.fi#l=Iimfl.xottv)-flEo) o ital) --◦(Hilal):olltl/=◦It)1-→ot ' mafle+tv) =f-(xe ) +☐filo).tu+◦(Itri )pertso+→◦☐Fia) .tu+◦ (Itu)=1in( ☐filo).tl+◦ ltifvf( ☒ ) .Esostituendoottengo: linfa¥) +☐filo).tu+◦(Itri ) - f =/imtt1-→o tu ↓◦≤•≤ :* : |,ef(✗ a) =D-5Ho ) .v.=/OfIno) /. III. cosa f-y^•DIfico) per 9=0/¨sIllOf /Io) ,stessoversoI9>Istt☐filo)ltflxo) •Io,e° Drift ✗°)per9=11-4--1VIl✓filo),verso opposto K-☐filo) ≤" 76 >o5-(±)≥ f , VIE1361) ^ {E',E,...ln }glt)=f-(✗◦+tei) >:I'IR,Iintornodite,°"gIt)≥ gio)=>c-=OI=✗o+teig)10)=lire, 9h)-910)=Iimf/✗°+tei ) -t'°)= ÈIN 7 per hp => Ig'10)tt>°t Per il teorema di Fermat in 1 variabile: xo è critico Allora g é derivabile in t=0 e ha un minimo in t=0 Dimostrazione 5: Riconoscimento della natura dei punti stazionari (caso del minimo relativo, del massimo relativo e del punto di sella) Sia A aperto R, f: A —> R, f € C (A). Sia xo € A un punto critico per f e sia H ( xo) la matrice hessiana di f in xo. Allora: 1) se H ( xo) è definita positiva xo è un punto di minimo (locale) 2) se H ( xo) è definita negativa xo è un punto di massimo (locale) 3) se H ( xo) è indefinita xo è un punto di sella Dimostrazione vale la formula di Taylor (xo è critico) xo è un punto di minimo (locale) Formula di Taylor + xo critico: xo è un punto di massimo (locale) Non prevede dimostrazione Dimostrazione 6 irrotazionalitá del campo conservativo Teorema (condizione necessaria per il campo conservativo) Sia A aperto connesso R e sia F : A —> R, F € C(A). Se F è conservativo in A F è irrotazionale Dimostrazione il campo F è irrotazionale G)Io) =0=> fa . 1×01=0 ,Ke-=1...n=>pf(✗0 ) =0=>≤^2f|.o :& '- Hfle) ≥ tlhl ',Ken>f-le + E) -filo)≥ { ✗lhl '+ othl)perle > Q =1h12(f- +011) ) 7ci >otalechese 1h /< 6 °,allora:1h12(f- +0111 ) >oper1h /< ci RICORDAILTEOREMA=>f-(Io+ E)-5-1×-0) >Ose 1h /< ci =>qèdef.neg.=>3-A>0t.C. 2)qix)≤✗ix.12f1×-0+7) - tie);9TH ,'±)E+◦ (IGT) ≤- £ . 1h12 +◦(ihr) ÌÉf£s) 7ci>otalechese1h/- {+011)1- { % ,,io,/+cobn=1sceltoE='2,7noC-INn>no,NEIN☐nbn-'109lz/=1-(×)+4)/2-(×)/=e."+""×))2-(×)=± lk.la '"2-=/0dz2- > 2-(×)=C la '"conCEIR- { o }>2-(×)=C la '",tcC-IR,txEI.- E:--E- yix)=e"".{C+ /blx)e-+'×)dx } ,teEIR,✗EInnAlx)Y'(×)=C'1(× ) ,e"+C(✗le"" .at/)=alx).clx)lA' ×)+blx) teEIR,¥✗C-I Sostituisco nell’equazione: Teorema (struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale ordinaria lineare del 2º ordine omogenea, forma normale) Risulta che Z è uno spazio vettoriale Dimostrazione È già noto che Z C (I) Siano z e z € Z e siano Sia z Risulta: zo € Z? Sostituendo nell’equazione differenziale: per il criterio di riconoscimento dei sottospazi: è uno spazio vettoriale C Siano b, c € C (I), I intervallo R. Detto Z l’insieme delle soluzioni dell’equazione Teorema (Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione lineare omogenea del secondo ordine in forma normale.) Dimostrazione 1ª parte: costruzione di due soluzioni linearmente indipendenti Siano xo € I e u , u , v , v € R tali che Sia I un intervallo R, b,c € C (I). Sia Z lo spazio vettoriale delli soluzioni dell’equazione z’’ + b(x) z’ + c(x) z =0. Allora dim Z =2 Consideriamo i due seguenti problemi di Cauchy: Per il teorema di !, uniche z , z € Z, soluzioni rispettivamente dei due problemi di Cauchy P1, P2. z e z sono linearmente indipendenti? Per assurdo: se z e z fossero dipendenti tale che Domanda: assurdo z e z sono linearmente indipendenti 2ª parte: Sia z € Z. Se z è combinazione lineare di z1 e z2 tali che tes i y'(×)=C'lx)et'×)+[(×)e"×)-a(× )c'a)la '"+C(✗le"" .at/)=alx).clx)lA' ×)+blx) teEIR,¥✗C-I0E2-"+blx)2-'+((×)2-=0,C(2. ( I ) -c2--12-✗, µ EIR.-o=✗2-1+ µ 2-2.-2-◦'=✗Zi'+ µ 2-2',zo"=✗z,'+ µ zz"✗z,"+puzzi>+blx)/✗z,>+pezz' ) +((x)(✗Z,+µza ) ==✗(z."+blx)Zi'tclx)2- 1) + µ(za"+blx)≥>'+Clx)2- 2)=D,ti✗EI'g,lll'Ó>zioE-2Z c2 II) ≤°-noV0°'°1µ,✓,=/0""£"+°""≥"+""""°"" { ≤"+°""≥"+°""≥ { 2-(✗◦t.no2-(✗a)=✓o2-'(✗a)=MI2-'(XO)=V1 77 a-212i2) ]tEIR' { 0 }2-2=112-1, Za' =✗-21'inIIn✗o :{ 2-21×01=+2-11×0) 2- s'1×01=12-1 ' 1×0){ V0=✗nono✓°=no✗no12=0V1=✗v1MiV1MA✗MI -2=42-1,2-27 71 , µEIR: in xo: sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite Per il teorema di Cramer soluzioni del sistema È noto che vale z(xo)= Su z:Su z: (Perché z é combinazione lineare di z1 e z2) z e z sono soluzioni dello stesso Problema di Cauchy e per il teorema di ! Ma è vero che Teorema (struttura dell’integrale generale di un’eq. d. o. Lineare completa, 2º ordine) Siano I un intervallo R, L’integrale generale dell’equazione é dato dalla somma dell’integrale generale dell’eq. omogenea associata e una soluzione particolare della Dimostrazione 1ª parte: Sia z= z(x) l’integrale generale di e y una soluzione particolare di Sia y=y(x) = z(x) + y Sostituendo nella 2ª parte: Sia y=y(x)una soluzione della Sottraendo: cioè soddisfa la yp é soluzione della 2-(✗)=✗z,(×)+ µ 2-2(× ) ,K✗EI2-'(×)=✗2-i>(×)+µ2-a>(x),K✗EI {✗Zi(✗a)+µ2-21×0)=2-(✗a)=No✗2-1)(✗0)+ µ -22>(✗0)=2-'(✗o)=W, { ✗no+µv0=WO.miV17!✗, µEIR, D ,✗2-ilxo)+µ2-a1×0)?2-1×1=12-iIx)+µ2-alx)ltxEI?IIx)= ✗ z,Ix)+µ2-2(×)Z/×), ÌIX)£""€ ≥{ ≥"+"""≥""°""≥≤°2-(✗0)=WO2-'(✗0)=W,~ Iez ~Ì(Xo)=✗z,1×0)+µza(XO)=WO E '(✗a)=✗Zilio)+pezz'1×0)=WI~7>2-1×1=2-7×1txET =>2-(×)=✗z,(x)+ µ 2-2(×)✗C-I=> Z ==)Clim-2=2I ≤×, B ,8,5-E[◦II ) a/×)y"+Blx)y'+Xix)y=flx)2✗Ix)-2"+B.(×)Z'+Hx)2-=012p1plx))Y'(×)=2-'(×)+yp>(×))y"Ix)=2-"(×)+y"p(x ) 1:✗(× )(2-"+yp" ) tB(×)(2-'tYp')+8(×)(2-+Yp)==,XIX)2-"+B(×)2-'+JIX)Z,+ tlx )Yp"+Blx)yp'+✗(×)Yp; Otflx)=flx)) ylx )=2-(×)+yplx)1'Òflx)--' :{ ✗(×) Ìf "+ Bixly 't81×1g-=f-(×)✗(×)yp"+Blx)yp'+81×1yp=f/×)←1✗(×)(yi"-yp")+Blx)/g-'-yp' ) +ri)(g--yp ) --0>g--ypEZ=> 7EC-Z: y -yp=2-, Ùflxtzlxtyplx) Equazione omogenea a coefficienti costanti: Si ipotizza Sostituendo: Equazione caratteristica associata alla (1) radici reali e distinte z1 e z2 sono linearmente indipendenti Metodo di variazione delle costanti arbitrarie: Sostituendo nell’equazione: linearmente indipendenti? Ricorda che per essere lin. Dipendenti si vede ad occhio che sono uguali l’una all’altra per una costante arbitraria z1 e z2 linearmente indipendenti , Z è uno spazio vettoriale è uno spazio vettoriale (Per il criterio di riconoscimento dei sottospazi) Struttura dell’insieme delle soluzioni di un’equazione lineare omogenea 1º ordine (in forma normale) (1)raz"+bz'+C2-=D,a)b,CEIR,a-1-0sea:O=>2-'=_ § -2,Za)=He' § ≥,tkC-IR2-(×)--e",REIR?Z'(×)=rl",-2"(×)=r2e'×a arie "+ bret +e # o>ar'+brtCi>0:M,V2Zi(X)=e"×Zzlx)=L"×>z,e-22E ZZÌ(×)=me"×,2-2'(×)=r,e"¥×in✗=D :{ Zito)=e◦=1 { 2210): l' =111=ri-rz=/0>2-1)(0)-miZz'IO / =rztirz>2-(×)=cel"✗+(ze" ;fa,"¥ EIR=D:r=-b±A=-b; dar+b:O2ALa2-ilx)= l' ×,Zalx) =?-221×1=81×)e",Xix).-?Zz'(×)=✗'Ix)e'"+Hx)re"2-2"(×)=✗" l' ✗troie"+RX'e"+✗r≥ e' ✗=✗"e"+2rs'e"+trae"a-2"+b.È+C.2-=Da/s' '+art'+tra) "+bis'+Tr ) +ereOa /s''+ZRJ'+tra) +b(8'+Tr)+c8=0a8"+ ( zar+ b) si'+(ara+brtc)8=0)at"--0>✗"=D>8'=Kt