Biomedical Engineering - Fondamenti di Elettromagnetismo

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Elettromagnetismo P!e 1 Lezione 21/02/2022 Introduzione al corso Elettromagnetismo: scienza che studia le interazioni elettriche 4 Forze fondamentali 1) Forza gravitazionale: governa l’interazione tra oggetti nei sistemi dell’universo ma solo con dimensioni macroscopiche (es. pianeti), con ogetti microscopici tale F é trascurabile 2) Forza elettromagnetica: è una forza che governa l’interazione tra oggetti microscopici e a differenza di quella gravitazionale può essere attrattiva o repulsiva 3) Forza nucleare forte: mantiene protoni e neutroni in un’unica massa al centro degli atomi ( il nucleo ) 4) Forza nucleare debole : presiede i decadimenti dei nuclei L’atomo ha un nucleo centrale positivo, attorno al quale c’è una distribuzione di carica negativa (sono gli elettroni). Tali elettroni orbitano attorno al nucleo secondo geometrie particolari Dunque la forza con cui due protoni si respingono é diversa da quella con cui si attraggonoTale differenza ci garantisce che la materia in cui viviamo é neutra Agisce la forza nucleare Questa forza permette a a protoni e neutroni di rimanere compatti nel nucleo Concetto di neutralità elettrica La natura fa si che la stabilità corrisponde alla neutralità elettrica (cariche di segno opposto e uguale valore) NB dimentica l’approccio di azione- reazione delle interazioni di fisica sperimentale In elettromagnetismo parliamo perlopiu di campi. Ad esempio noi possiamo misurare diverse temperature, dunque abbiamo un campo scalare di temperature. Solitamente l’area più calda é localizzata verso l’alto, dunque, ad esempio, avremo un campo scalare crescente, secondo un gradiente che descrive la variazione di T. Avere un campo= poter assegnare in modo univoco a tutti i punti della stanza una proprietà che viene analizzata Se ho due T diverse, ho sbagliato! Campo vettoriale: la grandezza di cui ci occupiamo é vettoriale e non scalare (es. campo di velocità delle particelle di un fluido ) “In ogni punto del mio dominio, posso assegnare in modo univoco un vettore, dotato di modulo direzione e verso Campo scalare: la grandezza di cui ci occupiamo é scalare e non vettoriale (es. di grandezza scalare: T) “In ogni punto del mio dominio, posso assegnare in modo univoco uno scalare. Differenza tra campo vettoriale e scal"e Le cariche positive neutralizzano infatti quelle negative e viceversa Analizziamo adesso la differenza tra metalli e isolanti Noi abbiamo studiato in chimica che esistono 4 numeri quantici, ma per il principio di esclusione di Pauli, non posso avere dentro un blocco di metallo (chiamiamolo cristallo) gli stessi numeri quantici. Ipotizziamo di prendere due atomi provenienti dallo stesso metallo, ad esempio il Litio che é semplice con 3 elettroni e 3 protoni Se io prendo gli atomi di Litio e li avvicino tra loro, io so che i livelli energetici, che quando gli atomi erano distanti sono tutti uguali, vanno a interagire, entrano in gioco forze di diversa natura (attrazione protone-neutrone…). Queste forze fanno si che gli atomi restino vicini tra loro e così ho costruito un reticolo cristallino. Immaginiamo di avere una scatola cubica con dentro tanti cubettini Reticolo cristallino a simmetria cubica (uno dei più semplici) Ma per Pauli ciò non va bene, dunque i miei livelli originari (1s 2s) diventano delle bande ovvero tendono a dividersi ( si splittano) dando vita a regioni energetiche che rappresentano un continuo delle regioni energetiche degli atomi Caso del Litio: ho due bande (una di valenza e una di conduzione). Nel caso del Litio le due bande sono sovrapposte Cosa succede? L’ultimo e- si delocalizza “Non possono esistere due elettroni (fermioni) con lo stesso insieme di numeri quantici” NB si considerano sempre gli e- dello stellato più esterno I il /i/iii.IlIIIi/'iNEUTRONIcaricanullaPROTONIcarica⊕≥ ELEITRONIcarica⊖Fel=1036per2protoni/Fgrav. ¥ O0⑨00O no ma ☆esempioideale:ilfiumev [Li/ =1s'2s'• I'È MMMM 1)MMM1s' 2ft Shell15livelli25,hoglie-"dellariempita✗metàshellinternacipuòessereconduzione Gli elettroni delocalizzati circolano liberamente Caso del diamante: le bande sono presenti, ma sono separate da uno strato energetico molto grande La banda di valenza non può contribuire alla conduzione in quanto gli elettroni che la occupano non possono acquistare quantità di moto sotto l'azione di un campo elettrico per mancanza di stati disponibili ad energia più elevata Caso A immagina di prendere un tubo con estremità tappate, se il tubo é completamente pieno d’acqua, anche se inclinato, l’acqua non sarà libera di muoversi perché le particelle per muoversi devono andare nello spazio libero che in questo caso é assente Caso B considera lo stesso tubo inclinato e riempito per metà, ovviamente ora l’acqua é libera di muoversi Anche gli elettroni allo stesso modo sono o meno liberi di muoversi Isolanti Conduttori (metalli) Semi-conduttori Le bande rimangono separare ma l’ultima banda è completamente piena di e-, dunque non c’è movimento (Come in un tubo pieno d’acqua che capovolto non fa muovere l’acqua) L’ultima banda disponibile non é completamente piena di elettroni quindi non c’è una differenza di potenziale e si può creare corrente (come in un tubo pieno fino a metà di acqua, dunque capovolgendo il tubo l’acqua si muove) La zona proibita é molto piccola e quindi se sollecitati adeguamento diventano conduttori I metalli hanno infatti, al contrario hanno una struttura cristallina con spazi energetici liberi che permettono agli elettroni di muoversi quando applichiamo una forza elettrica ad un campo. Tale movimento verrà descritto con la conduzione La c"ica elettrica La proprietà fondamentale della carica elettrica é che si conserva . Noi già sappiamo che si conserva l’energia, la quantità di moto, il momento angolare…ma adesso vedremo anche che si conserva la carica elettrica. In fisica esiste una relazione tra simmetria (o invarianza) e la legge di conservazione. “Invarianza”: es. una sfera é invariante per la rotazione Teorema di Moether Dimostra come dall’invarianza di traslazione, derivante dall’omogeneità dello spazio, si conserva la quantità di moto per un sistema isolato, nella componente di traslazione (posso applicarla lungo x, y o z) Invarianza per traslazione Conservazione quantità di moto Invarianza per rotazione Conservazione momento angolare Isotropia dello spazio Tempo è omogeneo (se io conduco un esperimento oggi o domani con gli stessi dati, devo ottenere gli stessi dati) Invarianza per traslazione nel tempo Conservazione dell’energia Data la funzione di stato per un dato sistema fisico, per conoscere la grandezza che si associa a quel dato sistema fisico, devo determinare il modulo quadrato di Se io considero Si può dimostrare (matematicamente) Tutte le leggi di conservazione sono strettamente legate al concetto di Invarianza e di simmetria Lezione 22 febbario 2022 gli N elettroni 2s occupano solo la metà degli stati disponibili. Questo consente la conduzione di elettricità, poiché, sotto l'azione di un campo elettrico, gli elettroni della banda di conduzione possono acquistare una quantità di moto netta nella direzione del campo e quindi un supplemento di energia cinetica. Questo può avvenire grazia alla disponibilità di livelli energetici liberi in grado di ospitarli. Esempio utile E7 mmm bandadiconduzione(vuota)↓ '" ammazzandolo """BANDc'☐P"^bandadivalenza(piena)a88§È 3 Ètipglie'→ | nozone"^proibite [email protected] ⑦h@_ETffoETESffEtÀ (lebandesibandadivalenzac'èunintervallodisovrappong.)energiaP. r o?. i I 0.I| IIIiii/il /IIIi lullllllllloolllllllllllltffffphlulllllllllallllllllllllltffffphlulllllllllellllleeellllhffffph Y °2A8Y '= µè 14 [ cosi>e" ]✗'= Ècosi✗+at ) ANNY Da quest’inverianza, allo stesso modo, possiamo dimostrare che la carica elettrica di conserva 1ª proprietà la carica elettrica su conserva 2ª proprietà la carica elettrica é quantizzata 3ª proprietà la carica elettrica é invariante rispetto al sistema di riferimento 2ª proprietà La carica elettrica é quantizzata Altre grandezze sono quantizzate, basta pensare all’energia 3ª proprietà la carica elettrica é in variante rispetto al sistema di riferimento 2 sistemi in moto relativo Esperimento di Millikan Millikan é uno scienziato che è stato in grado di dimostrare la 2ª proprietà ovvero che la carica elettrica é quantizzata. All’interno vi é un campo elettrico Millikan utilizza uno spruzzatore per riempire la camera superiore di goccioline di olio e tra le due camera era presente una piccola apertura modo tale da consentire alla gocce di olio di accedere alla camera inferiore. Dopo la caduta delle goccioline, Millikan da bravo sperimentatore, osservava le goccioline dal microscopio e cambiava la tensione modo tale da bloccare le goccioline all’interno delle camere. Ogni volta prendeva nota della differenza di potenziale applicata! Dal diagramma delle forze so Applicando le varie differenze di potenziale, trova dei valori di carica diversi, i quali sono tutti multipli della carica fondamentale (ovvero il Coulomb) Ma cos’é la carica elettrica ? La carica elettrica é una grandezza scalare, dunque necessità un’unità di misura. Ma é una grandezza fisica? Affinché sia una grandezza fisica la carica elettrica deve soddisfare certi requisiti ben precisi: “un insieme di enti costituisce una classe di grandezze fisiche quando tra gli enti é possibile stabilire relazioni di confronto (=, ) ed effettuare operazioni di somme e differenza (tali operazioni permettono inoltre di determinare multipli e sottomultipli)” Possibile domanda di esame: quali sono i requisiti affinché una grandezza sia classificata con grandezza fisica? Si definisce grandezza fisica una classe di grandezza che contiene i requisiti affinché sia misurabile. Tutti ciò che è misurabile è una grandezza fisica (risposta semplice ma furba e corretta) Secondo questa definizioni (1, 2) posso confermare che la carica elettrica é una grandezza fisica L’elettroscopio a foglie Le foglioline si divaricano tanto maggiore é la carica presente. Attraverso questo strumento posso misurare per confronto la carica elettrica Possiamo sommare le cariche (unendo corpi carichi) o dividerle per un fattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttori uguali) NB! Funziona anche senza contatto ( induzione elettrostatica) n70Ù, rt •>y00'9l✗◦'Yo✓×- È qE'>telescopio: E=suFe=Avh>distanzatradacuiscrivoFe=Avqhh9learmatureFe.-qe^Fe=Fp=>suq= (p- g) ✓=>q= (p- f)V99 •Fp:mghAV✓un>diversipotenzialiapplicati(1)µ :....bacchettadiplastica(2) r MA Se io misuro l’angolo theta si rotazione, so che a tale angolo corrisponde Esperimento della bilancia di torsione Questi esperimento mi permette di ottenere una forza diretta lungo la congiungente delle due cariche: Dunque date due cariche q1 e q2: La scelta della costante k non é fisica bensì metrologica L’Unità di misura della carica elettrica è un’unità derivata come quella della velocità m/s (che non ha un nome) oppure quella del Newton, alla quale invece è stata attribuita un nome. Più precisamente, L’Unità di misura della carica elettrica é il Coulomb L’Unità di misura fondamentale del sistema MKSA però é l’Ampere (che è più facile da riprodurre) F attrattiva: cariche hanno segno opposto, F repulsiva: cariche con stesso segno Ricorda: riprodurre una carica e conservarla é molto difficile, però L’Unità di carica si ricava indirettamente dall’unitá di corrente Ampere= carica che passa in un conduttore in 1 s Lezione 23 Febbraio 2022 Commentiamo la formula Se non voglio il segno meno scrivo: Al prof piace questa “convenzione” perché accentua una differenza rispetto alla forza gravitazionale, che a differenza di quella elettromagnetica può essere solo attrattiva. Mentre in questo caso posso avere una forza attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche ( la 3ª legge di Newton continua a valere nell’elettromagnetismo” Analizziamo la costante: Scelta metrologica Non del tutto corretta, andrebbero espresse in C, s, N Analizzando ogni fattore Esempio In questo caso senza segno -, noné r2-r1 ma r1-r2 La legge di Coulomb é una legge di lineare, non quadratica. Ricorda che dimensionalmente c’è un quadrato si, ma c’è una doppia linearità Principio di sovrapposizione: NB deriva dalla linearità della forza di Coulomb “In presenza di più cause contemporanee, l’effetto risultante si ottiene come somma degli effetti che ciascuna causa provocherebbe da sola” Nel nostro esempio, le cause sono le cariche —> motivo per cui noi effettuiamo una sommatoria delle forze che le cariche i-esime provocano sole NB non si può applicare quando l’equazione ha variabili con esponenti diverso da 1 ! -7 E IFattrattivo.M'e=-MOMie--Feli:9→Ma=KOAOq@@q 'r le /=K'Qf-attrattiva•r2o>MAKO10III.Kaa p2Fia>=-K9,92 MIIK =' I/ nelsistema2122-"¥ITEO\MKSA ) MrA-=CSF>=_'9192Mia>41T{oriz≥"¥EocostantedielettricadelvuotoEO=8,31✗IO."Faried8.31✗IO_" µg÷ m È =_19192-yyg,µ,,µ,,,,ggg,q,q,µ,,,v21?O^g.FÌMI2m,"• NEIFÌ:-ȵ,>•TÈ1"¥ITEO"41T"Eo=8.85×10-"[{o]= ( Faraci ) >m / f)velocita'dellaluce\NONlaILI1-----------,=10-tc'{0=8.85×10-"a≥Kg-'M-3s"jCHIEDERA',1I41TEO'l'--------- Zapotreiaverefinoaqm91>✗1,Yi,2-1✗-✗1""""×=(✗a-×,/2+(yz-y,)?it(za--2,12n'9159292'✗2,YZ,2-21è"i nervi >r?-71',um,/y=Y-Yi>•/TI-11'/(✗2-✗1)'+(ya-Yi)'+(Za--2112,q(Clef.diversare ) s>yUrla/2-=2---2,(✗a-×,/2+(ya-Yi)'+(Zz--2112""""aversareM→→(X2-✗ 1)mi +(ya-Yi )my'+(za-2- 1)MÌFq=iqai""='° [ (✗2-✗1)2+(ya-y,)2+(za-2-1) 2) 312LIITEO È '/mi-mi>12°""""41TEoà-mi2>distanzatralecariche-ESEc-_ {muso21=1 Il campo elettrico Viene definito a partire dalla Legge di Coulomb Corretta per la carica puntiforme NB anche nel caso di cariche puntiformi, può essere conveniente collocare la carica nell’origine degli assi, tuttavia posso avere più di una carica, le quali non si trovano nell’origine Ottenuta con la legge di sovrapposizione che tiene conto della presenza contemporanea di più cariche all’interno del mio campo Più cariche Esempio con cariche discrete ( puntiformi )Esempio con cariche distribuite Corpo di struttura tridimensionale che continue un volume, all’interno del quale troviamo un numero sufficientemente elevato di atomi (tanti elettroni e protoni). Tuttavia questo volume deve essere piccolo rispetto al corpo. Non useremo mai x’per indicare la derivata Il volumetto contiene una carica Non si risolve con carta e penna, si prende il volumetto si divide tramite griglia, trasformandolo in una sommatoria di termini All’esame potremo avere integrali di linea, ma saranno riconducibili a integrali di una variabile (semplice) Se la forma è una qualsiasi —> griglia elementi finiti Se la forma superficie é semplice—> integrale Esempio con distribuzione di cariche continua (superficie) Determinare il campo nel punto P (al centro) L’integrale è sotto tutto il dominio Tau di integrazione NB il dominio di integrazione è l’integra superficie. Sia nel caso del volume, sia della superficie, sia della linea il d al posto del delta che si utilizza nell’integrale sta ad indicare la quantità infinitesima presa in considerazione. E in tutte e tre le formule le lettere greche minuscole indicano una pozione infinitesima del corpo o superficie o linea, mentre la lettera maiuscola indica il corpo intero. Esempio con distribuzione di cariche continua (linea) az90:sondamiÈa.9Elì)=99°1 uh .141T{o129/0↑'è lì >•90 È II)=°'^ Mi >•92"¥TEON27mi•sysy 9mmmElà)=1 È ai è -Èl'TEOinlà.mi>12là-NTI'laL✗zgfz')i.èa.È ---..ridensita'dicarica,utile×carichemacroscopiche✗> yly)è (re")--limda §costi)dx'AT>✗DI.-didydzp=densitàdicaricaLè-mi✗(✗')Elre)=1T=volumedelcubo"¥*g, | Pini)DTr-M'2/è-e''q=caricaall'internodelcuboAq=p(ri)AT(integralidivolumea3variabili)"SIGMA"-2,olui):19A-2 NÉ 4kg / The"/✗[,è,e' (e) =1g.µ,,◦è-Èlì-è/2E✗ µ '9zESEMPIOSEMPLICE^✗li' ) =saA-1 È .si 'aE>lì):i | XIIIdi' è - Èii.è÷4kg0,/I-Mi2'up>regoladelsyparallelogrammaintegraledilinea! ladq=✗dldl=Rdoversoil1T6bassoÈ=' /XRsinodofuy ')"¥MEO,R22✗=_41T{◦RMÒ Lezione 25 Febbraio 2022 Il campo elettrico più elementare é quello della carica puntiforme e chiaramente si tratta di un campo radiale, la forza è sempre diretta verso il centro (lungo la direzione, verso uscente) della carica q Esempi di campi elettrici Il campo di dipolo: campo formato da due cariche q1, q2. Immaginiamo che q1=+q e q2=-q Le linee di campo escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative . Si tratta di forza attrattiva in cui le linee di campo sono infinite, tutta via non tutte andranno nel verso della carica negativa (guarda le cariche arancioni). Infatti noi accettiamo l’idea che alcune linee vadano all’infinito per poi tornare indietro, questo perché il campo é infinito (e questo discorso vale nel caso di campi statici, con campi variabili di onde elettromagnetiche potremo percepire la presenza del campo anche a grande distanza come nel caso della luce del sole che é un’esempio di onda elettromagnetica) La forza elettrica Se le cariche sono in movimento, non esiste solo la forza di Coulomb, ma esiste anche un altro tipo di interazione. Noi muoveremo una carica nel campo, ma il movimento sarà così lento tale da immaginare di avere il sistema in equilibrio. Anticipazione, la lettera t non la vedremo mai in termodinamica, é dimenticata perché ci troviamo in stati di equilibrio. Considero che la carica sonda (qo) si muova nello spazio con uno spostamento ds che é infinitesimo (molto più piccolo del raggio vettore), da cui vogliamo calcolare il lavoro che sarà dL perché per uno spostamento infinitesimo avremo un lavoro infinitesimo. Dopo aver scomposto ds nelle sue componenti (verde e blu) otteniamo un triangolo e capiamo che il cos di theta lo possiamo scrivere come che vado a sostituire nella formula. Il fattore ottenuto corrisponde alla Linea evidenziata in verde chiaro sul grafico e rappresenta dr ovvero l’allineamento che r ha subito dopo il movimento sella carica Ovviamente il tutto dovrebbe essere infimamente vicino, più o meno così : Dalla formula ottenuta, si può comprendere che ciò che é rilevante é “aver tirato” il raggio vettore in una direzione radiale che è esattamente dr, dunque non i interessa lo spostamento in direzione tangenziale Ma gli spostamenti non sono solo elementari… Es. di spostamento macroscopico In questo caso considero gamma e lo divido in tanti trattini da sommare, se i trattini dovessero essere infiniti trasformo la mia somma in una somma integrale che si dice forma differenziale e otte n g o : Integrale di linea! Lungo la linea gamma con infiniti percorsi da A e B , è interessante notare che partiamo da un integrale di linea ma non otteniamo un integrale di linea, dunque il lavoro sulla forza elettrica non dipende dal percorso, ma dal ragg io e dalla distanza della carica sonda dalla carica considerata. Dunque dai due raggi delle sfere rispettivamente di partenza e di arrivo e ciò dipende dal fatto che il mio lavoro é stato scritto in forma differenziale (integrale di singola variabile) i. '. IÉI ✗1p2vt• / (o%0di:qo/È/dr:9901dm4ITL12•>Ya { ,dr=99°11(=99º { Bformadiff.9kITL0l'TEOMaris8✗L Ora considero: Sommando ottengo esattamente Ma considerando un qualasiasi altro punto P Dunque il Lavoro da A a B lo scriverò come: Il lavoro che la forza elettrica applicata alla carica qo compie quando si sposta da A a B ed è uguale ad una differenza, in particolare corrisponde all’ opposto dell’energia potenziale tra A e B Oss: il campo elettrostatico é un campo conservativo in quanto é un campo centrale segue che avremo a che fare con la legge di conservazione dell’energia I due segni sono opposti nonostante il lavoro sia sempre lo stesso e i punti di osservazione siano diversi Per capire meglio considero due vasche che siano unite da un tubo Le due vasche sono unite da una pompa un po’ strana che chiamiamo lavoro. In questo esempio stiamo osservando Ek L’energia cinetica infatti, essendo dotata di velocità, può spostarsi e può compiere lavoro (che è una grandezza fisica in grado di trasformare la realtà. Immagino il movimento, vedremo che da una parte avremo segno - dall’altro segno + (Es. il motore elettrico di un auto che trasforma l’energia potenziale della batteria dell’auto in movimento dell’automobile) stiamo semplicemente guardando lo stesso lavoro da due punti di riferimento diversi Energia cinetica Non è una grandezza fisica, ma una funzione di stato Energia potenziale Grandezza fisica Univoca Misurabile in modo univoco Indice di stato Associato ad un riferimento Lavoro É una grandezza fisica Non è una grandezza fisica, ma una funzione di stato Potenziale V Lo chiamiamo potenziale elettrostatico che é il lavoro che la carica unitaria compirebbe spostandosi da un punto generico all’infinito essendo tale spostamento collocato nel campo elettrostatico Potenziale elettrostatico prodotto da cariche puntiformi Raramente troveremo cariche di linea, spesso troveremo cariche di volume e supericie Potenziale elettrostatico prodotto da cariche di volume Potenziale elettrostatico prodotto da cariche di superficiePotenziale elettrostatico prodotto da cariche di linea 1)La >a=99º141TEOMA>99011U(p)=U/F) =9901"¥TEOMarps41TEOr 2)La→D=_9901ENERGIAElettrostaticaLIITEOMBLA>B:va-UB=-AU(=+AEK(=-su ÷ .>--/'._---a☐= | E'.ds>=qo § E>•ds>AAB LB >A= / E'.ds>=-qo / È .ds'BA lr =qo § E'.ds!90¢43 -VA) + IVA -VB):O=0E•nonèunagrandezza,maunindicedistatoa VIP )= Elì) : §È -ds' V8 ^nr>T'2>don.-__'•un'ds☐dA= Àdscoso◦a= fa '. un' ds"¥>un'☐ È = § ".lends ① E'sisma)sup.Chiusaflx)^fa)df=dfdxdf:f'(x)dxdtII • dxi' differenziale di✗I1I1A2-'i>×✗✗+•ii.Ìdzli.ci/=odzIÈY)=-hdydx i.tk >✗Ù(yyz),ÒVoy>°"g,Jc)✓02^èdcz-_ Àix.y). un' dx+A'/✗+dx,y ).my 'dy- ÀIx,ytdy/Mi - À( ×,y). tlydy41dy'•,2dicircuitaz.dz^-dcz=Ax(×, g) dx+A✗(×, g) +da✗(×,Y)dy-1-✗(×,y ) tda✗1×19)dyDX- Ay l x ,y)dy ✗--dcz=ÒAxlx>y ) -da✗(×,Y )dxdydx dy - E I11Il>rotA'= ( daz_OAY )nè + ( oaxoz-◦ a) uy '+ (¥ '.daxuz'OyÒ-2c)×Oydc=rot À ◦Un'dsdcz(notA)zds:( ... )dxdydcytrotA)yds:( ...)clxdzdcxtrota) ✗As- ( ...)dxdy -2aiii.iii.."è>4÷:L✗ Rotore di A : è un operatore differenziale che mi dice “se vuoi massimizzare la circolazione nell’intorno si un punto ruota lungo una linea che giace in un piano ortogonale al vettore A in un punto, così il prodotto scalare sarà massimo perché l’angolo compreso sará 0 e il coseno sarà 1.” 1) quando la direzione è perpendicolare al rotore di A 2) quando il verso é in senso antiorario guardando la punta del rotore 3) quando il modulo é: Come massimizzare la circuitazione Lezione 4 marzo 2022 Come trovare la circuitazione lungo la linea rossa? Il rotore di A ha solo la componente z Angolo formato dai due piani lungo i quali giacciono le linee rosse e azzurre, ovvero l’angolo che descrive la separazione angolare tra le due linee elementari (piane) Considero ora una linea piana (o nello spazio)—> nella nostra condizione è piana Sommando tutte le circuitazione dei singoli triangolini, ottengo solo le circuitazioni evidenziate, perché gli altri trattini interni non contribuiscono alla somma delle circuitazioni perché sono percorsi in versi opposti ed, essendo la circuitazione dotata di segno, questi ultimi valori si andranno a semplificare “ la circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea gamma si ottiene come flusso del rotore di A attraverso una qualunque superficie che si appoggia a gamma” Gradiente di un campo scal"e Il gradiente é un operatore differenziale che collega campo elettrico e potenziale NB il rotore trova i vortici del campo trotÀI =dcdsn-2>yun'r^ROTÀma dc=/ÒAYg,_ dai ✗gy) dscos0ds'yo"✗vdc=rotA>◦Un>ds iii.È "r✓G)①7(y= § ,rot À -un'dsTEOREMADISTOCKESNABLA=dMI+OMI +ÒUZ'nonlochiedeall'esamein /dxOyO-2terminidi componenti marotA'=P× È = utMÌMÌrota'=p✗ Ì! O◦× È , È = Mi/ OAZ◦×.oax ) + UÌ(DAY -oax ) Oz ) - UÌ(OAZgy-DAYO-2OxOyAxAyA-2→ dlq ,,= È - DÌ =Exdx+ EydytEZdz.rs> di >> dlq ,=-d=Fa-TTBasV:d+0 dy +Odzc)✗OyO-2yaJBV(×,y,z ) OxOxdy { "='°"È=-9rad=p .óv mi + òvuy .+oµ ;) /=X#rt=rPOcr>S L) Campo dovuto ad una densità di carica nel piano Come trovo una relazione tra E1 ed E2? Considero sempre il flusso uscente, aggiungendo però due riferimenti direzionali Piano di cariche simmetrico a destra e sinistra, campo uguale in modulo, verso opposto Lezione 11 Marzo 2022 Concettualmente abbiamo due importanti risultati 1) il campo elettrostatico ha un legame tra topologia e distanza (il campo ha una dipendenza dalla distanza dalla carica che lo genera, é proporzionale a 1/r per cariche puntiformi); le linee che lo caratterizzano sono aperte 2) é un teorema scalare che permette di calcolare facilmente il campo quando abbiamo simmetria ( quasi tutti i nostri problemi sono risolvibili tramite riflessioni di simmetria, sfera piena, sfera vuota, sfera, piano, cilindro…) 3) vale per ogni scelta di S Obiettivo di oggi: trovare una legge che mi giustifichi che il teorema vale per ogni scelta di S Campo generico: Vogliamo trovare il flusso di un campo A uscente da un parallelepipedo (cubo in questo caso) elementare Aar2 : ✗12ʳ>☆PIANONttttttu'n,< ⑥ tt>Min,ttUSC++ ⑦ e=E'.Un'sds tE>un'zds☆esttes•""tt①È":2IÉI.cl/S-.Td$--sIÈ/=TEOaeo'""4,ttvGaussf-carica)oCAMPOUNIFORMEEµ>1++↓>Io! ": ei -unids+ EÌ . unids =1-EÌuni + EÌuni)=/ Enz-Eni) =Td s)tttgo-nz-Eni=TEOttvein,< ⑥ ++>n'n, EÌ - ei =TUn'thGauss,tt2NBEott++++a ⑤È .de :-O *esttes•tteittt+✓dlternalocaleattornoaPlay,-2 ) >•y>>DA☒ Calcolo il flusso uscente dalla faccia retrostante: Faccia opposta ad Ux La notazione sarà la stessa Lo stesso risultato si ottiene per le facce ortogonali agli assi y e z Divergenza del campo vettoriale A La divergenza di un vettore A in un punto P rappresenta il flusso del vettore A uscente dalla superficie che racchiude un elemento di volume dτ nell’intorno di P, diviso il volume dτ Considero adesso un volume Thao che non è infinitesimo, ma macroscopico Ora lo divido in tanti volumetti che lo coprono completamente Come per la circuitazione, possiamo calcolare il flusso uscente totale effettuando la somma del flusso di ciascun volumetti Te o r e m a d e l l a d i v e r g e n z a Il flusso del vettore A uscente da una superficie chiusa Σ è pari all’integrale dellla divergenza del vettore A esteso al volume τ racchiuso dalla superficie Σ Applicando le considerazioni al campo elettrostatico: Teorema di Gauss in forma differenziale o locale NB la divergenza è diversa da 0 solo dove abbiamo delle sorgenti (ovvero delle cariche) La divergenza è un operatore matematico (differenziale) che determina la presenza delle sorgenti di carica Al rotore corrisponde la circuitazione Alla divergenza corrisponde il flusso Recap delle equazioni trovate nel campo elettrostatico Legame potenziale - campo ☆2-☆2->A'nn;>"°>>>nè•7>*I>✗tdxag'midsok☒-× dota =1-'ix.g.z ) . fui)dydz tAlxtdx,y,z ).lu/i)dy&~tly* )+1 !) ↓> 1dota=[-Ax ( ✗,y,z ) +Ax(×,y,2)+OHdx ]dydz+ [ y]dst[ z ]dsdxdia=oaxCIT+◦adDY+0A-2DIOxOyOzVOÙMEdell'interovolumettodta= @ a-×+da-2 ) dediva>= d a◦×+OAYOy0-2DI\/, dota = dira '.dkOSS:i. 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"sinxda= Ì "ioCOSXdivaleseèvalidaV7(eDominiodiintegrazione) osinx=COSA,irotE'.-0(nelcampoelettrostatico) P✗È•rot gradino => TÌATT --0◦E=-9radÙ.E=-pit°↓È - DI =0kt(ilrotoreèsemprenullo)circuit .•dive'=P E=0 (interno) nel metallo Se considero P1, P2 interni al nostro metallo, quanto vale Lo spazio occupato da un conduttore é equipotenziale Essendo la superficie laterale infinitesima di ordine superiore, non la considero (pensa alla moneta) Campo elettrostatico superficiale Ma noi avevamo detto Teorema di Coulomb Cariche lontane da P = “remote” Campo locale= campo prodotto dalle cariche vicine a P Campo remoto= campo prodotto dalle cariche che sono lontane da P Sono uguali se sono a distanza di 1 micron Due porzioni di spazio una esterna ed una interna Se considero la porzione esterna: i contributi del campo si sommano Se considero la porzione interna: i contributi del campo si elidono Considero un conduttore immerso nello spazio Campo con carica positiva Campo con carica negativa Se colloco un corpo metallico (qualsiasi) in questo spazio Le linee cambiano e dovranno convergere man mano che si avvicinano al corpo Le linee di campo al centro si annullano grazie alla presenza di cariche indotte (cariche - e + nel cond,) ovvero cariche con somma nulla Spengono e accendono il campo NB :VE ! ✗ LI metalloe.(elettrostatica) e-e-^^^> ⑦È=DperchéÈ:O } Pint:OÈint=D>Pint-0V-Einternar≤✓su?•P,l↓AV P IP2:OAV :-/ e'di':O^^campoelettrico [àÀÈ=s =T-ds=)ÈT. m n'^++++q+ { >,EoEo+ un'IIÈdistanzadINDUZIONEElettrostatica+>-campouniformecariche-asx,cariche+adx↓+> LI riaccendono-^dentro,fuorisiannullano DÌ ilcampo1-,_sisommano,IondultoreSpentodai, Positif , «- ↓iconduttore+-IddIl Italia sup.)i↓|negativoQTOT=D Lezione 15 Marzo 2022 Ipotesi elettrostatica: non c’è alcun movimento di cariche Dunque dobbiamo ipotizzare che il campo elettrostatico sia sempre nullo all’interno si un metallo Il campo all’esterno invece sarà diverso da 0 se ho una carica (distribuita superficialmente) Corpo metallico cavo Dal teorema di Gauss é facile dimostrare che le cariche così ra p p rese ntate n o n p o ss o n o es iste re Ma se io volessi collocare un numero uguale di cariche negative e positive, la carica totale sarebbe neutra e ciò non violerebbe più il teorema di Gauss Considero adesso la superficie in rosso: Noi sappiamo che la circuitazione interna deve essere nullo poiché abbiamo a che fare con un metallo (E=0), dunque anche la circuitazione esterna deve essere anche uguale a 0 altrimenti violeremmo il teorema. Segue che le cariche non possono esistere poiché la circuitazione lungo un percorso chiuso deve essere nulla In una cavità Metallica dunque E=0 e non ci può essere un campo. Dunque se io ho una carica Q da distribuire lungo una cavità, essa può andare solo all’esterno Non c’è carica all’interno Schermo elettrostatico Il guscio isola la regione esterna da quella interna, dentro la regione interna nulla cambia: non c’è campo nè carica (sto “schermando” l’inerno) Esempio pratico: un aereo colpito da un fulmine Perché sull’aereo noi non ci accorgiamo se siamo colpiti da un fulmine? Perché l’intero guscio metallico si mantiene equipotenziale Ma se noi avessimo toccato il metallo che racchiude l’aereo, il potenziale avrebbe aumentato il proprio valore ma noi non avremmo ricevuto la scarica ( non c’è )perché in realtà non é una grandezza fisica e non produce lavoro Ma se noi tocchiamo con le dita la presa elettrica a piedi scalzi, subiamo una differenza di potenziale motivo per cui subiamo la scarica Esempio pratico: presa elettrica NB il passaggio della corrente attraverso il cuore può causare fibrillazione atriale Esempio non statico: il microonde La retina scura che si trova nel forno a microonde é ultilzzata come schermo elettrostatico infatti all’interno del forno ci sono delle microonde di lunghezza pari a 2cm che si propagano all’interno ma non riescono ad uscire poiché non riescono ad oltrepassare lo schermo Poichè i fori della retina hanno una dimensione di 1-2 mm. Ovviamente dal retro non posso uscire poiché è di materiale metallico Ragionamento al contrario Considero un guscio metallico con una piccola apertura, dalla quale immagino di introdurre una carica positiva Carica inserita Carica indotta Chiudo la piccola apertura Colloco cariche sulla superficie esterna 1.+++"t+,'_-\t¢/ [E'.mn>ds:O/+,☒1I+,'i#I + È -0+"i+>'Qint-0+✓+',☒☒,-_'tt0 § Èdè - tintedè + te # ÈCÌ-0poichéconduttore> && ED v>costi1-+Anosti+neutrot¥t gatti¥5 ++ay.=.AyÈOSSAfasecuriosità"¥++ ④ Babaji:"→'PerGauss)µ@¥+"111,t GHEDINI ,,la""in"la indotta/=lqinserita/++ Lo Poggio a terra, conseguentemente le cariche esterne se ne vanno, mentre all’interno la situazione é invariata Se sposto la carica in un’altra posizione all’interno, la situazione all’esterno è invariata Condizione completa: Condizione per la quale la quantità della carica indotta è esattamente uguale a quella inducente. Unica condizione in cui si verifica é quando collochiamo una carica q all’interno del guscio metallico. Tutti i punti di un corpo metallico o di una cavità Metallica sono equipotenziali Legami di proporzionalitá Proporzionalità diretta tra la carica che un corpo metallico isolato possiede è il potenziale in tutti i punti del corpo C è una grandezza fisica detta capacità che riguarda un corpo metallico quando é isolato (lontano da altri corpi carichi ) Legame potenziale carica Come ricordare la formula? Immagina un recipiente cilindrico La capacitá in una sfera Esempio con due sfere Pensa al recipiente: Capacitá più grande, volume maggiore Ho una densità di carica sigma più grande dove ho un raggio più piccolo! Grande curvatura-piccola densità di carica, piccola curvatura-grande densità di carica ++t EBAY.se#R.EaE:i .+ ↓ """++ lqintl=/9inch =-C-_corpo(operatorelineare ) 2-^+,ttti)EIN=VIE)=ateoftlr ')ds'E/F-E'/+•M'%+•P/F)t-2+•"+syTIPI: * {◦ {%! !ds'Poi(F)associatoa×,y,2-Ttlpz)=... (F) sistemadicoordinate≠TIPI)=Ttlpn):TTIP)TPEe>corpoproporzionale↓GIÀ)✗9.............._' i >Ttlr)×q-.........--''iTf([)✗N 0 Dacuiottengo:Q=CI[=capacita'Da mmia 7R,-------._,^supponendocheu"qitIR/=1VINTO41TCo'9CnRIÈK↓ ,,r>R(=(F)=[C]Q--(Ù=)(=="¥ITEOR[v]+t++Ttmoltogrande+/R' IlR2ttVélotstessotCi=41TEoRi(2=4ITEORZo×In91=(1 91=4 E 92=4J)924•""""""✓1=91>Ti=[[email protected]"¥=%R,>.( [ = % .&""concandele41TRINa Ri=Ritt Esempio con parafulmine che previene l’arrivo del fulmine nei pressi dell’edificio. Esse, infatti, creano una densità superficiale molto maggiore Potere disperdiente delle punte Esempio parafulmine Lezione 16 Marzo 2022 Per i conduttori isolati abbiamo detto che esiste una costante che lega la proporzionalità del potenziale alla carica, tale costante di proporzionalità diretta prende il nome di capacitá NB se ho n conduttori, tutti quanti con carica (q1, q2…qn), verifiche che il potenziale su un qualsiasi conduttore sarà Dunque se io calcolo il potenziale su una carica, dovrò considerare anche la carica degli altri corpi e avremo dunque anche qui una sovrapposizione lineare Sovrapposizione line"e del potenziale I coefficienti si chiamano “coefficienti di capacitá” NB c’è un documento su beep “Coeff. Di capacitá” I condensatori Ho due conduttori diversi (pieni) 1) il primo costituito da un guscio sferico 2) il secondo costituito da una sfera piena Sistema di due conduttori in un fenomeno chiamato Induzione completa Le cariche saranno uguali in modulo ma opposte in segno Cariche uguali ed opposte Induzione CompletaInduzione Completa Cariche uguali ed opposte Attenzione! Condensatore: Sistema di due conduttori in induzione completa Adesso supponiamo che q2 = - q1 Le due matrici sono reali e simmetriche dunque noi lo chiameremo “a segnato” (associato alla stessa costante). Così il sistema si semplifica ulteriormente Conclusione: i due conduttori si comportano come se fossero un solo sistema: un condensatore , tale per cui la cui carica è caratterizzata da segno opposto e tale carica è proporzionale alla differenza di potenziale secondo una costante di proporzionalità che indichiamo con C Dimostrazione Fia areaionizzata (p ---.-- % E,= È ,aii9J93> qi = È , CijEt. [ ti ] =[A ]lq]'[A" ] .-C--A11A-12.--Ain--91-V192V.2=°i.;i"""'-.Ann__-an-un--Ùz=Q2191+QZZ92t...han9hnTi= Zant9Jii.1-^-ttt'--tt(Jt-t-s++e Emmet -v'"¥ i a- ES.DIDUEconduttoriINUNCOND.- { ""°"&"+^""">°"°""">°""°"">^=°"&'°&>"""""(◦""à) +(°""&V2=ali92+@2292_QZI921_'V2=Àq-azz9'ÀV:(an+azz-zà )q>Att=a.q> q = fasit>q:C-Alt a- --'\-L-_ Calcoliamo adesso il campo elettrico del condensatore : distanza tra le due lastre (o armature) superficie delle lastre (o armature) Il campo é presente solo all’interno e va dalle cariche positive a quelle negative Condizione di ind. completa Il fenomeno di ind. completa si verifica se le piastre sono molto vicine Cosa succede se le piastre non sono vicine? 1.Condensatore sferico2.Condensatore piano Se É una condizione non rispettata, allora: Il campo E non é nullo fuori dal condensatore Visivamente: immagina come se avessi meno linee lall’intenro, le quali “tendono a scappare” fuori “Abbiamo meno acqua nel recipiente e dunque capacitá inferiore” Il condensatore é ideale se a distanza di 10 micron 3. Condensatore in serie Nota bene la loro capacità é inferiore a quella dei singoli condensatori 4.Condensatore in parallelo La diff. di potenziale è uguale Ma la carica può essere diversa R-R--Rt )IÉ/=|99'tradi=eo (Lt -TR ) ={◦ ( Rt.R-Definendo[=941170'ra )A=✓+-V- =/ luteoRtAV Ita ? (=Rt.R-"TEOr._•+< /( ↓ ≥ rdD=+++,j+*"--S=+Ì-S+I--->,-' IÈ /=T{◦,a IÈ /•D=Tdq=Ts-_-EOdW=- LE WiW= t.IEE"¥☐{◦(%; +---°"""luteo2in"¥i"°"i.1rij § Vij=I9J=)2"sommatoria↓LIITEOrii|IqjVi=uitsoitirij^ 9 n" Evii.qin >W=-1EqiVi>conFi-_ È ,tiiW-12 È ,sei2i-1W=-(=U"¥energiapotenzialedelladistribuzionedicarica dq = plrildreT w-%fe-vlrjlildt-uu-talvtqtv-l.at ] tt+= {(Vt-v- 19=1-2 .a-v.qE+W= U = {§EHGIÀ)DE'v--t,cav≥= :VII)tè1-+ tu +Wi= Èiii.qi . Va ✓=LElode ' ) =1-E2in.Viqi2q Lezione 18 Marzo 2022 Consideriamo un corpo con un volume thao e densità di carica rho Allora l’espressione dell’energia diventa: Dal th di Gauss in forma locale Osservando i termini evidenziati in rosso: Considerando il primo termine, prendo in considerazione l’ipotesi che la carica sia distribuita sulla superficie esterna, poi faccio estendere thao all’infinito, fino ad occupare tutto lo spazio dunque estendo il cammino di integrazione (estendo dove Rho è diverso da 0) Avendo esteso thao all’infinito, posso mettermi a distanza dal corpo thao tanto quanto voglio, fino a considerarlo un punto che noi rappresentiamo con un cerchio posto a grande distanza Dunque Se estendo thao all’infinito, non cambiando l’espressione dell’energia potenziale, posso osservare che l’integrale al primo termine, quando sigma va all’infinito è uguale a 0. Dunque l’energia potenziale U sarà semplice,ente uguale al secondo termine: Energia Elettrostatica U Densità di energia elettrostatica Esempio Calcoliamo le cariche presenti attorno a P, dove si trovano? Sulla superficie Sulle cariche superficiali, agisce il campo delle cariche lontane (freccia arancione) Carica presente sull’elementino ds Ma esiste una pressione elettrostatica P Dunque la pressione elettrostatica delle cariche superficiali è pari alla densità di energia elettrostatica Le cariche dunque non “scappano” a meno che non trovano un energia esterna, dovuta ad altri fenomeni (es. luce che può liberare delle cariche: effetto fotoelettrico) LU :{{più)là) are:dive>=D.È=Ppiù){o> PIÈ) =Eo.dive' TU:1{◦ / ☐ È .ttDI2☐◦ ( E E) =☐EÉt V.PE',magradientedit:ott.È=- È -È=-E'-campovettorialecalcolodiderivataU :{ Eo / ☐(VÈ)CIT+ ↓ E. / E'DITa oTa o\10termine/"2ºtermine"U-_ {Eo / tre>unds+↓EO / E'deZaoTa operilteoremadelladivergenzatra! ea,p2TEa1U= {Eo / tre>unds+↓EO } E'der}ZioTa o094TH✗ IIim④=0iop}r>coUEo { • EYRYDTun=L{◦E> (F)camposcalarenE'^@P^e>=a>n--fa~++,ptgo.in ,n= {EOE'{◦^astt✓1- dq ^DE>=ocamporemoto2g,.Ndsten=dsun>ZEO^campolocaleF-Ft,pel=ldfl=02S45220 Questa esservazione ci serve per capire che con un esempio molto semplice, possiamo calcolare la stessa energia elettrostatica, da due punti di vista diversi, nota bene il valore trovato si eguaglia Caso estremamente utile! Condensatore ideale (all’interno il campo è nullo) Vediamo se i due valori sono uguali ! É equivalente calcolare l’energia elettrostatica considerando sia il lavoro, che il campo di energia (integrato in tutto lo spazio) Equivalenza nel calcolo di U Noi non calcoliamo l’energia per costruire le cariche puntiformi, ma per spostare le cariche puntiformi in una regione di spazio. Dunque noi dobbiamo rinunciare all’ipotesi di avere cariche puntiformi quando calcoliamo la densità, dobbiamo sempre considerare una carica con distribuzione di carica La formula dell’energia non si applica alle cariche puntiformi Dipolo elettrico Si tratta di una struttura di due cariche, di piccola dimensione, (potremmo dire puntiformi) a distanza ravvicinata. Le due cariche devono avere segno opposto e modulo uguale Definizione Il momento di dipolo che caratterizza le due cariche è un vettore che ha Come modulo il prodotto q d come direzione la congiungente delle cariche come verso il verso da -q a +q Punto a grande distanza dal dipolo Piccola distanza Struttura del campo di dipolo Se il campo è uniforme si annulla IÈ/=o>EO>>>>>U :{9.su=↓CATEmaU :{ EOE?V01-confinatodentroalcondensatoreTi=E-d>A-v'=E'da[=EOSdDacui:U=LCDÙ?↓EggsE'CH=12EoE'-VOI= U 2-" } IÈK 1 :jIimn--oLIITEOr→0^>"¥OLtIllii/il/Iiii÷ .d@0-q+qIP>1=9•dsommadei2potenzialidose1- 9 •p> potenziale -VIP)=911µ,,, +=ÈÈ cosa. KIM .r'f.+LIITEO" ( pt-r ) =↑rt.r'LIITEOv2d° ↑.@PIRY '.."N-B.essendoPagrandedistanzaedpiccolo>approssimartnr-≈ ] """°"IF- -910 > ◦ iE-ÈVINOr',dipoloof^d"ri-rt>=dCOSOElr) 9 ; carica punti -1.Icampoe>=-☐telP'i>4kg• (3P -p>è75'23✗ ktdx rÈ/ftp.EFII-d-E_✓ro04radialeorientatocomep>+ È%È " ) forza È = È -+e>+=- QÉIRÌ +qÈ(F) + qdt-I.qgrade.cl?--9dcos0re--ÉTÉ ✓+9•~E↓è•p.%Èlr) Te n s o r e gradiente di E Forza di dipolo Non é richiesta Lezione 22 Marzo 2022 Esempio di dipolo: la molecola di acqua è un bellissimo dipolo Perché ci interessa così tanto il dipolo? 1. Perché notte molecole possono essere modellizzate elettrostaticamente come se fossero dei dipoli 2. In elettromagnetismo il dipolo è il secondo mattone dopo la carica elettrica puntiforme Gerarchia : Recap delle caratteristiche del dipolo: Il campo nella regione esterna inizia a dilatarsi radialmente ma anche longitudinalmente lungo l’asse del dipolo (infatti ha una componente r (radiale) e una componente P (lungo l’asse del dipolo) Decresce più rapidamente rispetto al potenziale della carica puntiforme Se il campo è uniforme, non c’è forza e la carica non si muove Momento di dipolo Si tratta del momento meccanico agente su un dipolo in un campo elettrico r= distanza da O alla carica negativa r+dr= distanza da O alla carica positiva Sono autorizzata a chiamarla “dr” in quanto nel dipolo la distanza tra le cariche é molto piccola Ora voglio calcolare il Momento rispetto a O: Siamo autorizzati ad eliminarla Ma se scegliessimo come Polo la carica negativa ovvero P(-q) diventa r=0 La rotazione va da P al vettore rosso in senso orario (entrante ) Si allinea con E! Graficamente Non scriveremo più -q, è scontato poiché baricentro del sistema Energia potenziale del dipolo Non ci interessa se é uniforme o meno (non consideriamo la forza) ☐=d-MI + jyitytcluz Ox0-2 d-V-i-grad-V-o.ir '---tensorede✗= 9rad Ex-di=☐Ex- di -'_deidei§èdi- e '" :{ È :( ,deioxoyEyIN { dey:9radEY.at ,È. qgrade.dt-q.d-cosODE-F.pt?dey--OeydeydeY dydez=9radE-2-DIc)×Oy0-2Jezde-2dez-dez--◦×oydzÒz_--↑ ÷ar=/\9derivateparzialiKEBAB1.Caricapuntiforme2.carica0=0del dipolo( D=-qtq) •Va'rzrdi'+ ÈIa •✓I4kg' (3P -P'r'p>75'23•nè7-di→ +9 >al•>>0↑>•_qAMio)= Ì ✗ È '+ (È+di)×F""= I >✗ È "+r>✗ È "',+ di ✗E'I'=È✗ È +dr>✗ FÀ 'llmomentomomentocarica ↑ ✗ÈIÉ --forzadidipolo) >q /ÈTDÈ)caricaneg.positiva d-t-qdt-fxe.to/dFxE+qdFxdE--rxFtqdT ✗ ÈE>infinitesimodip>>ordinesuperiore)0>(ho2infinitesimi@non1 ) o→>MI- a) = qdì '✗ È=P>✗E' momento di rich iamo Senso antiorario, momento positivo Distanza tra le cariche Distribuzione di carica Per gli effetti a grande distanza, la carica in thao (intero corpo) può essere sostituita dagli effetti di una carica puntiforme q e da un dipolo P Distanza del baricentro B dall’origine Se prendiamo la nostra carica e la spostiamo modo tale da spostare il baricentro nll’origine: Distribuzione di cariche con segno opposto e carica complessiva nulla Dielettrici Dielettrico= si tratta di un isolante Esperimento da analizzare Condensatore ideale All’interno del condensatore ho un campo elettrico Ora inserisco all’interno due lastre metalliche, a questo punto per induzione il campo elettrostatico è espulso dal metallo In questo caso le cariche si spostano a livello macroscopico Cariche indotte che spengono il metallo Estraggo le due piastre che ora sono diventate cariche dopo essere state inserite nel condensatore La lastra di sx è caricata negativamente, mentre quella di dx è carica positivamenteLe lastre hanno spento il campo all’interno del condensatore e la differenza del potenziale si è dimezzata Induzione elettrostatica Sigma di induzione dl--duIPLV) do>µ,++' PÌIEÌdcosoMda-du=>Mi-ᵈ" IO =- IÉ /• IÈI .sino2- lllll @ È -Kx(posizione0) piastre--+_-tt= ≤ AV:dopoaver+mmm>/inseritolepiastre+-mm+',--ttt-nun+->a.-++" stind "LASTREDVLAVOLASTREestratteUN Condensatore ideale Ora inserisco all’interno del condensatore un dielettrico (isolante) Osservo con questo secondo esperimento che la differenza di potenziale continua a decrescere ma menomi prima Induzione parziale Sigma di polarizzazione Il campo nel dielettrico dunque non è stato spento (come nelle lastre metalliche) ma è stato attenuato Il risultato di questa attenuazione è che nel dielettrico c’è un campo residuo, minore di Ovvero il campo presente all’esterno Estraggo le due piastre che ora sono completamente scariche dopo essere state inserite nel condensatore In questo caso le cariche si spostano a livello microscopico Le molecole tendono a deformarsi modo tale da avere una carica positiva da una parte è una carica negativa dall’altra Avrò un sottile strato di carica + e un sottile strato di carica - in seguito alla deformazione delle molecole Attenuazione del campo Negli strati evidenziati in viola non c’è carica, le molecole si neutralizzano. Tuttavia sui lati avremo una carica sigma di polarizzazione da un lato positiva e dall’altro negativa Il campo interno è il campo del dielettrico Dunque il dielettrico si polarizza e questo fenomeno attenua il campo all’interno del dielettrico Le molecole all’interno di un dielettrico in presenza di un campo elettrico si comportano come dipoli che si orientano come il campo Materiali dielettrici Esempio Lezione 28 Marzo 2022 La carica è stata inserita in un isolante, ha richiamato le molecole presenti, le quali mostrano la faccia negativa qui di la carica q è attenuata, dunque mi aspetto che il campo sia diminuito Immagino che ci sia una costante epsilon R che mi indica di quanto si è attenuato il campo La costante mi indica la quantità della quale si è attenuato il mio campo ed il mio potenziale e di quanto è aumentata la mia C Caso della dielettrico isotropo e omogeneo Isotropo: stesse proprietà in tutte le direzioni Omogeneo : stesse proprietà in tutto lo spazio Molecole polari distribuzione di carica asimmetrica p=0 orientazione casuale —> no effetti macroscopici È ideale, ma ciò che avviene è che l’abitazione termica tende a disallineare le molecole, dunque le molecole hanno una polarizzazione per orientamento in un campo elettrico esterno Scherma pura: il campo dentro il dielettrico è ridottto Esempio: acqua, benzene SxDX+&v2 - Up sonoe+-Mmt->sulle2facce+-t-mmm>" of "disxeclick+-mm-1_,D=,✗=Econdensatore41TEoa>=>=L✗=411702>Econdensatoree< È >=EoXDE'✗d=Litio,}e→> ÌT → ÉÌ →-→ATatÌÌ s µ momentodidipoloÈ(a)=IimAP'AP>=N< È > Flat . nonè >[P]--(4ms] sensoDI>> PIF)= nati >=maEo=> PIF)--✗{o"EOO~✗=suscettivitàelettrica=✗oMIo=Xdn J Lezione 29 Marzo 2022 fu nz io n e Coefficienti di espansione della serie di Mac Lauren Subentra se il campo è estremamente intenso Quando collochiamo un isolante in un campo elettrico abbiamo uno spostamento di carica che può essere interpretato come una densità di carica Superficiale Di volume Densità di c"ica di pol"izzazione Carica libera (es. sigma libera)=liberamente collocato in una posizione e carica di qualunque entità Prima Ora Carica non libera Collochiamo ora il nostro corpo in un condensatore con cariche Volumetto ingrandito: tratteggio ora il mio cubetto per rappresentare che il baricentro delle cariche + coincide con quello della carica - Applico un campo elettrico La carica + si é spostata a dx La carica - si é spostata a sx in seguito allo spostamento delle cariche ho prodotto uno spostamento, il baricentro quindi non si trova più al centro del cubo! Lunghezza della quale si é spostato il baricentro delle mie cariche Voglio calcolare Perché lo spostamento avviene in un materiale neutro, sostituendo : Considero il nostro volumetto e considero una superficie sigma (Interna) Attraverso Lo spostamento di carica evidenziato (ds) passerà una carica dq per effetto dello spostamento di carica cel volumetto che é vicino alla superficie. Avrò un flusso di carica di polarizzazione che attraversa ds Voglio calcolare la carica Ma la direzione sarebbe potuta essere anche di questo tipo Carica + entrante nel volume attraverso ds per effetto di E La normale che considero é la normale del flusso, quindi uscente, ma noi avevamo parlato di carica entrante Dunque aggiungo un segno - Legame tra la de sita di carica di polarizzazione ed il vettore P Caso della distribuzione superficiale In questo caso la normale è effettivamente uscente dal mio materiale densità di carica di polarizzazione superficiale legame tra le cariche di polarizzazione ed il vettore P pifie)4a✗'",✗'21,✗'3)IIiil' li' iiIiii|li i il/IiiiIiiili•comeforseTta-attiveeforzereattive ✓ +ea_-I123se'l'j-+NoÈl'-l-ap'...sp :-(lipt + l'g) AIma f- =- f' -=Pe È - l' +p→AP>= /gli - pè )siAP' =pl'statorel' = Él 'a↑li).. gl' =P>li)plr')=pèAT5DQpteoremadelladiv.I^≤èdap:(p '-l'=+ p-l-Y.mn?dS°Qp=L;F.un'IÌÉ!{ ,-dirP> dà*%Èyàas È flussodiP>uscentedi-2☒*>en"maa.gg;;; iPda"""- clap = pl - un'dds = È - un' dse'•e'→a↓= / - divpdI'= /fpDI', V-I porzionedelimportantevolumeiniziale≈néIPp(r' / =_divp>li) →ids DQP:(f-l'=+ p-l-Y.mn?ds* , ÷ •DQP= È -un'ds= Opds=> Op = È - MÌ → pp =-diuÀNp = F.MI Se io ho un parallelepipedo in un campo elettrico: In questo caso avremo una sigma P e il campo é parallelo alla normale Un Esempi Se io ho un solido di questo tipo Avremo una carica sigma primo p Esempio con due dielettrici Considero un cilindro gaussiano a moneta: Esempio con un corpo pol"izzato La somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla Abbiamo due componenti che si bilanciano (nota bene sono delle cariche a tutti gli effetti e hanno un campo elettrico che, sommato a quello che lo producono, determina il campo totale) È possibile definire uni vettore D : spostamento elettrico Spostamento elettrico D Nel teorema di Gauss avevamo detto: Le sorgenti del vettore D sono solo le cariche libere! Ma il vettore D può avere dei vortici, dunque non posso dire che D dipende solo dalle cariche libere! Te o r e m a d i H e l m h o l t z “Un qualunque campo si può scomporre in un campo a linee chiuse ed uno a linee aperte”, tale affermazione é dimostrata matematicamente e uno è a rotore nullo e l’altro a divergenza nulla - a rotore nullo: ammettono potenziale e sono a linee aperte (elettrostatico) -a divergenza nulla: linee chiuse Ma quando non ho vortici? Qualunque linea io prenda in questa ciricuitazione, ottengo sempre che la circuitazione è =0 —> rot D =0 Ma dove il rotore non é nullo? All’estremo del mio sistema Tp →+ È + Op : Fuori 1-+io Óp : ofcost ),ttseun' " È > Tp -- IFI seun>LOÈ >op=LÀICOSO I2""SupBASE»suplateraleieriùii a* Ip = Ì - NÌclap= fpi.nu '-Pa- ùiì)ds>>Ènti↓dentrolasupclap= ftp.nn ""-Pailin"ds= opds>DQP=(Pn-Pz) .UnEptttttQPTOTOt-t①PTOT= { fpDI+ | - fp t, op ds+-._-- QP TOT= Sy -divpDI+ SP.mn?-dS=-NdiPd+SdivPdY=0-VI EIIFLUSSODIPAT T R AV E R S O-2: / dirPDITeTIF)='4kg0 § %DI)uita { TÈÈ÷ ᵗ ^ II.ilEIÌ)=- gradVII)giue-= Pid """"""=PuberetPpEOEOsostituendo-div È =pp>EodivE>=-dirPtPLIBERE,dir=plibere> D' =Eoe'+P'>div Èpliberegiue'=p tema "°'2"Pezzi"def:EO aÀ = È +S' rotti --0dirS>=DAdQuanonnulla(hodeivortici ) < ✓ rotDIOe'-l'=p ? t'del- PÌÈ t-pezzoterminaletrascurabile ← caricheinverdi=caricheliberechequa^I#◦+P>maÌ={o×e'=Eo(Er-1)È=>>Clive>=PTOT•=l'ib T. j o =dir ( D )D'= EOERÉ {REO+{0Erq>9Erpp=-divP>=-Eoxdiv È =-Eo(Er- 1) div È =- ¢0(Er-1 )pt"=-(Er-1 )pt "=> gp =- ( r-1)ptot☒f.lib=dirD>=EoErdivE>=¢0ErPTOT=ErPTOT=>plib=Erptoi%f. tot=/lib=Er-1plibLEGAMESEMPREVA L I D O?ErEr nuriminin Gp =p'.mn ! - ÈUNM >=-Cosce>=-Eo(Er-e)e'un"E>=Notunni àèeÈÌé ᵈ "èEO✓un'dSOSTITUENDOÈ: Tp =-¢0(Er-1) Unm ".CutotUnàNP8lib[ prod.scalare,sielidono)op =-(Er-1)Notop =-(Er-1)alitosolito = È .un"=Eo{rE'< Un' m= ¢0 ErNot={rTièato,=pube'Erpp=-(Er-' )piib ✓ Er pp =-dirP>' § ^^^E'=1ma plib -0pp:O"¥noncostÈ>pp=-{ok.c)ESBAGLIATOdi>> Nel grafico analizzato in passato ora possiamo assegnare un valore al punto in cui cambia l’andamento Sfera Interfaccia di due dielettrici Condizione al contorno di D ed E Circuitazione antioraria Circuitazione di E Al passaggio di due dielettrici si conserva la componente tangenziale ma non la componente normale del campo E Per quanto riguarda D si conserva la componente normale Flusso di D uscente Ma come cambiano le componenti? Ma cosa avviene quando abbiamo un dielettrico in relazione all’energia elettrostatica U ^DENTRO/FUORIlaSFERA•✓ilÉIRCR)=Pr3Cocer MÌ ^>R>È(r>R)=I"TEO↓, MIgp=-Er-' plib ,ma plib 278^) A) >(Di .hn''+Da>• Uni)ds =oulibds^"ellavolle^ NÉconvenzionalee'deldlz-Dm,+ Dna = IIIb Ase stlib -0=>Dm,=Dnaun>convenzionaleB) ':D>>oti•dli+E2'dlz- Eltdl + Eratde=p ✓ circuito2.i/f)=do,dtilt)-- [A) = (§]i 6si-3dsdsDD/→|.lvctl.atinfinitesimodi2ºordine i >> dq '= Pc .Voi=po◦ds./ Ùd /' dt-pc.ds.vd-un.de >di=da ?PÌÉD ' un'ds>di=J>un>ds-Udt Pc =-Ml2infinitesimi:infinitesimodiordine2'perlanegativitàdegli ei. {Ìùndsè. puoi =ne voi ☐☆↑d«l'44,2-147 'dt {Pc(×,y,7)DI=O ↑ >sup.diconfine≈ ↑9g'ilt)-_ § -5'un'ds=.da > e- =/ divide.-d /PcDIV4TeE f attdie ÉÌcorrette☆T✓inuscitacaricauscentedalcorpo✓L v>divJ=. dpc) divJ'=-ÒPOt=_ÒPOtdt Se diminuisce la carica —> deve uscire Se aumenta la carica —> deve entrare Questa equazione ci dice che la corrente non si interrompe e che dunque si conserva Consideriamo una situazione particolare: I fenomeni elettrici, in questo regime, sono costanti (così come le grandezze) nel tempo ma permettiamo il moto delle cariche (al contrario di elettrostatica dove le cariche sono immobili) Regime stazion"io Il vettore J è un vettore soleinodale Per il teorema di Helmholtz i campi possono essere scomposti in due campi 1. Divergenza nulla: campo a linee chiuse (caso del regime stazionario)—> flusso sempre nullo 2. Divergenza non nulla: campo a linee aperte (campo elettrostatico) Cilindro ripiegato Tubo di flusso di J In un regime stazionario, la corrente attraverso una qualsiasi sezione di un conduttore è costante La densità di corrente in ogni punto è una funzione del campo elettrico Per un metallo, si può osservare che = conducibilitá I metalli sono conduttori omici che soddisfano la legge di Ohm (a livello microscopico) Legge di Ohm: legge che descrive la proporzionalità tra campo elettrico e densità di corrente Dove vale la legge di Ohm 1. Nei metalli 2. Alcuni semimetalli 3. Alcune soluzioni ioniche Non vale! Nel passaggio di corrente dei gas resistività del materiale Sostituisco i moduli Resistenza Legge di Ohm A livello macroscopico: I = corrente costante i= corrente variabile Ma V d é una velocità costante Dunque siamo in una situazione in cui avendo una forza costante abbiamo una velocità costante invece che un’accelerazione costante (apparente incongruenza) Esempio del campo costante ÒP =0=)divJ' =D→ot ☒ Echiusa:∅]=0-← ↑DÌ =0/¨ p ,. /jùmds + SÌUNT ds"¥vini• } >1SI52, § ,MIFLUSSOUSCENTE Senni ds=- SinnidsS,52 § ,J> Un'ds=§,Èun>dsJ,ìsi-_isai51=iszSi52J'=FIÈ)J>=TE' o >Ìdentro:Ì-_TÈp='lap:E> =p J>=seRhla = RIÌI .s=RI+. he >= perÌ .S=> FÈ '=ˢarea,A-v5 ÈÌÈ /sempre)Td^ Èqe '>è='=>SeÈ --cost=> À cost(inteoria)>Mel1 ( seÈe'cost. ) o>E Gli ioni tendono ad urtare a causa del campo elettrico in modo vorticoso (attrazione elettrostatica delle shell che rivestono gli elettroni stessi). La velocità termica influisce nel moto degli e provocandone gli urti. La deflessione dello ione a causa dell’urto per agitazione causale provoca un annullamento di vd ad ogni urto Se volessimo calcolare la velocità degli elettroni possiamo sfruttare il teorema della media che ci dice che esisterà un linea che rappresenta la velocità media Intervallo tra due urti Impulso tra due urti Media della quantità di moto: Ipotesi: il moto degli elettroni in un intervallo di tempo è un moto rettilineo uniforme In un istante di tempo media di insieme media temporale Dunque la velocità di deriva degli elettroni in moto per effetto di un campo elettrico si può calcolare come 1) media di insieme 2) media temporale Equivalenza di media di insieme e media temporale= fenomeni ergodico Se aumento la temperatura, passa meno corrente Ma cosa avviene quando una corrente passa in una resistenza? Noi abbiamo visto che il moto casuale degli elettroni si arresta nel momento in cui avviene un urto, dunque essi passano energia cinetica agli ioni presenti nel reticolo. Questo passaggio di corrente dovuto all’ostacolo (ione) che sottrae energia prende il nome di Effetto Joule Effetto Joule Immaginiamo di avere un conduttore: Il campo elettrico compie un lavoro in quanto sta spingendo gli elettroni Potenza specifica dissipata nel conduttore Potenza specifica dissipata Potenza totale dissipata Esperimento da fare a casa : Man mano che la corrente passa nel tubo, la resistenza diminuisce ◦•°@°⑨'◦ È 00Volaaiuto-'"S-✓+≈ 106m15 r.>tOneinf-=-età=-1Ètempoi-esimoilZtiMeµi-1 ApiE-EÉImanècre>MeP=L =mMene''=lret=,✓,a#,p✗ [ temperaturaI=Kpn,It'TVT+-AEDÌB" // I.-da=,da.-Idtdieta-TBcit11di=-du--do, ITA -tti) >di= dqA-V=Ideali(0hm:Alert)de'W=dl=Ideali=Isti!IZR! AV≥DIdtdtRds>deJinn >ds◦E> DÀ dt(lavoroinunpiccoloclementinodiconduttore)•Eun>Isù=I=AV≥=2202W:dl= È un>ds ÈDÌ = ÌE > dsctè Un>= ÌÈDI=wdIRdt300K ¥ ricordaI'=TÈformeequivalenti:conduttanza☒w= ÌÈ =TÈ'=p>i / ^conduttoreohmicoIR3000k»R300k•W=GIÙ≥=RI'(C)=^/R ) ~ tuboalneon [^tuboneon'1hm/s">t>t Confronto fra grafici al passaggio di corrente Conduttore ohmico Tubo al neon Semiconduttori Apparente incongruenza Il campo E non compie lavoro ma il passaggio di cariche in un percorso chiuso comporta la dissipazione di energia Esempio parallelo con il campo gravitazionale Generatore : in grado di fornire la potenza necessaria per compensare la dissipazione di energia All’interno del mio generatore ho un campo elettromotore che é un campo elettrico, ma non di natura elettrostatica Il campo elettromotore va dal - al +, ovvero in direzione opposta rispetto al campo elettrico E Fem a circuito aperto: Equilibrio perfetto : equilibrio meccanico in cui avvengono due meccanismi opposti Le cariche stanno fluendo dal Polo positivo a quello negativo e sono un po’ diminuite. Come conseguenza, anche il nostro campo elettrico è diminuito (in seguito alla diminuzione delle cariche). In questo caso quindi, il campo elettrico è più debole del campo elettromotore! Essendo E < Em abbiamo un passaggio di corrente Fem a circuito chiuso: (Considera anche il generatore) Fem= forza elettromotrice Per