Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

6 - torsione, taglio rev1

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industrial e Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Corso di Scienza delle Costruzioni Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani Docente: Prof. Maria Gabriella Mulas Dipartimento di I ngegneria Civile e Ambientale Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 2 Esercizio 1 I momenti torcenti mostrati sono applicati all’albero pieno AC in acciaio (G = 77 GPa), tramite le due pulegge in A e in B. Sapendo che la tensione tangenziale allo snervamento dell’acciaio vale 145 MPa, ed assumendo un fattore di sicurezza allo snervamento pari a 3, si determini: Il diametro minimo d1 necessario per il tratto AB Il diametro minimo d2 necessario per il tratto BC. Si assuma come diametro di lavoro (in mm ) il numero intero pari immediatamente superiore al valore trovato, e si calcoli l’angolo di torsione delle due pulegge in A e in B. Nei conti si assuma: LAB = 0.8m LBC = 0.6m d1 = d2 = A = B = Esercizio 2 Mentre si scava un pozzo di petrolio alla profondità di 250 0 m, si osserva che la sommità del tubo di perforazione in acciaio di 200 mm di diametro (G = 77 GPa) ruota di 2.5 giri prima che la punta di perforazione cominci ad operare. Si calcoli il massimo sforzo tangenziale indotto nel tubo dalla torsione. Tracci a di soluzione: la rotazione di 2.5 giri fornisce il valore dell’angolo di torsione subito dal tubo, pari a 2.5 x 2 (l’angolo deve essere necessariamente espresso in radianti). Dall’angolo di torsione si risale al momento torcente e quindi alla massima te nsione tangenziale. Il calcolo del momento torcente non è strettamente necessario, si può anche passare direttamente dall’angolo di torsione alla tensione tangenziale senza conti intermedi. d1 d2 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 3 Esercizio 3 L’asta AB è di acciaio (G s =80 GPa), avente tension e tangenziale ammissibile pari a 105 MPa; l’asta BC è di ottone (G b = 40 GPa), avente tensione tangenziale ammissibile pari a 56 MPa. Trascurando gli effetti delle concentrazioni di sforzo si determinino: Il massimo momento torcente che può essere applicat o nella sezione A: L’angolo di torsione della sezione A, prodotto dal valore del massimo momento. Nei conti si assumano, quali diametri e lunghezze dei due tratti: 1. DAB = 38mm LAB = 1.4 m DBC = 45mm LBC = 2.5 m 2. DAB = 40mm LAB = 1.4 m DBC = 50mm LBC = 2.5 m 3. DAB = 38mm LAB = 1.6 m DBC = 45mm LBC = 3.0 m 4. DAB = 40mm LAB = 1.6 m DBC = 50mm LBC = 3.0 m d AB (mm) L AB (m) d BC (mm) L BC (m) J AB (mm4) J BC (mm4) 38 1.4 45 2.5 204707.7 402577.9 40 1.4 50 2.5 251327.4 613592.3 38 1.6 45 3 204707.7 402577.9 40 1.6 50 3 251327.4 613592.3 prendo il min Tmax (Nm) -BC Tmax (Nm) -AB AB BC tot 1002.0 1131.3 0.08566 0.15556 0.24121 1374.4 1319.5 0.09570 0.14000 0.23570 1002.0 1131.3 0.09789 0.18667 0.28456 1374.4 1319.5 0.10938 0.16800 0.27738 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 4 Esercizio 4 L’albero circolare in figura è in acciaio ( G = 80 GPa), ed è soggetto a due momenti torcenti noti, MT1 nella sezione B e MT2 nella sezione C. Sono date le lunghezze a e b dei due tratti AB e BC e il diametro d2 del tra tto BC . Si determini il diametro minimo d1 del tratto AB in modo che siano verificate entrambe le seguenti condizioni: nel tratto AB lo sforzo risulti inferiore allo sforzo ammissibile la rotazione della sezione C sia inferiore a 3°. Nei conti si assuma : amm = 110 Mpa Compito 1 MT1 = 850 Nm MT2 = 285 Nm a = 4.5m b = 1.5 m d2 = 5 cm Compito 2 MT1 = 1000 Nm MT2 = 300 Nm a = 4.3m b = 1.3 m d2 = 5 cm Compito 3 MT1 = 1150 Nm MT2 = 310 Nm a = 4.2m b = 1.2 m d2 = 5 cm Compito 4 MT1 = 1300 Nm MT2 = 320 Nm a = 4.0m b = 1.0 m d2 = 5 cm fi tot=3° 0.05236 d1 da tau max d1 da rotazione max d1 (cm) J2 fi BC fi res=fi tot -fi bc d1 (cm) 5.49 6.13592E -07 2.74E -02 2.50E -02 9.51 5.74 6.13592E -07 2.50E -02 2.74E -02 9.50 5. 97 6.13592E -07 2.38E -02 2.86E -02 9.63 6.18 6.13592E -07 2.05E -02 3.19E -02 9.50 Il valore da adottare deve soddisfare entrambe le condizioni date, quindi è il più ???? dei due (completate voi!) Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 5 Esercizio 5 Per la trave dell’esercizio 12 (azi one assiale – flessione), si determini la massima tensione tangenziale nella sezione trasversale posta a distanza pari a L/2 dall’appoggio di sinistra. max = Risultato in MPa 1. 18.26 2. 18.47 3. 18.25 4. 19.23 Esercizio 6 L’asta AB, di diametro pari a 38 mm, è di acciaio avente tensione tangenziale ammissibile pari a 105 MPa; l’asta BC, di diametro pari a 45 mm, è di ottone avente tensione tangenziale ammissibile pari a 56 MPa. Trascurando i possibili effetti di concentrazione delle tensioni nel punto in cui cambia la geometria della sezione trasversale, si determini: Il massimo momento torcente che può essere applicato in A; Il valore dell’angolo di torsione delle sezioni A e B prodotte da tale momento, sapendo che il modulo elastico G dell’acciaio vale 7 7 GPa e quello dell’ottone vale 44 GPa. Nei conti si assuma per le lunghezze dei tratti AB e BC: LAB = 200 mm LBC = 250 mm Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 6 Esercizio 7 L’asta incastrata in figura, avente sezione circolare di raggio r, è caricata nell’estremo libero da una forza F. Tale forza, diretta come l’asse y, è applicata, nel piano della sezione, con un’eccentricità pari ad e, come mostrato in figura. Si determinino: le azioni interne agenti sull’asta nella sezione a distanza d dall’estremo libero; gli sforzi che tal i azioni producono nei punti H e K della sezione trasversale (vedi figura) gli sforzi principali e la massima tensione tangenziale per entrambi gli stati di sforzo. Si ricorda che i momenti di inerzia del cerchio valgono Jy = J z = r4/4 e che il baricentr o del semi - cerchio si trova (sull’asse di simmetria del semicerchio) a distanza pari a 4r/(3 ) dal diametro che isola il semicerchio stesso Nei conti si assuma: F = 20 kN r = 0.025 kN e = 0.055 mm d = 0.12 m Esercizio 8 Il profilato a doppio T i n acciaio laminato S310x52 mostrato sulla sinistra in figura (geometria standard americana, caratteristiche geometriche riportate qui sotto) è stato rinforzato con l’aggiunta di due piatti, ciascuno di sezione 16 x 200 mm. I piatti sono connessi al profila to mediante due file di bulloni di 18 mm di diametro disposti longitudinalmente, a un interasse di 120 mm. Sapendo che lo sforzo tangenziale ammissibile medio nei bulloni è 90 MPa, determinare la massima forza di taglio applicabile. Tmax = Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 7 Esercizio 9 Due forze verticali sono applicate ad una trave la cui sezione è mostrata in figura. Per questa trave: Si traccino i diagrammi del taglio e del momento flettente; Si determinino i massimi sforzi di trazione e di compressione nella porzi one BC della trave; max = min = Nei conti si assuma: 1. F = 1 0 kN t = 10 mm H = 5 cm B = 5 cm 2. F = 1 1 kN t = 10 mm H = 5.4 cm B = 5 cm 3. F = 1 2 kN t = 10 mm H = 5.8 cm B = 5 cm 4. F = 1 3 kN t = 10 mm H = 6 cm B = 5 c m h (cm) A1*2 (cm2) A3(cm2) Atot (cm2) yG1, yG2 yG3 Sz (cm3) yG (cm) Iz (cm4) 5 10 5 15 3.5 0.5 37.5 2.5000 51.250 5.4 10.8 5 15.8 3.7 0.5 42.46 2.6873 61.658 5.8 11.6 5 16.6 3.9 0.5 47.74 2.8759 73.326 6 12 5 17 4 0.5 50.5 2.9706 79.652 P (kN) L1 (cm) L2(cm) M (kNcm) sig -max [MPa] sig -min [MPa] 10 15 25 150 73.1707 -102.4390 11 15 25 165 71.9145 -99.3524 12 15 25 180 70.5977 -96.3288 13 15 25 195 72.7245 -98.6461 F F t t H t B Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 8 Esercizio 10 Quattro angolari in acciaio e una piastra in acciaio, di spessore 12 mm e altezza h, sono imbullonati e formano una trave avente la sezione formata in figura. I bulloni hanno diametro e sono disposti ad interasse longitudinale pari ad s. Sapendo che la trave è soggetta ad un taglio verticale V y, si determini lo sforzo tangenziale in ciascun bullone. Nei conti si assuma: 1. angolari 102 x 102 x 15.9 mm) h = 400 mm = 24 mm s = 120 mm Vy = 260 kN 2. angolari 102 x 102 x 12.7 mm h = 380 mm = 23 mm s = 120 mm Vy = 250 kN 3. angolari 102 x 102 x 9.5 mm h = 360 mm = 22 m m s = 120 mm Vy = 240 kN 4. angolari 102 x 102 x 6.4 mm h = 340 mm = 21 mm s = 120 mm Vy = 230 kN (le caratteristiche geometriche degli angolari sono riportate nella tabella C4, appendice C del libro di testo) h s [mm] A [mm2] I*10 -6 x/y Ig, ang Iz [mm 4] S*z [mm3] 400 15.9 2970 2.77 31.2 87395517 413582067 501336 380 12.7 2420 2.13 30 64082000 311200000 387200 360 9.5 1845 1.815 29 43882845 222187380 278595 340 6.4 1252 1.265 27.7 26617111 145772444 178160 Vy [kN] Dx [mm] DH [kN] Phi [mm] tau med 260 120 37.82 24 83.60 250 120 37.33 23 89.84 240 120 36.11 22 95.00 230 120 33.73 21 97.39 Attenzione: il momento d’inerzia del singolo angolare sulla tabella era a meno del fattore 10 -6 e non 10 -5 come detto in aula. La diff erenza del risultato è comunque modestissima, come si può vedere nella tabella sottostante perché il contributo dell’angolare è principalmente quello del termine di trasporto. Nella valutazione del risultato non si terrà conto di questa differenza. tau me d 85.67 92.11 97.88 100.53 h Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 9 Esercizio 11 La trave mostrata in figura è costituita da tre tavole (150x50 mm) unite da bulloni di diametro , posti ad un interasse longitudinale pari ad s. Assegnato un taglio verticale pari a V y, si determini lo sfor zo tangenziale medio nei bulloni. Nei conti si assuma: 1. Vy = 12 kN = 16 mm s = 300 mm 2. Vy = 12 kN = 14 mm s = 250 mm 3. Vy = 12 kN = 16 mm s = 320 mm 4. Vy = 12 kN = 14 mm s = 270 mm Risultato in MPa: 1. 53.05 2. 57.75 3. 56.58 4. 62.36 In tutti i casi y G = 58.33 mm (distanza dal lembo inferiore) Iz = 4218.75 cm 4 Sz* = 249.975 cm 3 (momento statico rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro della tavola disposta orizzontalmente) Esercizio 12 Una trave ha la sezione longitudinale comp osta da tre tavole connesse, come mostrato in figura, mediante bulloni aventi una resistenza a taglio di 6 kN. Determinare la massima forza di taglio V max che può essere portata dalla trave, sapendo che l’interasse tra i bulloni è pari a x = 30 cm. Vmax = Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 10 Esercizio 13 Un pilastro è costruito connettendo gli elementi profilati in acciaio mostrati (due sezioni a C e due piatti) con bulloni di diametro disposti longitudinalmente ad interasse pari ad i. Sapendo che la tensione tangenziale med ia ammissibile nei bulloni è pari a 85 MPA, si determini: La massima forza di taglio T y,max (parallela all’asse y) ammissibile; La massima tensione tangenziale prodotta dalla T y,max sulla sezione (in quale punto agisce?). Fattore moltiplicativo d ei momenti d’inerzia: 10 6 Dati di ingresso, unità mm e MPa Caso Profilo d Ix * 10e -6 Sx * 10e -3 tw b t phi i tau am 1 C250 x 45 254 42.7 336 17.1 330 10 20 120 85 2 C250 x 37 254 37.9 298 13.4 320 9 18 130 85 3 C250 x 30 254 32.6 257 9.6 310 8 16 150 85 4 C250 x 22.8 254 27.7 218 6.1 270 5 14 180 85 5 C250 x 45 254 42.7 336 17.1 320 10 20 140 85 6 C250 x 37 254 37.9 298 13.4 300 9 18 130 85 Risultati, stesse unità. I xtot è dato da due volte l’inerzia propria del singolo C250 x YY , più due volt e l’inerzia di un piatto (termine proprio più termine di trasporto). S x,sup è quello del piatto singolo rispetto all’asse z della sezione composta. Il termine S x,bar è la somma di S x,sup e di due volte il momento statico di mezza sezione, ricavato dalla ta bella. La massima tensione tangenziale, a livello della fibra baricentrica, è ricavata ponendo t =2tw nella formula di Jourawsky. Tenendo conto della doppia simmetria della sezione, si poteva anche usare la metà di S x,bar in tabella e t =tw. Caso Ix tot * 10e -6 Sx sup * 10e -3 Ty am [N] Sx bar * 10e -3 tau bar 1 200.45 435600 204806.2 1107600 33.09 2 175.44 378720 154154.56 974720 31.96 3 150.35 324880 105451.69 838880 30.65 4 100.69 174825 83730.734 610825 41.64 5 196.97 422400 177885.35 1094400 28.90 6 169.21 355050 158594.74 951050 33.26 b x t … Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 11 Esercizio 14 La sezione cava in alluminio mostrata in figura ha le seguenti dimensioni: h = … mm ; b= …. mm ; t1 = …. mm ; t2 = …. Mm 1. Si determinino le tensioni tangenziali nei punti a e b prodotte da una forza di ta glio Tz passante per il baricentro. Nei conti si assuma: Tz = kN Risultati: (a) = MPa; (b) = MPa 2. Si determinino negli stessi punti le tensioni tangenziali prodotte da un momento torcente M t. Nei conti si assuma: M t = kNm Risu ltati: (a) = MPa; (b) = MPa Domanda 1 L’esercizio è una variante del problema 6.35 (da fare a casa). Procedimento di soluzione in parte analogo a quello dell’esempio 6.04. Unità di misura: lunghezze in mm; forze in kN; sforzi in MPa. caso b h t1 t2 Tz Iy S* y(a) max (a) S* y(b) (b) 1 150 110 7.00 12 42 14934492 118863 23.88 39744.00 9.31 2 145 105 6.50 11.5 38 12753967 104787 24.02 35310.75 9.15 3 140 100 6.00 11 34 10817765 91836 24.05 31218.00 8.92 4 135 95 5.50 10.5 32 91 07161 79964 25.54 27452.25 9.19 5 130 90 5.00 10 30 7604167 69125 27.27 24000.00 9.47 Domanda 2 (sforzi dovuti alla torsione in una sezione cava in parete sottile) s è l’area racchiusa all’interno della linea media del profilo. Per il procedimento di soluzione si veda l’esempio 3.10 del libro di testo; soluzione analoga a quella del problema 3.141 (da fare a casa). Lunghezze in mm; momenti in kNm; sforzi in MPa. caso s Mt xz(a) xy(b) 1 14214 10 50.25 29.31 2 13150 9 52.65 29.76 3 12126 8 54.98 29.99 4 11143 7 57.11 29.91 5 10200 6 58.82 29.41 t M s t 2 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 12 Esercizio 15 Un quadrato di lato pari a 25 mm è inciso sul lato di un grande recipiente in pressione in acciaio. Dopo la pressurizzazione lo stato di tensione biassiale sul quad rato è come illustrato in figura. Le proprietà meccaniche del materiale sono E = 200 GPa, = 0.30, am = 90 MPa. Specificandone chiaramente il segno, si determini la variazione di lunghezza (a) del lato AB , (b) del lato BC (c) della diagonale AC. Infine, si determini il fattore di sicurezza allo snervamento FS sn facendo uso del criterio di Guest -Tresca. LAB = LBC = LAC = FS sn = Esercizio 16 Un tessuto utilizzato in strutture pneumatiche è soggetto ad un carico biassiale, che dà orig ine a tensioni normali x = 120 MPa e z = 160 MPa, uniformi sull’elemento indicato in figura. Sapendo che le proprietà meccaniche del tessuto possono essere approssimate con E = 87 GPa e = 0.34 si determini la variazione di lunghezza: (a) del lato AB , (b) del lato BC , (c) della diagonale AC . LAB = LBC = LAC = Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 13 Esercizio 17 In un punto P di un elemento strutturale in acciaio (E=200 GPa; G=77 GPa) agisce lo stato di sforzo indicato in figura. Per tale stato di sforzo:  si costruisca grafi camente il circolo di Mohr, facendo uso di un foglio di carta millimetrata;  si determinino analiticamente e graficamente (sul cerchio tracciato) gli sforzi principali a, b, le direzioni principali (identificate dall'angolo p) e la massima tensione tange nziale max ;  si valutino, a partire dalla costruzione grafica, gli sforzi normali e tangenziali lungo le direzioni x' ed y' inclinate di 45° sugli assi x ed y e si disegni l'elemento ruotato con gli sforzi agenti su di esso;  si determinino le deformazioni normali x' ed y' e la deformazione tangenziale x'y' lungo tali direzioni;  ipotizzando che tale stato di sforzo si estenda uniformemente su un quadrato di lato 15 mm, i cui lati siano rispettivamente paralleli agli assi x ed y, si determinino gli allunga menti Lx' e Ly' subiti dalle diagonali del quadrato stesso. Nei conti si assuma: x= 80 MPa y= -130 MPa xy= -60 MPa a = MPa b = MPa max = MPa p = rad x' = MPa y' = MPa x'y' = MPa x' = y' = x'y' = Lx' = mm Ly = mm Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Esercizi su torsione, taglio e stati di sforzo piani 14 Eserc izio 18 In un punto P di un elemento strutturale in acciaio (E=200 GPa; G=77 GPa) agisce lo stato di sforzo indicato in figura. Per tale stato di sforzo:  si costruisca graficamente il circolo di Mohr, facendo uso della carta quadrettata qui sotto;  si dete rminino analiticamente e graficamente (indicandole sul cerchio tracciato) gli sforzi principali a, b, le direzioni principali (identificate dall'angolo p) e la massima tensione tangenziale max ;  si calcolino le deformazioni prodotte dagli sforzi princi pali;  si calcoli la deformazione prodotta dalla max . Nei conti si assuma: x= MPa; y= MPa; xy= MPa L’esercizio non presenta difficoltà concettuali: è una semplice applicazione delle relazioni del cerchio di Mohr (v. esercizi 7 .11 e 7.31 da fare a casa) e di quelle della legge di Hooke generalizzata (eq.ni 2.28 e 2.36 -37 del libro di testo). Il modulo di Poisson doveva essere calcolato a partire dalle due costanti E e G. caso x y xy media R= max a b p 1 150 40 50 95 74. 33 169.33 20.67 0.3689 2 150 -40 50 55 107.35 162.35 -52.35 0.2422 3 120 50 40 85 53.15 138.15 31.85 0.4260 4 160 40 35 100 69.46 169.46 30.54 0.2640 5 80 -80 40 0 89.44 89.44 -89.44 0.2318 caso a b max 1 0.000816 -0.000150 0.000965 2 0.000890 -0.000504 0.001394 3 0.000643 -0.000047 0.000690 4 0.000802 -0.000100 0.000902 5 0.000581 -0.000581 0.001162