Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

Statica del punto materiale e del corpo rigido

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzioni Dispense del corso A cura di Maria Gabriella Mulas Capitolo 2 Statica del punto materiale e del corpo rigido Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido Indice 1. Definizioni g enerali 1 2. Equilibri o del le forze applicate ad un punto m ateri ale 3 2.1 Condizione di equilibrio delle forze applicate ad un punto m ateriale 5 3. I siste mi di forze applicati ai corpi rigidi 6 3.1. Pr oprietà del m omento 7 3.2. La seconda operazione invariantiva e l'equivalenza dei siste mi di forze 8 3.3. La rid uzione ad un pu nto per i sistemi di forze nel piano. 10 3.4. Le equaz ioni cardinali della statica d el corpo rigid o. 12 4. Le equazioni di equilibri o per i corpi vi ncolati 14 4.1 Condizione p er la quiete di un p unto m ateriale vincolato 15 4.2 Condizione p er la quiete di un corp o rigi do vi ncolato 16 4.2.1 Le for me alte rnative delle equazioni cardinali della statica nel ca so piano 17 4.3 L’ uti lizzo delle condizioni di equilibri o nel calcolo delle reazioni vincolari 18 Riferimenti bibliografici Le n ozioni base d i statica illu strate in questa d ispensa (origin ariam ente sc ritta p er il co rso da 5 cred iti) segu ono la lin ea d i presen tazio ne del testo ad ottato nelle faco ltà d i arch itettu ra d ell’Aten eo: E. Guagenti Grandori, E. Garavaglia, F. Buccino, G. Novati, Statica , Introduzione alla Meccanic a Strutturale , McGraw Hill (indifferentemente la 1° o la 2° edizione). Quest o testo presenta una tra ttazione relativa mente se mplice e ricca di e sem pi (si veda no i ca p. 2 e 3, esclusi i par. 2 .14, 2.15 e 3.11 ), anche se insufficien te per la versione attu ale d el co rso da 10 cred iti. Lo scop o d i qu esta dispensa è d i fornirv i in italian o la term inologia della materia, d i darvi alcun i spu nti su lle cond izion i di eq uilibrio , l’equiv alen za d ei si ste mi d i fo rze, l’an alisi d egli sch emi sta tici e il calco lo delle azio ne intern e, spun ti ch e non sono co ntenuti n el libro di testo . Ricordo che per la trattazione com pleta degli argom enti di statica all’interno del corso d i Scien za delle Co struzioni A+B occorre fare riferim ento al testo: F.P. Beer, E.R. Johnston jr ., E.R. Eisenberg, Vector Me chanics for Engine ers, Statics . 7 th Edition, McGraw-Hill 200 4 (op pur e 8 th edition, 2007). Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 1. Definizioni generali La m eccanica è quella parte della F isica che si occupa di d escriv ere il moto dei co rpi ( cinematica ), di studiare le condizioni sotto cui un corpo è in quiete ( statica ) e di predire il m oto dei corpi dovuto alle cause (forze) agenti su di ess i (dinamica ). In questo contesto i co rpi vengono considerati c ome siste mi mec canici , ovvero com e sistem i materiali di cui ha in teresse, quale unica proprietà fisica, la massa. Dei sistem i m eccanici ha interesse stud iare la quiete (definita co me assenza di velo cità p er qualunque punto del corpo) o lo stato di moto, descritti nello spazio e nel tem po. Possiam o denotare con il nom e di forza la causa degli ef fetti m eccan ici, avendo definito con questo nom e il passaggio dalla quiete al m oto e vicevers a, le v ariazioni di moto e quindi di velocità, e le deform azioni subite dai corpi. Le forze sono le azioni di corpi (o parte di essi) su altri corpi (o su parte di essi); sono determ inate da un num ero, che rappresenta l'intensità d ella forza, da u na direzione, da un verso e infine da un punto, che è il punto del corpo\ in cui la forza agisce. Le forze sono rappresentate da vettori applicati ; il pun to in cui è applic ata la forza si ch iam a punto di applicazione , la retta passante per il punto e contenente la forza si chiam a linea d'a zione della forz a. Il sistem a meccanico più se mplice è costituito dal punto materiale . Il concetto di punto m ateriale è un m odello della realtà che può esse re adottato tutte le volte che l' estensione del corpo in studio è molto piccola rispetto alle dim ensioni del cam po in cui avviene il fenom eno che ha in teres se, ed in cui non è necessario distinguere tra le varie parti di cui il corpo è costitu ito. In questo cas o la posizione del corpo è def inita, in un sistem a cartesiano ortogonale, da lle tre coordinate ( x, y, z) ; esso però non cessa di avere una quantità finita di materia (da cui il nome di punto m ateriale). La posizione di un corpo che ha estens ione finita nello spazio è descritt a dalla su a confi gurazione, cioè dalla pos izione di tutti i suoi punti. In genera le sono possibili spos tamen ti relativi tr a i punti del corpo; i corpi sono quin di deform abili, cioè sog getti a variazioni di form a e/o di volum e dovut e ad azioni applicate (forze, m a anche va riazioni term iche, etc). Tuttavia, ne lla p rim a pa rte d el corso ci occuperem o soltanto di corpi rig idi, ovvero di corpi in cui rim angono in variate le mutue distanze tra i punti com ponenti il corpo stesso. Darem o com e base di partenza dei nostri ragion am enti i principi fondam entali della dinam ica di Newton, validi per i sistem i di riferim ento inerziali (in quiete o in m oto rettilineo unifor me). Il prim o principio, detto anche principio di inerzia , s tabilisce che ciascun corpo persevera nel suo stato di quiete o di m oto rettilineo uniform e, a m eno che sia costretto a m utare tale stato da forze im presse (esterne). Il secondo principio stab ilisce che una fo rza F (g rand ezza vetto riale) app licata a un corpo (indefor mabile) g li im prime una accelerazion e a (grandezza vettoriale) a essa proporzio- nale, secondo la relazione: 07/10/ 200 9 1 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido F = ma (1.1) La costante di proporzionalità m viene definita com e la massa inerziale del corpo. Ricordiam o in ultim o il principio di azione e reazione , che stabilisce che se su un punto materiale A agisce una forza dovuta ad un altr o punto B, A esercita su B una forza uguale e contraria, av ente la stess a linea d'azione, coincidente con la retta AB. Un ultim a classificazion e delle forze distingue tra forze ester ne, che sono quelle che agiscono sul corpo o sistem a in virtù dell' azione di corpi es terni al co rpo dato, e forze interne , che sono invece dovute all' azione di corpi appartenenti al sistem a stesso. In virtù del principio di azio ne e reazione, le f orze in terne s i pos so no sem pre scindere in un certo num ero di si stem i di forze a due a due uguali ed opposte e con la stessa linea d' azione. 07/10/ 200 9 2 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 2. Equilibrio delle forze applicate ad un punto materiale Per ricavare la condizio ne che assicura la quiete di un punto m ateriale, prem ettiamo la seguente osservazione (che è peraltro il fondam ento della seconda legge della dinam ica per un osservatore inerziale): n el concetto di forza, così com e è stato dato, è implicito il fatto che se una forza non nulla viene applicata o rimossa su un punto mate riale libero, essa lo mette in moto s e preceden temente era in quiete o n e varia l'even tuale moto ; inversam ente, per alterare lo stato di quiete o di moto di un punto mate riale libero è necessario applica re (o rimuovere) su di esso almeno una forza non nulla . Nel caso che su un punto m ateriale agiscano più forze, ci si dom anda se sia possib ile sostitu ire il sistem a di forze dato con un’unica forza, che sia equivalente dal punto di vista m eccanico al sistem a di forze dato, sia ci oè in grado di p rodurre g li stessi effetti m eccanici sul punto m ateriale in esam e. Vale a riguardo il seguente postulato: Postulato I : le va ria zioni dello stato di quiete o di m oto prodotte da un sistem a di forze che vengano tutte s imultaneam ente applic ate o rim osse su llo s tess o p unto m ateriale, libero o vincolato, si possono ottenere anch e sostitu endo a quelle fo rze un' unica forza, definita risultan te delle forz e considerate. Lo strum ento operativo per determ inare la risultan te del sistem a di forz e è definito dai seguenti due postulati: Postulato II : la risultante di due forze applicate nello stesso punto si ottiene com pone ndone i vettori con la regola del parallelogramm a, cioè somm ando vettorialm ente le due fo rze, com e indicato in Fig. 2.1. Postulato III : la risultante di un sistem a di più di due fo rze applic ate n ello s tesso p unto si o ttie ne com ponendo le prim e due, poi compone ndo la forza così ottenu ta con la terza, e così via, fino a d avere com posto tutte le forze. Fig. 2. 1 - La regola del pa rallelogramma per la somma dei vettori. Viene definita com e ope razione invariantiva su un sistem a di forze agente su un corpo rigido quella ch e non altera lo stato m eccanico di quiete o di m oto del corpo. P ossiam o quindi definire la: 07/10/ 200 9 3 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 1° operazione invarian tiva : lo stato di quiete o il m oto di un corpo rigido è invariante per com posizione o decom posizione di più forze agenti in un solo punto. L'esistenza della prim a operazione invarian tiva so ttolinea co me, ai fini d ello stato m eccanico del punto m ateriale, l' unico param etro di im portanza del sistem a di fo rze applicato ad esso sia la risultan te del sistem a stesso, esse ndo ininf luente com e sia ef fettivam ente f atto il sis tema di f orze (da quante e quali forze sia com posto). Due sistemi di forze agenti su un punt o m ateriale risultano equivalenti se possono essere ottenuti l’uno da ll’altro attraverso la sola prim a operazione invariantiva. L’uguaglianza della risulta nte (in senso vettoriale) è pertanto condizione necessaria e sufficien te per l’equivalenza di due si stem i di forze agenti sul m edesimo punto m ateriale. L a condizion e è necessaria perché la p rim a operazione invarian tiva non altera la risultante dei sistemi di forze in esam e; la condizione è anche sufficiente perché se i due sistem i hanno la stessa risultante sono riducib ili alla stessa forza applicata nel punto. (a) (b) (c) (d) Fig. 2.2 - Cos truzione graf ica del poligono delle forze. La risultante di due o più forze può essere tr ovata facen do uso della costruzion e grafica del poligono delle forze. Se si riport ano ordinatam ente i vettori rappres entativi delle forze, in m aniera che dall' estr emo della prim a si sp icchi il v ettore rapp res entativo della second a, e così v ia, la risultante del sistem a di for ze è il vettore orientato che si ottiene congiungendo il prim o estremo della p rim a forza con il secondo es trem o dell' ultim a forza, com e rappres entato n elle figure 2.2a e 2.2b per il caso di due e di tre fo rze rispettivamente. L' equivalenz a tra la costruzione del poligono delle forze e la regola del paralle logramm a è e videnziata nella fig. 2.2a; le risultanti parziali nel caso di somma di più di due vetto ri e la validità della proprietà ass ociativa n ell’operazione di 07/10/ 200 9 4 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido somma vettoriale sono m esse in luce nelle fig. 2.2b e 2.2c. La validità della proprietà comm utativa per la somma vettoriale è illustrata nella costruzione grafica in fig. 2.2d. 2.1 Condizione di equilibr io delle fo rze applica te ad un punto materiale Prim a di introdurre la condizione di equilibrio del punto m ateriale occorre definire in m aniera qualitativa la nozione di equilib rio. A ta le rigua rdo vale la se guente def inizione : Un sistema di forze si dice in eq uilibr io su un punto materiale libe ro P quando, applica to o rimosso su P, non ne a ltera lo stato di quiete o di m oto, e ciò indipendentem ente da qualsiasi altro sistema di forze agenti su P . Abbiam o vi sto che la p rim a operazione invariantiv a ci garantis ce che l’effetto m eccanico di un qualunque sistem a di forze applicato a un punto m ateriale è uguale a quello della sua risultante, determ inata per su cces sive app licazioni d ella regola del parallelog ramma . Alla luce d i questa osservazione possiam o fornire la condizione cui devono soddisfar le forze applicate a un punto materiale af finché il p unto stesso sia in eq uilib rio : condizione necessaria e sufficien te per l'equilibrio di un sistem a di forze applicate ad un punto materiale libero è che la loro risultante sia uguale a zero. La condizione è necess aria : inf atti, le va ria zion i dello s tato di quiete o di m oto che si o tte rreb - bero aggiungendo o rimuovendo il sistem a sono id entiche a quelle prodotte dalla risultante (postulato I); perciò, se il sistem a di forze è in equilibrio, ossia non pro duce nessuna delle dett e variazioni, la risultante deve essere nulla, coerentem ente con l' osserv azione f atta all' inizio d el paragrafo. La condizione è suffic ien te: se la risultante è nulla non si hanno variazioni dello stato di quiete o d i moto ed il s istem a è in equilib rio. Com e caso particolare, risulta in eq uilib rio un sistem a di du e forze uguali e contrarie, aventi la stessa linea d' azione. 07/10/ 200 9 5 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 3. I sistemi di forze applicati ai corpi rigidi Quando si passa a considerare sistem i costitu iti da pi ù punti m ateriali o d a corpi di dim ensioni finite diventa im portante il punto di a pplicazione che le varie forze hanno sul corpo. Il sistem a di forze è quindi definito dai ve tto ri app lic ati ( F1, P1), ( F2, P2), ( Fn, Pn). Il ve ttor e risultante (che non è un vettore applicato) di questo sistem a di forze è il vettore R somm a dei vettori F1, F2, … Fn, ossia: n 2 1 F F F R + + + = ....... (3.1) Il punto di applicazione Pi della singola forza può essere tenut o in conto tram ite la definizione del momento della forza rispetto a d u n polo O arbitrario. Una pri ma definizione elem entare del mom ento può essere in trodotta nel caso che tutte le forze considerate giacciano nello stesso piano, cui appartiene anche il polo O. In tal caso il mom ento è definito come lo scalare M O dato dal prodotto del m odulo F della f orza moltiplica to per il bra ccio b della forza rispetto al punto O . I l braccio b è definito com e la distanza del polo O dalla linea d' azione della forza F. In questa accezione il m omento è uno scalare dot ato di segno; il segn o è leg ato al verso d i ro tazione che la forza indurrebbe su un' ipotetica asta che connettesse rigidamente il punto di applicazione della forza con il polo O (orario o antio rario) . La convenzione di se gno è ininfluente; tu ttavia è im portante, quando si calcola il m omento di un sistem a di fo rze, che i singoli m omenti vengano tutti valutati con la stessa convenzione. La de finizione più generale del m omento è tuttavia una definizione vetto riale . Il momento di una forza ( F, P) rispetto ad un punto O è il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione di P rispetto ad O ed il vetto re forza F, c ome illus trato in Fig. 3.1 : F M × − = ) ( O P O (3.2) M o O b P F r Fig. 3. 1 - La definizione vettoriale di mo mento di un a forza. Indicando con α l'angolo for mato dalla linea d' azione di F con il v etto re (P-O ), e co n OP il m odulo del vettore ( P-O ), il m odulo del m omento è dato da: b F a sin OP F M O ⋅ = ⋅ ⋅ = (3.3) 07/10/ 200 9 6 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido Il vettore M O è pertanto com pleta mente definito: • dal m odulo Fb dato dal prodotto forza per bracc io, analogam ente al caso piano; • dalla direzione, perpendicolare al piano, definito piano direttore , in cui giacciono F ed O; • da verso tale da rispettare la regola della m ano destra. Nella definizione ora data di m omento non viene individuato un punto di a pplicazione del vettore M O; è tuttav ia usuale rappresentare il v etto re co me spiccato dal punto O. Il m omento risultante di un sistem a di n forze Fi applicate nei punti Pi è dato da ∑ × − = i i i O O P F M ) ( (3.4) 3.1. Proprietà del momento Dalle definizioni date discende che: • Il m omento di una forza rispetto ad un punto non va ria se si fa scorrere la forza lungo la sua linea d' azione. Infatti, nell' operazione di scorri mento non variano né il vettore forza, né il braccio, né il verso di rotazione associato. • Se cam bia il polo O, a m eno che non venga sposta to parallelam ente alla linea d' azione della forza, cam bia anche il mom ento. Infatti, assum endo un nuovo polo O' , distinto da O, si ha: [] F M F F M O O × − + = × − + − = × − = )' ( )' ( ) ( )' ( ' O O O O O P O P (3.5) L'equazione (3.5) consente di m ettere in luce la variazione subita dal mom ento nel muovere il polo da O a O' , e di evidenziare come il term ine aggiunt ivo non sia altro che il m omento, rispetto al punto O' , che la forza F avrebbe s e fosse app licata in O. L' equazione (3.5) costituisce pertanto la regola di trasporto del m omento. • Nel caso di più forze, il mo mento rispetto ad un nuovo polo O' vale: R M F F F M O O × − + = × − + × − = × − = ∑ ∑ ∑ )' ( )' ( ) ( ) ( ' ' O O O O O P O P i i i i i i i i (3.6) • Dall' equazione (3.6) discendono i casi di invarian za del m omento di un sistem a di forze. Al variare del polo, il m omento non varia solo nei seguenti due casi: (a) la risultante R è nulla ; (b ) qualunque sia la risultante, se il polo viene spostato parallelam ente alla risultante stessa. • Possiam o infine enunciare il teorema di Varign on : il m omento di più forze che siano tutte applicate in un solo punto P è uguale al m omento della risultante R, applic ata in tale pun to. Inf atti: R F F M i i O × − = × − = × − = ∑ ∑ ) ( ) ( ) ( O P O P O P i i i (3.7) 07/10/ 200 9 7 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido Questo risu lta to im plica che la pr im a operazione invar iantiva (ovv ero la com posizion e o decom posizione dei sistem i di forze in un punto) non altera il mom ento ri sultante di un sistem a di forze applicato ad un punto. • L'espression e cartesiana del m omento consente di scrivere il vettore M O co me: k j i M O z y x M M M + + = (3.8) Definiam o c ome momento rispetto a d un asse la proiezione ortogonale, su quell' asse, del vettore mom ento calcolato rispetto a qualunque punto dell' asse, ottenuta attraverso il prodotto scalare del vettore m omento per il versore dell’asse stesso. Risulta pertanto che le com ponenti scalari del mom ento M x, M y, M z sono i m omenti, rispe tto agli assi cartesiani x, y, z , del sistem a di forze dato. Il mom ento rispetto ad u n asse a qualunque non dipende dalla scelta del polo O su ll'asse stesso. Inf atti, se O ed O' appartengono entram bi alla retta a, tenendo conto dell' equazione (3.6), si può scrive re: ( ) ( a O O a a M O O O a vers R M vers M vers M )• ×′ − + = • = • = ′ (3.9) Nell' equazione (3.9) risulta in fatti nullo il prodotto scal are del versore della retta a per il prodotto vettoriale del vettore ( O-O' ) con il v ettor e risultan te; il prodo tto vetto ria le f ornisce inf atti un v ettor e che è perpendicolare a OO' e quindi al versore di a. Nei problem i piani il m omento delle forze definito co me scalare coincide con il m omento rispe tto ad u n asse che s ia perp endicolare al pian o che con tiene le forze e p assante per il po lo ch e è stato assunto nel calcolo del m omento stesso. Il mom ento di un sistem a di forze rispetto ad un asse è nullo se la risu ltan te del sistem a di forze passa per l’asse o è ad esso complanare. 3.2. La seconda operazione invar iantiva e l' equivalenz a dei sistemi di forze Abbiam o osservato che lo scorrim ento di una forza lungo la sua linea d' azione non altera il mom ento della forza stes sa risp etto ad un polo qua lunque. Se lim itiam o la nostra atten zione ai corpi rigidi, possiam o osservare che lo stato di quiete o di m oto di un corpo rigido (attenzione: non il suo stato di sollecitazione interno) non viene alterato dallo scorrim ento di una forza lunga la sua linea d'azione. Possiam o perciò introdurre la: 2° operazione invarian tiva : lo stato di quiete o il m oto di un corpo rigido è invariante per scorrim ento di una forza lungo la sua linea d' azione. Com e per il punto m ateriale, diremo equivalen ti due sistem i di forze che producono gli stessi effetti m eccanic i se a pplica ti allo stesso c orpo rig ido . Viste le proprie tà d elle op era zioni invariantive, sono equivalenti due sistem i di fo rze che vengono ottenuti l' uno dall' altro attraverso sole operazioni invariantive. Trasform are in m odo equivalente un sistem a di forze in un altro 07/10/ 200 9 8 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido significa applicare al primo, una o pi ù volte, le operazioni invariantiv e. In questo caso i due sistemi di forze si dicono riduc ibil i l' uno all' altro, e la trasform azione , com posta di sole operazioni invariantive, si chiam a riduzione . Le operazioni invariantive non alterano né la risu ltante né il mom ento risulta nte di un sistem a di forze; pertanto l' uguaglianza di risultante R e m omento risultante M è una condizione necessaria per l'equivalenza. Per m ostrare che la condizione è anche sufficiente occo rre prem ettere alcune definizioni e proprietà dei sistem i di forze. • Definiam o con il term ine coppia l' insiem e di due forze parall ele, di pari m odulo F e verso opposto, com e indicato in Fig. 3.2. Si chiam a braccio b della coppia la dist anza tra le linee d'azione delle forze; poiché la risultante della coppia è nu lla il mom ento della coppia è invariante. Esso è un vettore perp endicolare al piano della coppia, di verso definito dalla regola della m ano destra e m odulo dato da: b F M ⋅ = (3.10) Si può dimostrare che tutte le coppie di uguale m omento sono equivalenti, anche se le forze agiscono in piani differenti. F - F M = F ·b b Fig. 3. 2 - Definizione di co ppia. • Per trasportare una forza occorre un m omento: sia F una forza applicata in un punto A e la si voglia trasportare in un altro punto O. Senza alterare lo stato di qui ete o di m oto del corpo si può aggiungere in O un sistem a di due forze pari rispettiv amente ad F e a -F, caratte rizzato dall' avere risultan te R e m omento risultante M entram bi pari a zero. L' insiem e della forza F applicata in A e della fo rza -F app licata in O costitu isce una coppia di mom ento M uguale al mom ento che la forza F originaria ha ri spetto al punto O. Fig. 3. 3 - Il tr asporto della forza richiede un momento. 07/10/ 200 9 9 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido • Com e conseguenza del punto prec edente è imm ediato constatare che qualunque sistem a di forz e è equivalente ad una forza più una coppia. Infatti, per ogni forza del sistem a può essere ripetuta l'operazione di tras porto in un punto O. Le forze, applicate tutte nel punto O, possono essere ridotte alla loro risultante R applicata in O. Il trasporto di ciascuna forza produce una coppia, che è il m omento che la forza nella posizion e originaria possedeva rispetto al punto O; le diverse coppie possono essere somm ate vettorial mente, dando luogo ad un' unica coppia, pari al mom ento risultante M del sistem a di forze. L' operazione di trasporto nel punto O e di com posizione di forze e mom enti prende il nom e di riduzione al punto O . Da quando detto risulta che la condizione per l' equivalenza di due sistem i di forze è anche sufficiente: infatti, s e d ue sistem i di forze hann o uguale ris ultan te R e uguale m omento risultante M O rispetto ad un particolare punto O essi, con sole operazioni inva riantive, sono riduc ibili a lla stessa forza R applica ta in O ed alla stessa coppia di m omento M O. Possiam o perciò enunciare il seguente teorem a: Condizione caratteris tica (ovvero necessar ia e suffi cien te) affin ché d ue sistemi di forze sia no equivalenti è che abbiano la stessa risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un pol o arbitrario O. Discende da quanto enunciato fin qui che l’operazione di riduzione al punto O di un sistem a di forze qualunque applicato ad un corpo rigido consente, senza alterare lo stato di equilibrio o di m oto del corpo, di sostituire il sistem a dato con un altro di uguale risultante ed uguale m omento (la forza R applicata in O e la coppia di m omento M O). 3.3. La riduzione ad un punto pe r i sistemi di forze nel piano. Poiché in questo corso ci occuperemo solo di stru tture piane caricate nel lo ro piano, verrà esam inato in dettaglio il problem a della ri duzione ad un punto solo per i sistem i di forze nel piano. Se la risultan te del sistem a di forze è nulla, il s istem a stesso è riducib ile ad una coppia, di m omento uguale a qu ello del sis tem a originario rispetto ad un punto qualunque; infa tti in questo caso il mom ento del sistem a è invariante rispetto al polo ass unto. Se viceversa il sistem a di forze ha risultante non nulla esiste sem pre un polo O risp etto a cui il m omento della r isultante è nullo; il sistem a di forze è equivalente alla sola risu ltante R applicata in O. Poiché però, per la seconda operazione invariantiva, la forza R può scorrere lungo la sua linea d’azione, in questo caso si può\ parlare di retta di applicazione della risultante. L a re tta di applicazione può sem pre essere trova ta: • Se il sistem a è co stituito da due forze F1 e F2 le cui linee d’azione convergono in un solo punto O, è possibile (seconda operazione invariantiva) fa re scorrere ciascuna delle due forze lungo la 07/10/ 200 9 10 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido sua linea d’azione in m odo da app licarle nel punto d’intersezione O (Fig. 3.4). Successivam ente (prim a operazion e in varian tiva) è possib ile com porre le forze con la regola del parallelogramma, determ inandone la risultante; essa è applicata in O, m a per la seconda operazione invariantiva, può essere liberam ente fatta scorrere lungo la sua linea d’azione. O F1 F2 R F1 F2 R Fig. 3.4 - Riduzione ad un punto per un sistema di due forze compl anari • Se il sis tem a è cos tituito da due f orze para lle le a risultante no n nulla, F 1 e F2, si può aggiungere ad esso un sistem a, a risultante e m omento risult ante nullo, di due forz e uguali, contrarie e con la stess a linea d’azione, com e illustrato in Figur a 3.5. Le due forze paralle le, somm ate al sistem a nullo, diventano convergenti, e può essere effettuata la stessa ope razione vista nel punto prece- dente. La risultante ha modulo pari alla somm a de i m oduli delle due forze. |R| = | F1| + | F2| O R - F + F R2 F2 R1 F1 Fig. 3.5 - Riduzione ad un punto per un sistema di due forze parallele. • Se il sis tema di f orze nel piano è c ostitu ito da più di due f orze, la risu ltan te e la s ua retta d i applicazione possono essere d eterm inate applicando su ccessiv amente le co struzioni o ra illus trate. Il punto di applicazione O della ris ultan te di un sistem a di forze parallele, chiam ato centro delle forze parallele, può essere trovato per via analitica sfruttando la propr ietà che il m omento risultante del sis tem a di forze risp etto ad O è zero: 07/10/ 200 9 11 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 0=O M 0 2 2 1 1 = ⋅ − ⋅ L F L F 1 2 2 1 F F L L = 1 2 F R L L = (3.11) essendo: 2 1 L L L + = 2 1 F F R + = R = F1 + F2 F1 F2 O B A L1 L 2 Fig. 3.6 - Determinazione analitica del centro di due forze parallele. L’ultim a eguaglianza della (3.11), che discende direttam ente dalle proprietà delle proporzioni, può anche essere ottenuta os servando che la risultante R applicata in O è equiv alente a l sistem a di forze di partenza. I due sistemi di fo rze perciò hanno, oltre che uguale risultante, anche uguale m omento risultante rispetto a qualunque punto del piano. Se si calcola il m omento dei due sistem i di forz e rispetto, ad esem pio, al punto A,si ottiene la stessa condizione o ttenuta nella (3.11), che consente il calco lo immediato d ella distan za L2: 2 1 L R L F M A ⋅ = ⋅ = Il punto di applicazione delle forze peso, che s ono un particolare sistem a di forze parallele, prende il nom e di baric entro : qu esto significa che il s istem a di forze peso è equ ivalen te al peso tota le de l co rpo consid erato app lica to nel ba ric entro. La posizione del baricentro - com e del centro di qualunque sistem a di forze para llele - non varia per rotazione dell e forze peso, cioè per rotazione nello spazio del corpo che si sta considerando. La posizione del baricentro non dipende neanche dal valore d ell’accelerazione di grav ità, e perciò esso può essere p iù correttamente defin ito com e centro di massa inv ece che centro delle forze peso. 3.4. Le equazioni cardinali de lla statica del corpo rigido. Direm o che un sistem a di forze è in equilibrio su un corpo rigido libero qua ndo la sua applicazione o rim ozione sul corpo non ne alte ra lo stato di quiete o di m oto, e ciò indipendentem ente da qualunque altro sistem a di forze agenti sul corpo. Valgono a pr oposito i seguenti Postulati della Statica del Corpo Rigido Libero : Postulato I : se su di un corpo rigido liber o in quiete non agisce nessuna forza esterna , il cor po persevera nel suo stato di quiete. 07/10/ 200 9 12 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido Postulato II : se ag isce u na sola forza esterna , il corpo non persevera nel suo stato di quiete. Postulato III : se ag iscon o due forze estern e il co rpo persev era nel suo stato di quiete se e solo se le due forze sono uguali e contrarie e con la stessa linea d’azione. Pertanto, se un corpo rigido liber o è inizia lm ente in quie te: Condizioni necessarie e sufficient i per l’equilib rio – o vvero per il permanere nella condizion e di quiete - di un corpo rigido libero consistono nell’annullarsi della risultante e del momento risultante d el sistema di forze esterne applicato al corpo. 0 M 0 R = = O (3.12) La condizione è sufficiente: infatti se le (3.12) sono soddisfatte il sistem a di forze esterne è equivalente al sis tem a nullo e l’equ ilibrio sussiste per il Postulato I. La condizione è necessaria: se infa tti la risultante fosse nulla m a il m omento risultante fosse diverso da zero il sistem a sarebbe equivalente ad una c oppia e l’equilibrio non su ssisterebbe più per il postula to I II; nel caso di risu ltan te d iversa da zero il s istem a potre bbe essere equivalente o ad una forza o ad una forza più una coppia, ed entram bi i casi non sarebbero più di equilibrio per i postulati II e III. Le equazioni (3.12) vengono chiam ate equaz ioni cardina li della Statica per i corpi rigidi; per i corpi d eform abili, cioè non rigid i, sono so lo condizion i necessarie. Vale infatti il postu lato dei vincoli addizionali: Se un corpo è in equilibrio so tto l’a zione d i un sistema d i forze esterne , lo s tato di equi libr io non viene turbato dall’applicazione di vincoli addizionali. Se com e particolare vincolo addi zionale si considera il vincolo dell’ir rigidimento – cioè la conservazione delle m utue distanze tra i punti del corpo – si ha che se il corpo deform abile era in equilibrio, tale resterà anche se ad esso verrà applicato il vincolo dell ’irrigidim ento, e quindi per esso varranno le equazioni cardina li della statica. La condizione (3.12) è quindi necessaria: se il corpo è in equilib rio le (3.12) sono soddisfatte. L a condizione non è però in questo cas o sufficiente, cioè il soddisfacim ento delle e quazioni cardinali della statica non è sufficiente a garantire che il corpo non rigido sia in equilib rio. 07/10/ 200 9 13 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 4. Le equazioni di equilibr io per i corpi vincolati I corpi, rigidi o defor mabili, possono essere liberi o vinco lati. Un corpo o un sistem a di corpi (ad esem pio di punti m ateriali) si dice libero, in una certa posizione, quando può passare da questa a tutte le altre posizioni v icine geom etricam ente p ossibili; è in vece vin colato, in un a certa pos izion e, quando per effetto di alcuni legam i o vincoli geom etrici non può passare da questa posizione a tutte le altre vicine. I vincoli possono essere esterni , quando limitano i m ovim enti del corpo rispetto ad altri punti esterni al co rpo stesso; sono invece interni quando lim itano gli spostam enti di un generico punto rispetto agli altr i punti appartenenti al sistem a stesso, e sono dovuti ai punti del sistem a stesso. I vincoli inte rni sono quindi in ogni caso mutui. L'esperienza ci porta ad ammettere il seguente postulato delle reazioni vin colari : Senza alterare la quiete o il moto di un corpo o di un sistem a di corpi (i n particolare di un punto materiale) si possono sopprimere alcuni o tutti i vincoli che agiscono sul corpo e sostituirli con opportune forze, dette re azioni vincolari. Ogni corpo o punto m ateriale vinc olato può essere sem pre consider ato com e libero, purché gli si applich ino tutte le reazioni vincolari; le azion i es ercitate d ai vinco li s ono pertan to class ificabili com e forze. Tuttavia, denoterem o con il nom e di forze attive le forze "ord inarie" applicate sui corpi, distingu end ole co sì d alle forze rea ttive ese rcita te da i v inco li. Ne i prob lem i pratici le f orze attive sono usualm ente note, e non cos tituiscono un a lim itazion e alla m obilità d el pun to del co rpo cui sono applicate; viceversa le forze reattive, app licate in punti che non ha nno piena possibilità di movi mento, sono in generale incogn ite e dipend ono non solo dalle forze attiv e applicate m a anche dalla geom etria del corpo e dei vi ncoli stessi. N egli esem pi tratta ti in questo cors o i vincoli im pon- gono delle condizion i in term ini finiti ag li spo stam enti del punto del corpo cui so no applicati: l o spostam ento è nullo o pari ad un valore assegna to. I vincoli che godono di questa proprietà vengono detti olonomi e per essi il postulato delle reazioni vincolari può esse re esteso nel seguente m odo: La reazione vincolare applicata in un punto ha direzione e verso oppos to allo spostamento proibito di quel punto. Le reazioni vincolari dei vi ncoli interni soddisfano il prin cipio di azione e reazione: Se una certa reazione vincolare è es ercitata su A per effetto di un vincolo che lo lega a B, su B agisce una reazione vincolare dovuta ad A, uguale e c ontraria alla reazione considerata per prima e con la stessa linea d'azione. 07/10/ 200 9 14 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 4.1 Condizione per la quiete di un pu nto materiale vincola to Possiam o or a trovare le condizioni che assicurano che un punto m ateriale vinc olato, in quiete in un certo istante, rim anga in quiete. Poiché il punto m ateriale si può ritenere libero qualora si sostituiscano ai vincoli le loro reazioni, se il punto rim ane in qu iete, deve essere in equilibrio il sistem a delle f orze attiv e e delle re azioni vinco lari. Viceve rsa, se quest' ultim o siste ma è sem pre in equilibrio e il punto in un certo istante è in quiete, esso rim ane , per definizione di sistem a in equilibrio, sem pre in quiete. Pertanto: Condizione necessar ia e sufficien te affin ché un punt o mater iale sia in quiete è ch e si annulli la somma fra la risu ltan te delle for ze attive R(a) e la risu ltante R(r) delle forze re attive, c ioè la risultante to tale de lle for ze attive e re attive. Ma tematicam ente: R(a) + R (r) = 0 (4.1) Poiché un punto m ateriale vincol ato si può considerare libero qua ndo si sostituiscano ai vincoli le loro reazioni, dalla definizione ora data si deduce che l' applicazione o la rim ozione su un punto materiale vincolato di u n sistem a di forze in equilib rio (aven te risultante nulla) non ne altera lo stato di quiete o di m oto. L’ equazione vetto riale (4. 1) corrispon de a tre equ azioni scalari, ottenute per proiezione sugli assi x, y, z di un sistem a cartesiano ortogonale: 0 ) ( )(, )(, = + Σ rxi axi i F F (4.1a) 0 ) ( )(, )(, = + Σ ryi ayi i F F (4.1b) 0 ) ( )(, )(, = + Σ rzi azi i F F (4.1c) Nelle equazioni (4.1a,b,c) le com ponenti dell a risultante sui tre assi vengono determ inate attraverso la somma delle com pone nti delle singole forze, estesa a tutte le forze che agiscono sul punto. La condizione di risultante nulla può essere determ inata an che graficam ente, m ediante la costruzione del poligo no delle forze. Dalla figura 2.2d è infatti imm ediato osservare che la condizione di risultante nulla coincide con la condizione di poligono delle forze chiuso. Si può infine osservare che le condizioni (4.1a,b,c ) sono in num ero pari alle tre coordinate indipendenti che definiscono la posi zione del punto nello spazio e alle tre possibilità di m ovi mento indipendenti che un punto m ateriale libero possied e nello spazio: uno sposta mento di direzione, verso e m odulo qualunque, di com ponenti indipendent i tra loro lungo i tre assi. I tre param etri che occorre specificare per definire la posizione o il moto del punt o nello spazio prendono il nom e di gradi di libertà . Il num ero di com ponenti di reazione in cognite che possono essere determ inate con le equazion i di equilib rio (4.1) è quindi pari al num ero dei gradi di libertà posseduti dal pu nto materiale in esam e. 07/10/ 200 9 15 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 4.2 Condizione per la quiete di un co rpo rigido vincolato Analogam ente a quanto visto per il punto m ateriale, le equazioni cardinali della statica possono essere estese al caso del corpo ri gido vincolato, a condizi one di includere nel si stem a di forze sia le forze attive sia quelle reat tive, cioè le reazioni tr asm esse dai vincoli stessi: 0 M M 0 R R = + = + )( )( )( )( rO aO r a (4.2) Com e nel caso del punto m aterial e le equazioni (4.2), scritte in for ma vett oriale, corrispondono a sei equazioni in for ma scalare che esprimono rispettiva mente l’annullarsi delle com pone nti, rispetto a tre assi di un sistem a cartesiano ortogonale x, y, z, della risu lta nte e de l m omento risultante: 0 ) ( )(, )(, = + Σ rxi axi i F F (4.2a) 0 ) ( )(, )(, = + Σ ryi ayi i F F (4.2b) 0 ) ( )(, )(, = + Σ rzi azi i F F (4.2c) 0 ) ( )(, )(, = + Σ rxi axi i M M (4.2d) 0 ) ( )(, )(, = + Σ ryi ayi i M M (4.2e) 0 ) ( )(, )(, = + Σ rzi azi i M M (4.2f) Analogam ente al caso del punto m ateriale: • le com ponenti della risultante ve ngono determ inate attraverso la somm a delle com ponenti delle singole forze, estesa a tutte le forze che agiscono sul corpo; • le com ponenti del m omento risultante (non de finito nel caso del pu nto m ateriale) vengono ottenute sommando i contributi delle singole forze e di eventuali coppie, estendendo la sommatoria a tutte le forze e le coppie agenti sul corpo; • le sei equazioni corrispondono: (a ) alle sei possibilità indipende nti di movi mento di un corpo rigido nello spazio, descritte da tre com ponenti di traslazione e tre com ponenti di rotazione; (b) ai sei param etri indip endenti ch e occorre sp ecificar e per definire posizione e orientazione di un corpo rigido nello spazio , quali ad esem pio la posizione di un punto fissato all’interno del corpo e l’orientazione di un sistem a di riferim ento so lidale al corpo rispetto a un riferimento fisso. Analogam ente al caso del punto m ateriale, ques ti sei param etri indipe ndenti prendono il nome di gradi di libertà del corpo rigido nello spazio. 07/10/ 200 9 16 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido 4.2.1 Le forme alternative delle equa zion i cardinali della statica nel caso piano Nel caso di strutture piane caricate nel loro piano (qui supposto coin cidente con il piano x, y ) si può osservare che sono identicam ente nulle le com pone nti delle forze attive e reattive in direzione z, nonché i m omenti rispetto agli assi x ed y. Le equazion i cardin ali d ella S tatica nel caso piano diventano quindi: ( ) 0 )( )( = + ∑ rx ax F F (4.3a) ( ) 0 )( )( = + ∑ ry ay F F (4.3b) ( ) 0 )( = + ∑ rO aO M M (4.3c) Le equazioni (4.3a) e (4.3b) im pongono l' annullarsi de lla risultante delle fo rze attive e reattive lungo due direzioni x e y m utua mente ortogonali; l' equazione (4.3c) im pone l' annullarsi del mom ento risultan te delle forze atti ve e reattive rispetto all’as se z, cioè ad un arbitrario punto O del piano. L' arbitrarietà del punto O è c onseguenza del fatto che un sist ema di forze avente risu lta nte nullo è m omento - invariante al variare del polo u tilizza to. Nel calco lo delle reaz ioni vincolari dei sistem i piani risultano talora di più com odo impiego due for me a lternative di queste equazioni. Nella prim a for ma si adottano due eq uazioni d i equilib rio alla rotazione rispetto a due punti O1 e O2 del piano e una equazione di equilib rio a lla tras lazione l ungo un' arbitraria direzione t: ( ) 0 )( )( = + ∑ rt at F F (4.4a) ( ) 0 )( )( 1 1 = + ∑ rO aO M M (4.4b) ( ) 0 )( )( 2 2 = + ∑ rO aO M M (4.4c) Nella seconda for ma alternativa vengono scritte tre e quazioni di equilibrio a lla rotazione rispetto a tre distinti punti del piano O1, O2 e O3 : ( ) 0 )( )( 1 1 = + ∑ rO aO M M (4.5a) ( ) 0 )( )( 2 2 = + ∑ rO aO M M (4.5b) ( ) 0 )( )( 3 3 = + ∑ rO aO M M (4.5c) Le due form e alternative delle equazioni cardinal i, che in taluni casi possono consentire la scrittura di un sistem a di equazi oni di più agevole soluzione, devono però essere adottate con cautela. La prim a for ma (equazioni (4.4a,b,c )) cade in difetto se la direzione t è perpendicolare alla congiungente O1O2. Infatti, l' annullarsi del m omento rispetto ai due punti O1 e O2 im pone che la 07/10/ 200 9 17 Sci enza del le Costruzi oni M.G. Mulas Statica del punto materiale e del corpo rigido risultante del sistem a di forze agente sull a struttura sia diretta com e la congiungente O1O2; tale risultante possiede una com ponente nulla in direzione t se quest’u ltim a è perp endicolare a O1O2. In tal caso il sistem a di forze estern e soddisferebbe le condizioni (4.4) pur senza posse dere risultante nulla. Un problem a analogo presenta la seconda for ma alternativa, se i tre punti O 1, O 2 e O 3 sono allineati lungo una m ede sim a retta. 4.3 L’utilizzo delle condizioni di equili brio nel calcolo dell e reazioni vincolari Si consideri un punto m ateriale o un corpo rigido vi ncolato in m aniera tale da essere privo di possibilità d i m ovi mento. Esso è in grado di stare in quiete - ovvero in eq uilib rio - so tto qualunque set di carich i esterni; questa osservazione è alla base del pos tula to che stabilisce che i vincoli son o in grado di im pedire gli spostam enti perché tras mettono alla struttura cui sono applicati le forze, dette reazioni vincolari , a priori incognite, m a tali da garantirne il perm anere in uno stato di quiete. Indich iam o ora con il term ine grado di vincolo il num ero di componenti indipendenti di spostam ento/rotazione che un vincol o è in g rad o di elim inare. Con riferim ento alle equazioni di equilibrio in for ma scalare (4.1) e (4.2) il postulato delle reaz ioni vinco lari può essere ulteriorm ente specificato nel m odo seguente: Le componenti indipendenti di reazione vincolar e trasmesse da un vincolo sono in numero pari ai gradi di vincolo che il vincolo fornisce alla struttura e dirett e come le componenti di spostamento impedite dal vincolo stesso. Com e già osservato, le equazioni di equilibrio a disposizione, si a per il punto m ateriale sia per il corpo rigido, sono in num ero pari ai gradi di libertà ( gdl ) posseduti. D’altro canto, le com ponenti indipendenti di reazione vincol are incognite sono in num ero pa ri ai gradi di vincolo ( gdv ) im posti dai vincoli posseduti dal punto m ateriale/corpo rigido. Quando le equa zioni di equilibrio del punto materiale e/o del corpo rigido ve ngono utilizzate per ricavare le co mponenti di reazione vincolare incognite, le equazioni (4.1) e (4.2) diventano un sistema lineare di e quazioni nelle reazioni incognite. S e il problema è ben posto (vedrem o nel seguito le condizioni perché ciò si verifichi) il sistem a possiede 1 sola s oluzione nel cas o in cui il num ero di gradi di libertà gdl = gdv , num ero di gradi di vincolo. Parliamo in questo caso di pr oblem a staticam ente determ inato. Se il num ero dei gdl è m aggiore del num ero dei gdv , non è garantito che il sistem a amm etta soluzione. Se infine il num ero dei gdl è inferiore al num ero dei gdv , detta n la differenza gdv-gdl il p roblem a amm ette inf inite alla n soluzioni, e viene detto staticam ente inde term inato: le condizi oni di equilibrio non sono sufficienti a determ inare le reazioni vincolari. 07/10/ 200 9 18