Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2013 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento diAnalisi Matematica I -prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova parziale del 26/11/2013 (tempo: 3h) 1. Provare per induzione che la proposizione9n ∑ k=1k ( 4k −2k) = (3n−1) 4n +1 −9 (n−1) 2n +1 −14 e vera per ognin≥1. 2. Provare che in un campo ordinato l'equazionex3 = 1 non puo avere soluzionix >1. (Speci care tutte le proprieta dei campi ordinati utilizzate nei passaggi.) 3. Siaz= 1−i√ 3. Calcolare:Re( 1 +z2 ) ; arg( z37 ) ; z2 − z2 ;4 √ z8 4. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessiA={ z∈C: z + 1 z+i ≥ 1} ; B={ ∈C:=√ z; z∈A} 5. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di5 √ |x| −32 ;| x−1| |x| −1; arcsin (3 |x| −1) 6. SianoD⊂Ref:D⊂R−→R,g:D−→Rdue funzioni tali che∀x∈D f(x)< g(x). Provare cheinfDf ≤inf Dg e dare un esempio in cui vale il segno di uguaglianza. 7. Provare che la funzioneg(x) = arccos( 1 x+ 2) e invertibile nell'intorno dix= 1. Calcolare poi l'inversa e disegnarne il gra co nel suo dominio massimale. 8. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limitelim x→1+ln x ln2 x−1 9. Calcolarelim x→0+√ xesin(1 =x) ; lim x→+∞3 √ ex + e2 x 2x essendoun parametro reale positivo. 1 10.Determinare il dominio, eventuali punti di discontinuita ed eventuali asintoti della funzione h(x) =sin ( x) |x−1|ln (ex +3 −e) 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione f(x) =3 √ 1 +x3 −e− x 12. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva (n= 0;1;2; :::) an+1=2 1 +a n al variare dia 0= x∈(−∞;−3)∪(−1;+∞). 2 Seconda prova parziale del 12/2/2014 (tempo: 3h) 1. Siaf(x) =√ 3−lnx. Calcolaref′ (x) usando la de nizione di derivata. 2. Calcolare il seguente limite:lim x→=2( tanx 2) x=cos(5x) 3. Determinare estremi locali ed assoluti in [−2;2] della funzione f(x) = (|x| −1) ex −x2 4. Determinare il punto del gra co della funzionef(x) = ex (x∈R) nel quale la curvatura e massima. 5. Di una funzioneg(x) si sa che lim x→0g (x) + 2x3 +x−3 x3= 0 Disegnare il gra co dig(x) nell'intorno dix= 0. [Nel giusti care il procedimento adottato, si precisino in particolare le ipotesi di regolarita assunte sug(x).] 6. Calcolare l'integrale∫ e5 x √ e4 x + e6 xd x 7. Calcolare l'area della regione piana compresa fra la rettay= 1−xe la curva logaritmicay= lnx per 1=2≤x≤2. 8. Studiare la convergenza dell'integrale improprio∫+∞ 0( lnx x−1) 2 dx 9. Studiare la funzione integrale (x) =∫ x 13 √ 1 t− et dt e disegnarne il gra co. 10. Siaa n> 0. Provare che, se la serie∑ anconverge, allora converge anche la serie∑ √ an n. Mostrare con un controesempio che la proposizione inversa e falsa. 11. Determinare gli intervalli di convergenza assoluta e semplice della seguente serie di potenze:∑nn n!x n 12. Calcolare per serie con un errore minore di 10− 4 l'integrale ∫1=2 01 1 +x5d x 3 Appello del 27/2/2014 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Sianop; q; rtre proposizioni. (a) Disegnare il circuito equivalente alla proposizionesseguente: p=⇒(q=⇒r) (b) Stabilire per quali valori di verita dip; q; rla proposizionesrisulta vera. 2. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi:A={ z∈C:I m( z2 − z) ≥0} ; B={ ∈C:=√ 1 + 2z; z∈A} 3. Sianof(x) =x− |x|(−∞< x