Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 1 settembre 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Dimostrare che una curva regolare e retti cabile. Domanda 2 Enunciare il teorema delle contrazioni. Domanda 3Enunciare il teorema di esistenza e unicita in grande per un problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 1 settembre 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo per la funzionef(x; y) =3 pxy vincolati all'insiemeM=f(x; y)2R2 ; x2 +y2 = 1 +xyg Esercizio 2 . Sia A=0 @0 2 1 0 0 2 0 0 01 A: 1. Si calcolieAt . 2. Si risolva il sistemay0 =Aycon dato inizialey(1) = (0;1;0). 3. L'origine e un punto stabile? Asintoticamente stabile? Instabile? Esercizio 3 . Si consideri il sistema (x0 =x2 siny y0 = 2xcosy : 1. Si determinino i punti di equilibrio. 2. Si determini la stabilita dei punti di equilibrio. 3. Si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi. Esercizio 4 . Calcolare l'area di  =f(x; y; z)2R3 ; z=x2 +y2 ; z1g: