Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 06 settembre 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Domanda 1. SiaAR3 un insieme aperto eF:A!R3 un campo vettorialeC1 . (a) De nire il potenziale scalare. (b) Scrivere una condizionenecessariaper l'esistenza del potenziale scalare. Domanda 2 De nire una super cie regolare inR3 . Domanda 3Data una curvar: [a; b]!R3 , de nire l'ascissa curvilinea. Analisi Matematica II - 06 settembre 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. 1. Si trovino i punti stazionari della funzionef(x; y) =xy vincolata alla regioneA=f(x; y)2R2 : arctan(x2 +y2 2) = 2x+yg: Soluzione.L(x; y; ) =xy+(arctan(x2 +y2 2)2 +xy); Lx( x; y; ) = 1 +2 x1 + ( x2 +y2 2)2+  Ly( x; y; ) =1 +2 y1 + ( x2 +y2 2)2  ; DaL x( x; y; ) = 0 si ottiene 1 +=2 x1+( x2 +y2 2)2 , mentre da L y( x; y; ) = 0 si ottiene 1 +=2 y1+( x2 +y2 2)2 , quindi x=y. Inserendox=ynell'equazioneL ( x; y; ) = 0 si ottiene arctan(2y2 2) = 2 + 2yche ha come unica soluzioney=1 (si confronti il gra co dig 1( y) = arctan(2y2 2) con il gra co dig 2( y) = 2 + 2y). Quindi l'unico punto stazionario e (1;1). 2. Determinare la stabilita dell'origine per il sistema di equazioni dierenziali (x0 =52 x2 + 2y2 y0 =x+y2 : Soluzione.Poichex0 >0 in qualsiasi punto dello spazio delle fasi, tranne l'origine, tutte le traiettorie del sistema (tranne il punto di equilibrio) si muovono da sinistra a destra, quindi l'origine non puo essere un punto stabile. Il sistema linearizzato e stabile, piu precisamente entrambi gli autovalori sono nulli, quindi la linearizzazione non ci permette di ottenere una risposta. 3. Si calcoli l'area della regione di piano contenuta tra la curva di equazione r(t) = (tsint;1cost); t2[0;2] e l'asse dellex. Soluzione.Usando la formula di Gauss-Green A=Z dx dy =Z x dy =Z 2 0( tsint) sint dt= 3 :