Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 11 settembre 2017 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Gauss-Green nel caso di dominio semplice. Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa per una funzionef:Rn !Rn . Domanda 3Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II - 11 settembre 2017 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. SiaDil quadrato di verticif(1;1);(1;3);(3;1);(1;1)g. Calcolare Z D( x+y)(x2 y2 )4 dx dy : Soluzione.Con un cambio di variabiliu=yxev=y+xl'integrale diventa 12 Z 4 0Z 2 2v 5 u4 du dv=Z 4 0v 5 dvZ 2 2u 4 du=6553615 : Esercizio 2 . Determinare in quali puntif(x; y)2R2 gla funzione f(x; y) = log(1 +jsinxyj) e derivabile e in quali punti e dierenziabile. Soluzione.Basta studiare la derivabilita e la dierenziabilita dig(x; y) =jsinxyj. Chiara- menteg(x; y) e dierenziabile sexy6 =k. Poiche e nulla sugli assi cartesiani, ammette derivate parziali in (0;0). Si veri ca con la de nizione che e anche dierenziabile nell'origine, mentre nei puntixy=kdiversi dall'origine le derivate parziali non esistono. Esercizio 3 . Studiare punti stazionari, orbite periodiche, orbite omo/eterocline per l'equazione x00 =1x 41x 3; e si traccino alcune orbite sul piano delle fasi. Soluzione.Si tratta di un'equazione di Newton con potenzialeU(x) =13 x3 12 x2 , quindi le orbite del sistema si trovano sulle curve di livello diE(x; y) =y 22 + U(x). Il potenziale ha un minimo inx= 1, che corrisponde a una soluzione di equilibrio stabile. Intorno a tale soluzione ci sono soluzioni periodiche. Poiche limx!0+ U(x) = +1e lim x!0 U(x) =1e non ci sono punti di massimo, non esistono orbite omo/eterocline.