Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 13 febbraio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. De nire un punto interno, esterno, di frontiera di un sottoinsieme diRn (2 punti). De nire un insieme compatto (2 punti). Domanda 2Siaf:Rn !Re siaC( Rn un insieme chiuso. De nire un punto di massimo per fvincolato aC(2 punti). Domanda 3Enunciare il teorema di scambio di limite di successione e derivata per una succes- sione di funzioni. Analisi Matematica II - 13 febbraio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Si consideri 1 X n=0e nx : Si determini l'insieme di convergenza puntuale, la somma della serie e su quali intervalli la convergenza e uniforme. Esercizio 2 . Calcolare Z A2 x+y dx dy ; doveAe la regione compresa tra le circonferenzex2 +y2 = 1 ex2 +y2 = 9 e le rettey=xe y=p3 2 x (nel semipianoy0). Esercizio 3 . Si disegni il gra co di alcune soluzioni di y0 =y(3y)ecos( x+y) ; discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di de nizione, punti di massimo/minimo, asintoti...) Esercizio 4 . Si determini l'intervallo massimale di esistenza della soluzione di (y0 =2 t1+cos y; y(0) = 0; e se ne tracci il gra co.