Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Primo appello di Analisi Matematica 2 14 luglio 2010 1. (Analisi 2 o B) Data la funzionef(x; y) = sin(xy)cos(xy) (a) Calcolare lo sviluppo di Taylor dif(x; y) al secondo ordine in (0;0) (b) Calcolare il piano tangente al gra co dif(x; y) in (0;0). (c) Determinare se in un intorno di (0;0) il piano tangente e sotto o sopra al gra co. 2. (Analisi 2 o C) Si consideri il problema di Cauchyy0 = (1xey )(y3 y) y(0) =a nel semipianot >0. (a) Si applica il teorema di esistenza e unicita in piccolo? In grande? (b) Esistono valori diatali che la soluzione ammette un asintoto verticale? Orizzontale? (c) Siaa= 2. Il limite pert!+1della soluzione e nito o in nito? (d) Tracciare il gra co di alcune soluzioni. 3. (Analisi B) De nire la convergenza uniforme e totale di una serie di funzioni. Dire diquali proprieta gode una serie di funzioni che converge uniformemente. 4. (Analisi C) Data una matrice quadrataA, de nire la matrice esponenzialeeA .