Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 15 luglio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. SiaAR2 un insieme aperto e siaf:A!Rderivabile due volte, con derivate continue. (a) Dare la de nizione di punto di massimo libero locale per la funzionef(1 punto). (b) Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat (2 punti). (c) Enunciare una condizione suciente anche un punto stazionario sia di minimo locale (2punti). Domanda 2Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) il lemma di Gronwall (in forma dieren- ziale oppure integrale). Analisi Matematica II - 15 luglio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Dato il campo vettoriale F(x; y; z) = y2 z2 ; xyz;log(z2 )
; determinare se e irrotazionale, conservativo. Calcolare la circuitazione lungo la circonferenza f(x; y; z) :x2 +y2 = 1; z= 1=2g Soluzione.Poiche rotF= xy;2zy2 ; yz2yz2
; il campo non e irrotazionale, quindi neppure conservativo. Tuttavia, nel pianoz= 1=2 (che e un insieme semplicemente connesso) la terza componente del rotore e nulla, ossia @ F2@ x @ F 1@ y = 0 ; quindi la restrizione del campo vettoriale al pianoz= 1=2 e un campo conservativo, quindi la circuitazione e nulla. Esercizio 2 . Data la funzione f(x; y) =xy+ logx2 +exy ; studiare la funzione de nita implicitamente dall'equazionef(x; y) = 0. In particolare: deter- minare l'insieme di de nizione e i limiti agli estremi dell'insieme di de nizione. Determinare eventuali punti estremanti senza calcolare la derivata della funzione de nita implicitamente. Soluzione.Il dominio difef(x; y)2R2 ; x6 = 0ge la funzione eC1 . Poichef(x; y) = f(x;y), la funzione de nita implicitamente e dispari, quindi studiamo solo il casox >0. Per x6 = 0 abbiamo@ f@ y = x(exy + 1), quindi la derivata e positiva nel semipianox >0. Per ogni x >0 lim y!1f (x; y) =1; quindi il luogo degli zeri dife il gra co di una funzione y: (0;+1)!R: Pery0 lim x!+1f (x; y) = +1; mentre pery 0, quindi 0< x < ec oppure ec < x