Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 15 Luglio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat inRn ,n2. Domanda 2 Siaf:R3 !Runa funzione dierenziabile e sia una curva inR3 parametrizzata dar: [a; b]!R3 . 1. De nireR f ds . 2. Mostrare che l'integrale non dipende dalla parametrizzazione. Domanda 3Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II - 15 Luglio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Ricordando che cost= 1t2 =2 +t4 =24 +o(t5 ), si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0;0) al quarto ordine di f(x; y) = cos(ex y2 1) e si calcoli l'equazione del piano tangente in (0;0;1). Esercizio 2 . Si consideri il problema di Cauchy (y0 (t) = tanhy1t 2 y(1) =a : 1. Per quali valori diail problema ha una e una sola soluzione? 2. Per quali valori dial'intervallo massimale si esistenza e (0;+1)? 3. Esistono valori diaper i quali la soluzione del problema ha asintoti orizzontali? Verticali? Obliqui? 4. Tracciare un gra co qualitativo della soluzione per qualche valore dia. Esercizio 3 . Sia  la super cie parametrizzata da (u; v) = (v3; uv2 ; u3 3v); u; v2(1;2): 1. La super cie e semplice (giusti care la risposta)? 2. In quali punti del dominio la super cie e regolare? 3. Determinare il vettore normale alla super cie nel generico punto(u; v). 4. Determinare l'equazione del piano tangente alla super cie nel puntoP= (3;0;0). Esercizio 4 . Si determini l'integrale generale di y0 =y cosxsinx2 sinx: