Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 18 settembre 2014 Cognome:Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema di Stokes. Domanda 2. Si consideri una funzionef:R2 !R. 1. De nire il dierenziale in un punto. 2. Dimostrare che, sefe dierenziabile in un punto, allora e continua nello stesso punto. Domanda 3. Sia dato un sistema di equazioni dierenziali lineari autonomoy0 =f(y) tale che f2C1 (RN ) andf(0) = 0. 1. De nire la stabilita asintotica secondo Liapunov dell'origine. 2. Enunciare una condizione suciente per avere tale stabilita. Esercizio 1. 1. Determinare una parametrizzazione regolare del ramo dell'iperbolexy= 1 contenuta nel quadrato 0x2, 0y2. 2. Calcolarne la lunghezza (senza risolvere l'integrale). 3. Determinarne il versore tangente e normale. Esercizio 2. Trovare l'integrale generale del sistema 8 > < > :x 0 =x+ 2y+ 3z y0 =x+y+ 2z z0 =xy2z : Esercizio 3. Calcolare il usso uscente dalla regione A=f(x; y; z)2R3 ; x >1;(x1)2 +y2 +z2