Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 19 febbraio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema di Stokes, precisando accuratamente tutte le ipotesi neces- sarie anche gli integrali abbiano senso. Domanda 2Si consideri una successione di funzioni derivabilif n: ( a; b)!R,n= 0;1;2; : : : Quale condizione garantisce l'esistenza dif(x) = lim nf n( x) conffunzione derivabile? Domanda 3Siay0 =f(y) un sistema diNequazioni dierenziali autonome e siaf(0) = 0. Si de nisca una funzione di Liapunov per il puntoy= 0. Analisi Matematica II - 19 febbraio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Esercizio 1 . 1. Determinare una parametrizzazione regolare del gra co della funzionef: [1;2]!R, de nita daf(x) =x+ log(x). 2. Scrivere l'espressione per calcolarne la lunghezza. 3. Determinarne il versore tangente e normale. 4. Determinarne la curvatura. Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0; ) con resto di Peano al quarto ordine di f(x; y) = log(1x2 cos(y)): Dedurre dallo sviluppo di Taylor il piano tangente al gra co della funzione nel punto (0; ;0) Esercizio 3 . Sia dato il sistema lineare (x0 = (k+ 1)x+y y0 =kx+y; dovek2R. 1. Determinare la stabilita dell'origine al variare del parametrok. 2. Nel casok= 4 trovare la matrice esponenziale associata al sistema OPPURE trovare l'integrale generale del sistema. Esercizio 4 . Sia dato il problema di Cauchy nel semipianox >0 (y0 =2 xsinx2 eyxe y y(1) = 0: 1. Sono veri cate le ipotesi del teorema di esistenza e unicita locale? Globale? 2. Trovare la soluzione.