Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 19 luglio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Siaf:R2 !R. Enunciare una condizione suciente anche il luogo degli zeri dif, ossia l'insieme dei punti (x; y) tali chef(x; y) = 0, coincida con il gra co di una funzione ':R!R(teorema della funzione implicita globale, 2 punti). Domanda 2SiaAR2 un insieme aperto ef:A!R. Cosa signi ca chef2C1 (A) e cosa signi ca chefe dierenziabile inA(1+1 punti). Dimostrare chef2C1 (A) implicaf dierenziabile inA(2 punti). Domanda 3SiaARn un insieme aperto ef:A!Rn una funzione di classeC1 . Si consideri il sistema autonomoy0 =f(y). Si de nisca una funzione di Liapunov per il sistema (2 punti). Analisi Matematica II - 19 luglio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Siaa >0 e si considerino le funzioni f(x; y) =x2 +y2 ; g(x; y) =xa +ya 1: Si determinino i punti di massimo e di minimo della funzionef(x; y) vincolata all'insieme f(x; y)2R2 :g(x; y) = 0g (6 punti). Esercizio 2 (6 punti). Si calcoli Z x 3 ez d dove  e la porzione di super cie del cilindro di equazionex2 +y2 = 1, delimitata dai pianiz= 0 ez= 1, contenuta nel semispaziox0. Esercizio 3 . Si determini l'integrale generale del sistema (6 punti). (x0 = 2x+y+ 1 y0 =x+ 2y : Esercizio 4 . Si studi il problema di Cauchy (y0 =1t +1+1y y(0) = 1 nel semipianot0. In particolare: 1. Valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo/in grande? (1 punto) 2. Si determinino le regioni dove la soluzione e crescente/decrescente (1 punto). 3. Si determinino le regioni dove la soluzione e concava/convessa (1 punto). 4. Si determini l'intervallo massimale di de nizione delle soluzioni (1 punto). 5. Esistono asintoti verticali o orizzontali? (1 punto) 6. Si tracci il gra co approssimato della soluzione (2 punti).