Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 23 novembre 2015 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Domanda 1. Siar: [a; b]!R3 una curvaC2 . Si de nisca la torsione(t 0) della curva nel puntor(t 0). Domanda 2. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat inRn Domanda 3. Mostrare che, se un campo ammette potenziale vettore, allora e necessariamente solenoidale. Analisi Matematica II - 23 novembre 2015 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Data la funzione f(x; y) = sin(xy)logx2 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor dif(x; y) al quarto ordine nel punto (1;0) 2. Calcolare l'equazione del piano tangente al gra co dif(x; y) in (1;0). 3. Determinare se esiste un intorno di (1;0) in cui il piano tangente e interamente sotto o sopra al gra co. Soluzione.Poiche mi interessa il comportamento di logx2 in un intorno dix= 1, posso scrivere logx2 = 2 logx. Siaz=x1 eg(z; y) =f(z+ 1; y) = sin(y(z+ 1))2 log(z+ 1). Calcolo lo sviluppo di Taylor dig(z; y) al quarto ordine nel punto (0;0). Osservo che, se (z; y)!(0;0), alloray(z+ 1)!0, quindi g(z; y) =y(z+ 1)(y(z+ 1))3 =3! +o((y(z+ 1))4 )2(zz2 =2 +z3 =3z4 =4) +o(z4 ) =y(z+ 1)(y(z+ 1))3 =3!2(zz2 =2 +z3 =3z4 =4) +o((y2 +z2 )2 ): Sostituendoz=x1, sviluppando i calcoli e tenendo solo i termini di grado inferiore a 4 f(x; y) =y+y(x1)y3 =6y3 (x1)=22((x1)(x1)2 =2 + (x1)3 =3(x1)4 =4 +o((y2 + (x1)2 )2 ) =y+y(x1)y3 =6y3 (x1)=22(x1) + (x1)2 2(x1)3 =3 + (x1)4 =2 +o((y2 + (x1)2 )2 : Ne segue che il piano tangente ha equazione z=y2(x1): Il dierenziale secondo e ottenuto considerando i termini di secondo ordine, ossiay(x1) e (x1)2 . Ne segue che la matrice Hessiana e H f(1;0) = 2 1 1 0 : Gli autovalori sono 1 +p2
e 1p2
, quindi la matrice Hessiana e inde nita e il piano tangente non e ne sopra, ne sotto al gra co della funzione. Esercizio 2 . Si mostri che l'equazioney3 +y+x3 x= 0 de nisce implicitamente una funzione y(x) nell'intorno dell'origine. Si calcoli lo sviluppo di Taylor al secondo ordine diy(x) inx= 0. Soluzione.Siaf(x; y) =y3 +y+x3 x. Osserviamo chef(0;0) = 0 e@ yf (0;0) = 1, quindi si applica il teorema della funzione implicita nel punto (0;0) ey(0) = 0. y0 (0) = 11 = 1 : Siag(x) =f(x; y(x)). Allora g0 (x) =@ xf (x; y(x)) +@ yf (x; y(x))y0 (x) = 3x2 1 + 3y(x)2 y0 (x) +y0 (x) eg00 (x) = 6x+ 6y(x)(y0 (x))2 + 3y(x)2 y00 (x) +y00 (x) = 0 da cuiy00 (0) = 0. Ne segue che lo sviluppo di Taylor al secondo ordine diy(x) inx= 0 e y(x) =x+o(x2 ): Esercizio 3 . Dato il campo vettoriale F(x; y) = x3( x4 + 4y2 )2;2 y( x4 + 4y2 )2 ; dimostrare che e conservativo e trovare un potenziale.Soluzione.Basta osservare che F(x; y) =rV(x; y) conV(x; y) =1 =4x 4 + 4y2: