Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 23 settembre 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Date due curver 1: [ a 1; b 1] !R3 ,r 2: [ a 2; b 2] !R3 , spiegare cosa signi ca che sono equivalenti. Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa inRn . Domanda 3Enunciare il teorema di esistenza e unicita locale per il problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 23 settembre 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Si consideri l'equazione y0 =yt 1t e 1t pert >0. Si dica in quale regione valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo e in grande. Si trovi la soluzione di tale equazione che ammette limite nito pert!+1e si calcoli tale limite. Esercizio 2 . Trovare punti di equilibrio, studiarne la stabilita e disegnare alcune orbite ap- prossimate nello spazio delle fasi per il sistema (x0 =yx2 y0 =xy : Esercizio 3 . Utilizzando la formula di Gauss-Green, calcolare l'area della regione compresa tra la curva parametrizzata dar: [0;2]!R2 ,r(t) = (tcost; tsint) e il segmento (x;0), con x2[0;2]. Esercizio 4 . Siaf: [; ]!Rde nita da f(x) =( xsex0 x2 sex