Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 25 febbraio 2016 Cognome:Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema della divergenza, scrivendo chiaramente tutte le ipotesi. Domanda 2. Si consideri una funzionef:Rn !R. 1. De nire il dierenziale in un punto. 2. Dimostrare che, sefe dierenziabile in un punto, allora e derivabile in ogni direzione nello stesso punto. Domanda 3. Sia dato un sistema di equazioni dierenziali lineari autonomoy0 =f(y) tale che f2C1 (RN ) andf(0) = 0. 1. De nire la stabilita asintotica secondo Liapunov dell'origine. 2. Enunciare una condizionesucienteper avere tale stabilita. Esercizio 1 . Siaa2Rer a: [0 ;log 2]!R2 de nita dar a( t) = (et ; eat ). 1. Determinareain modo che la lunghezza della curva sia 1. 2. Pera= 2 determinarne il versore tangente e normale. 3. Pera= 1 trovare la parametrizzazione rispetto all'ascissa curvilinea. Esercizio 2 . Determinare punti di massimo e minimo (relativi e assoluti) della funzione f(x; y) =xey sul bordo del quadrato di verticif(1;1);(1;1);(1;1);(1;1)g. Esercizio 3 . SiaF:R!Ril prolungamento continuo dif(x) =xlogjxj. Data l'equazione x00 =F(x), si determini l'energia potenziale e se ne disegni il gra co. Si stabilisca se l'equazione ammette punti stazionari, orbite periodiche, omocline, eterocline o di altro tipo. Si tracci il gra co approssimativo di alcune orbite. Esercizio 4 . Si trovi l'integrale generale dell'equazione dierenziale y0 =y 4x32 yx: