Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 28 giugno 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat inRn ,n2. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3Enunciare il teorema delle contrazioni, de nendo tutti i concetti che appaiono nella de nizione. Analisi Matematica II - 28 giugno 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Ricordando che log(1 +t) =tt2 =2 +t3 =3 +: : :e cost= 1t2 =2 +t4 =24 +: : :, si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0;0) al quarto ordine di f(x; y) = log(cos(xy))x e si calcoli l'equazione del piano tangente nel punto (0;0;0). Soluzione.log(cos(xy))x= log(1(xy)2 =2 + (xy)4 =24 +o((xy)5 ))x =(xy)2 =2 + (xy)4 =24 +o((xy)5 ) ((xy)2 =2 + (xy)4 =24 +o((xy)5 ))2 =2x =(xy)2 =2 + (xy)4 =24(xy)4 =4x+o((x2 +y2 )2 ) =xx2 =2 +xyy2 =25=24(xy)4 +o((x2 +y2 )2 ) Dallo sviluppo di Taylor segue che l'equazione del piano tangente e: z=x : Esercizio 2 . Calcolare l'integrale generale di 8 > < > :x 0 =2x2y y0 =x+y z0 =x Soluzione.Ponendow=x+ye sommando le prime due equazioni abbiamo:w0 =w, quindiw(t) =x(t) +y(t) =c 1e t . Dalla prima equazionex0 =2w=2c 1e t , quindix(t) = 2c 1e 1 +c 2Dalla seconda equazione y0 =c 1e t , quindiy(t) =c 1e t +c 3. In ne z0 = 2c 1e 1 + c2= 2c 1e 1 +c 2t +c 3. Esercizio 3 . Stabilire se sono veri cate le ipotesi del teorema di esistenza e unicita in piccolo e in grande per l'equazione dierenziale ordinaria y0 = (1ex +y )e xy : Trovare l'integrale generale. Soluzione.L'equazione e esatta. Riscrivendola come (ex +y 1)dx+ex +y dy= 0 vediamo che l'equazione e equivalente adV(x; y) = 0, conV(x; y) =ex +y x. L'integrale generale eV(x; y) =c, ossiaey =e x (x+c), ossia y= log(x+c)x ; x > c : Esercizio 4 . Siag2C2 (R),g(0) = 0,g0 (0) = 0,g00 (0) =1 e siaF(x; y) =y2 y+g(x). 1. Veri care che nell'intorno dell'origine esiste un'unica funzioney(x) il cui gra co coincide con gli zeri diF(x; y). 2. Mostrare che l'origine e un punto stazionario pery(x) e determinarne la natura. Soluzione.PoicheF(x; y) eC2 (R2 ) e@ F@ y (0 ;0) =1, sono soddisfatte le ipotesi del teorema della funzione implicita in (0;0). y0 (0) =@ F@ x (0 ;0)@ F @ y (0 ;0)= 0 : Derivando due volteF(x; y(x)) si osserva chey00 (0) =1, quindiy(x) ha un massimo in 0.