Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Second partial exam

Analisi Matematica II - 03 febbraio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema della divergenza. Domanda 2Siar: [a; b]!R3 una curva. 1. Quale condizione deve soddisfare per essere dettaregolare? 2. De nire i versori tangente e normale in un puntor(t). Domanda 3Siaf:Rn !R. 1. De nire la dierenziabilita difinx 02 Rn . 2. Mostrare che la dierenziabilita implica la continuita. Esercizio 1. Calcolare il usso diF(x; y; z) = (y; x2 y; y2 z) uscente daD=f(x; y; z)2R3 : 1z2x2 y2 g. Esercizio 2. Si consideri il problema 8 > < > :y 00 (x) +y(x) =x2 y(0) = 0 y(1) = 1: 1. Risolverlo per=4. 2. Il problema ammette un'unica soluzione (per=4)? 3. Trovare un valore di2Rper il quale il problema NON ammette alcuna soluzione. Esercizio 3. 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0;0) con resto di Peano al quarto ordine di f(x; y) =p4 + xy : 2. Calcolare l'equazione del piano tangente al gra co di nel puntoP= (0;0;2). Esercizio 4. Si consideri l'equazione x00 =x (1x2 ): 1. Elencare i punti di equilibrio e discutere la loro stabilita. 2. Studiare le orbite nel piano delle fasi nel caso= 1. 3. Studiare le orbite nell'intorno dell'origine anche per= 1=3 e= 3, disegnandone correttamente la pendenza.