Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Second partial exam

Analisi Matematica 2 - Ingegneria Fisica10 febbraio 11 Cognome:Nome:Firma: c I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sara perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. 1.Data la funzione f(x; y) = siny+xlog(1 +xy)sin2 (xy) (1.1) Calcolare il polinomio di Taylor dif(x; y) al quarto ordine in (0;0) (1.2) Calcolare il piano tangente al gra co dif(x; y) in (0;0). (1.3) Determinare la posizione del piano tangente rispetto al gra co dif(x; y) in un intorno del punto (0;0). 2.Enunciare il teorema del Dini. 3.Sia dato il sistema ( _ x=y6 _ y= 16x3 3x4 18x2 : (3.1) Trovare i punti di equilibrio. (3.2) Disegnare alcune traiettorie del sistema. (3.3) Dalle traiettorie dedurre la natura dei punti di equilibrio. (3.4) Trovare un integrale primo. (3.5) Il sistema ammette traiettorie illimitate? (3.6) Il sistema ammette traiettorie periodiche? (3.7) Calcolare il sistema linearizzato in un punto di equilibrio. 4.De nire la derivata lungo le traiettorie di un sistema autonomo. 1