Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Second partial exam

Analisi Matematica II - 18 gennaio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Scrivere l'equazione integrale di Volterra (1 punto). Dimostrarne l'equivalenza con un problema di Cauchyy0 =f(t; y),y(t 0) = y 0assumendo che fsia una funzione continua (2 punti). Domanda 2Si consideri una successione di funzionif n: ( a; b)!R. (a) De nire la convergenza uniforme diff ng a una funzionef: (a; b)!R. (1 punto) (b) Se le funzionif nsono limitate, ma non necessariamente continue, cosa posso dire della funzionef? (1 punto) Analisi Matematica II - 18 gennaio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Sia fn( x) =x1 + njxjlog j xj+nn : Si determini l'insieme di convergenza puntuale e l'insieme di convergenza uniforme della serie+1 X n=1f n( x): Soluzione.Le funzioni sono dispari, quindi basta studiarle in [0;+1). Per ognix2[0;+1) 0f n( x)x 2n (1 +nx); quindi la serie converge puntualmente inRe, per il criterio di Weierstrass, converge uniforme- mente su ogni intervallo limitato. Poiche ognif ne illimitata su R, la convergenza non puo essere uniforme su alcun intervallo illimitato. Esercizio 2 . Calcolando l'integrale generale e/o mediante studio qualitativo, si disegni il gra co della soluzione di( y0 =t2 siny ; y(0) =2 discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di de nizione, simmetrie, punti di massi- mo/minimo, convessita, essi, asintoti...) Soluzione.L'equazione e a variabili separabili, la soluzione e y(t) = 2 arccote t3 =3 : Si puo studiare la soluzione esplicita, oppure disegnare il gra co usando metodi qualitativi. Le ipotesi del teorema di esistenza e unicita in grande sono soddisfatte, quindi la soluzione e de nita suR. Poichey= 0 ey=sono soluzioni costanti, la soluzione del problema soddisfa 0< y(t)< e di conseguenzay0 (t)0 per ognite piu precisamentey0 (t) = 0 se e solo set= 0, che quindi e un punto di esso. Non esistono punti di massimo o minimo.Essendo la soluzione crescente e limitata, ha asintoti orizzontaliy= 0 pert! 1ey= pert! 1. Necessariamente ci devono essere almeno due altri punti di esso, uno pert