Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Second partial exam

Analisi Matematica II - 23 gennaio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Scrivere l'equazione integrale di Volterra (2 punti) e dimostrarne l'equivalenza con un problema di Cauchy (2 punti). Domanda 2Siay0 =f(y) un sistema autonomo di equazioni dierenziali. (a) De nire un punto di equilibrio stabile. (1 punto) (b) De nire un punto di equilibrio asintoticamente stabile. (1 punto) Domanda 3Si consideri una successione di funzionif n: ( a; b)!R. (a) De nire la convergenza uniforme dif na una funzione f: (a; b)!R. (1 punto) (b) Si assuma che tutte lef nsiano derivabili in ( a; b). Cosa si puo dedurre suf? (1 punto) Analisi Matematica II - 23 gennaio 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Sia fn( x) =n 2 x2 +nxn 2 +x2: Si determini l'insieme di convergenza puntuale della successione, la funzione limitef(x) = lim n!1f n( x) e su quali intervalli la convergenza e uniforme. Soluzione.Per ognix2R: lim n!1f n( x) =x2 ; jf n( x)x2 j=j n2 x2 +nxn2 x2 x4 jn 2 +x2j nxj+x4n 2 +x2j xjn + x 4n 2 quindi la convergenza e uniforme su qualsiasi intervallo limitato. Esercizio 2 . Si studino e si disegnino alcune traiettorie dell'equazione x00 =xx3 +x0 nel caso= 0. Si discuta la stabilita dei punti di equilibrio per=1;0;1. Esercizio 3 . Calcolando l'integrale generale e/o mediante studio qualitativo, si disegni il gra co di alcune soluzioni diy0 = 1(yt)2 ; discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di de nizione, punti di massimo/minimo, asintoti...) Soluzione.Ponendoz=yte quindiz0 =y0 1 l'equazione diventa z0 =z2 il cui integrale generale ez= 0 ez=1t +c, quindi y=tey=t+1t +c. Si applica il teorema di esistenza e unicita locale (non quello globale), quindi nessuna soluzione puo attraversare la retta y=t. Studiandof(t; y) = 1(yt)2 si osserva che le soluzioni sono crescenti pertyt, le rettey=t+ 1 ey=t1 sono luoghi di minimo e massimo rispettivamente. Dall'integrale generale si vede che ogni soluzione (tranney=t) e de nita su un intervallo (1;c) oppure (c;+1) e ha un asintoto verticale int=c. Inoltrey=te un asintoto obliquo.