Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Exercises 2018

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Analisi Matematica II. Ingegneria Matematica. DIARIO DELLE ESERCITAZIONI A.A. 2018/2019(Prof. G. Arioli, Dott. N. Potrich) CURVE ED INTEGRALI DI LINEA INR2 eR3 Esercizio 1.Scrivere una rappresentazione parametrica delle seguenti curve: a) 1: ramo di parabola y=x2 1 percorso dal punto (2;3) al punto (4;15); b) 2:x 2a 2+y 2b 2= 1 percorsa una sola volta in senso antiorario a partire dal punto ( a;0), cona >0; c) 3: segmento da A= (1;2;5)B= (3;1;0); d) 4: =k,2[0;4] (spirale di Archimede); e) 5: intersezione tra il piano : 5x2y+z= 4 e il cilindroC:x2 +y2 = 1. Esercizio 2.Stabilire se ciascuna delle seguenti curve e chiusa, semplice, piana e/o regolare: a) 1: ' 1( t) = (t;2t; t2 ),t2[0;4]; b) 2: ' 2( t) = (t2 Sht; e t2 ),t2R; c) 3: ' 3( t) = (cost;  jtj;sint),t2[; ]; Esercizio 3.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (e2 t ;2et ; t); t2[0;1]: i) Calcolare il vettore velocita e la velocita scalare. ii) Determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel puntoP= (1;2;0). iii) Determinare l'accelerazione vettoriale, mettendone in evidenza la componente normale e la componente tangen-ziale in ogni punto e calcolare l'accelerazione scalare. Esercizio 4.Sia l'elica cilindrica, parametrizzata da '( t) = (rcost; rsint; ht); t2[0;2] (r; h >0 ssati): i) Determinare la terna fondamentale in ogni punto. ii) Calcolare curvatura e torsione in ogni punto. Esercizio 5.Mostrare che ciascuna delle seguenti curve e retti cabile e calcolarne la lunghezza: a) 1: ' 1( t) = (cos3 t;sin3 t),t2[0;2] (astroide); b) 2: ' 2( t) =( (cost;sint)t2[0; ] (t1;0)t2[;2]; c) 3: ' 3( t) = (t;2t;t2 ),t2[1;2]. Esercizio 6.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (et ; e t ;p2 t); t2R: TrovareT2Rtale che il sostegno ='([0 ; T]) abbia lunghezza 3=2. 1 Esercizio 7. Sia la curva descritta in coordinate polari (t) =p1 + t2 ; (t) =tarctgt; t2[0;+1): i) Mostrare che il sostegno di nel piano cartesianoOxye una spirale e mostrare che esiste un unico valoreTper cui(T) =. ii) Calcolare la lunghezza dell'arco di nel pianoOxydeterminato dat2[0; ]: Esercizio 8.(appel lo25febbraio2016) Sia2Re sia la curva parametrizzata da ' ( t) = (et ; et ); t2[0;log 2]: i) Determinare il valore del parametroanche la lunghezza della curva sia 1. ii) Per= 2 determinare il versore tangente e il versore normale. iii) Per= 1 trovare la parametrizzazione rispetto all'ascissa curvilinea. Esercizio 9.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (sin(et );cos(et ); et ); t2[log=2;log]: i) Mostrare che e retti cabile e calcolare la sua lunghezza. ii) Trovare la parametrizzazione rispetto la lunghezza d'arco di . EsisteT2[log=2;log] per cui la distanza percorsa lungo al tempoTsia 2? iii) Calcolare il valor medio dif(x; y; z) = logzsu . Esercizio 10.Sia la curva parametrizzata da '( t) = 12 sin 2 t; t2 ;sin2 t ; t2[p2 ;0]: CalcolareZ f ds; dovef(x; y; z) =py: Esercizio 11.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (t2 ; tsint2 ; tcost2 ); t2[2;2]: CalcolareZ f ds; dovef(x; y; z) =py 2 +z2 : Esercizio 12.Sia la curva avente per sostegno il segmento di estremiP= (1;0) eQ= (0;2). Dopo aver parametrizzato , determinare per quale valore del parametro2Rsi ha che Z f ds = 0; dovef( x; y) =x2 +y: 2 LIMITI E CONTINUITA' IN R2 Esercizio 13.Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: a) lim(x;y)!(0;0)x 2 y2x 2 y2 + (yx)2; b) lim(x;y)!(0;0)x 2 y+x2y 2 +x4; c) lim(x;y)!(0;0)xy 2x 2 +y4; d) lim(x;y)!(0;0)x 2 yx 2 +y4; e) lim(x;y)!(0;0)sin( xy)log(1 + x); x 2(1;0)[(0;+1); f ) lim(x;y)!(0;0)( x2 +y2 )x 2 y2 ; g) lim(x;y)!(0;0)log(1 + 2 x2 +y2 )( x2 + 3y2 )2; h) lim(x;y)!(0;1)sin 2 (x) log(2y)x 2 +y2 2y+ 1; i) lim(x;y)!(0;0)x 3 ysin(xy2 )x 4 +y2; l) lim(x;y)!1x 3 ysin(xy2 )x 4 +y2; m) lim(x;y)!1log(1 + jxyj)( x2 +y2 )2; n) (primo compitino3maggio2013) lim (x;y)!(0;0)pj xjy4x 4 +y4. Esercizio 14.Stabilire se le seguenti funzioni possono essere estese con continuita nell'origine: a)f(x; y) =xpj x2 y2 jx 2 +y2; b)f(x; y) =e xy 2 1x 2 + 2y2. Esercizio 15.Studiare al variare del parametro reale >0 la continuita della funzione: f(x; y) =8 < :j xj sinyx 4 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 16.Studiare al variare del parametro reale >0 la continuita della funzione: f(x; y) =8 < :x 2 jyjx 4 +y6( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 17.Studiare al variare del parametro2Rla continuita della funzione: f(x; y) =8 > < > :4 pj xjlog(1 +x2 +y2 )( x2 +y2 )( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): 3 DERIVABILITA' E DIFFERENZIABILITA' IN R2 Esercizio 18.Sia f(x; y) =8 < :x 3 3x2 yx 2 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): i) Veri care chefe continua inR2 . ii) Calcolare il gradiente difin (0;0). iii) Discutere la dierenziabilita difin (0;0). Esercizio 19.(primo compitino13novembre2017) Siaf:R2 n f(0;0)g !Rde nita da f(x; y) =x 2 sin(xy)log(1 + x2 + 3y2 ): i) Si mostri chefe prolungabile con continuita inR2 . ii) Si determini se la funzione risultante~ fe dierenziabile in (0;0). Esercizio 20.(appel lo5settembre2018) Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =jxjlog(1 +x2 +y2 ): Si determini in quali punti del piano:i)fe continua; ii)fammette derivate parziali; iii)fe dierenziabile. Esercizio 21.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = 2x3 x2 y+ 3xy2 y3 : i) Calcolare, per ogni versorev:= ( v 1; v 2) 2R2 , il valore diD vf (1;1). ii) Determinare minfD vf (1;1) :v2 R2 ; v2 1+ v2 2= 1 g. iii) Determinare l'equazione del piano tangente al gra co della funzionefnel punto (1;1; f(1;1)). Esercizio 22.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =xjyj(y+x2 +x): Si discuta la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita dif. Esercizio 23.Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita nell'origine della funzione reale fcos de nita localmente nell'origine diR2 f(x; y) =8 > < > :e x 3 xsin2 y 1sin 2 x+y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 24.Discutere al variare del parametro >0 la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita della funzione f(x; y) =8 < :j yj (x1)x 2 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): 4 OTTIMIZZAZIONE LIBERA IN R2 Esercizio 25.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =y2 (x2 +y2 x): Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, speci cando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 26.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = (x3)2 (xy2 ): Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, speci cando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 27.Siaf:D f! Rde nita da f(x; y) =ylog(y+x2 ): i) Determinare l'insieme di de nizioneD fe studiare il segno di f. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, speci cando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 28.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = (x2 y2 )(x+ 1)jyj: i) Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita dif. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, speci cando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 29.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = artg[jyj(y+x2 1)]: i) Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita dif. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, speci cando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. FUNZIONI IMPLICITE Esercizio 30.Siaf: (1;+1)R!Rde nita da f(x; y) = ln(x+ 1) +ey (x3 + 1) +x2 1: i) Veri care che esiste un intorno del punto (0;0) e un'unica funzioney=(x) con gra co in tale intorno tale che f(x; (x)) = 0. ii) Calcolare il polinomio di McLaurin didi ordine 2. Esercizio 31.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = cosy+ysinx3x+ 2y3: i) Veri care che nell'intorno del punto (=2;3=2) esiste un'unica funzioney=(x) il cui gra co coincide in tale intorno con gli zeri dif. ii) Calcolare lo sviluppo di Taylor diin (=2;3=2) arrestato al secondo ordine. 5 Esercizio 32. Dopo aver veri cato che l'insieme E=f(x; y)2R2 jlog(x2y) + 2yx+ siny+ 1 = 0g coincide in un intorno del punto (2+ 1; ) con il gra co di un'unica funzioney=(x) di classeC1 e tale che f(2+ 1) =, mostrare che (+ 1; ) e un punto stazionario perfe determinarne la natura. Esercizio 33.Siaf: [0;+1)R!Rde nita da f(x; y) = 2e xy px (5 + 2y): i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. Esercizio 34.Siaf: (0;+1)R!Rde nita da f(x; y) =xy+ey log4 x: i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. Esercizio 35.Sia f(x; y) = 4yx+ 1log(1ye3 x ): i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione:R!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. Esercizio 36.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =x2 y+ex +y : i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione:Rn f0g !Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. Esercizio 37.Siaf: (0;+1)(0;+1)!Rde nita da f(x; y) =ey (1 + log2 x) +x2 logy: i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. iii) Mostrare chepuo essere prolungata con continuita all'intervallo [0;+1) e calcolare, se esiste, il valore della semi-derivata destra0 +(0). Esercizio 38.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = 2ex 3 y + 8(x1)3 y3 1: i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione:R!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. iii) Si calcoli l'equazione della retta tangente al gra co dinel punto di ascissax= 1. 6 Esercizio 39. (primo compitino13novembre2017) Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =x3 (2 +y) +exy : i) Si veri chi che l'equazionef(x; y) = 0 de nisce implicitamente un'unica funzione:Rn f0g !Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un gra co qualitativo di tale funzione. OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA Esercizio 40.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =e3 xy e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 = 9g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 41.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =x(xy2 ) e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 5g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 42.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =xe (x2 +y2 ) e siaD=f(x; y)2R2 : (x1)2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 43.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =y2 (xx2 y2 ) e siaD=f(x; y)2R2 :xx2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 44.Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = sinysinxcos(yx): i) Determinare la natura dei punti stazionari difnell'insieme = (0; )(0; ). ii) Dato l'insiemeT=f(x; y)2R2 :x0; y0; x+yg; determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Tf (x; y) eM= min (x;y)2Tf (x; y): 7 Esercizio 45. (primo compitino21novembre2016) Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) =x2 y2 2x2 y+x2 e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): POLINOMI DI TAYLOR Esercizio 46.Determinare lo sviluppo di McLaurin delle seguenti funzioni: a)f 1( x; y) = log(1 +x2 +y) arrestato al II ordine; b)f 2( x; y) = sin(xexy ) arrestato al IV ordine; c)f 3( x; y) =p1 + x2 4y3 arrestato al III ordine; Esercizio 47.(primo compitino23novembre2015) Siaf:R2 !Rde nita da f(x; y) = sin(xy)logx2 : a) Calcolare lo sviluppo di Taylor difarrestato al IV ordine nel punto (1;0). b) Utilizzando lo sviluppo trovato, calcolare l'equazione del piano tangente al gra co difnel punto (1;0; f(1;0)). c) Utilizzando lo sviluppo trovato, determinare se esiste un intorno del punto (1;0) in cui il piano tangente e interamente sotto o sopra al gra co dif. Esercizio 48.Discutere al variare del parametro >0 la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita della funzione f(x; y) =8 < :e y +xy 1y( x2 +y2 ) ( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): SUGG. Per lo studio della continuita e dierenziabilita in (0;0), sviluppare al II ordine il termineey +xy . . . 8