Mathematical Engineering - Matematica Numerica

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MATEMATICA NUMERICASECONDO APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica22 Luglio 2019 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Spazio riservato al docente Esercizio 1Esercizio 2Esercizio 3Esercizio 4Totale ....... / 25....... / 25....... / 30....... / 20....... / 100 ISTRUZIONI PER IL CORRETTO SVOLGIMENTO DELLA PROVA ?Tutti i calcoli e i risultati, graci inclusi, devono essere riportati su questo documento, che verrà resti- tuito al docente ; si riportino i passaggi dei calcoli e le opportune giusticazioni dei risultati ottenuti. ?Solo quando espressamente richiesto nel testo dell'esercizio, riportare su questo documento tutti i co- mandi MATLAB usati. ?Si scriva usando una penna blu o nera, e non a matita. ?I fogli di brutta copia forniti durante l'esame non verranno considerati durante la correzione. ?E' vietato l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico durante l'esame. L'unico software consentito durante l'esame è MATLAB. ?E' consentito consultare un foglio fronte-retro in formato A4 manoscritto durante l'esame ; non è pos- sibile consultare fotocopie, copie degli esercizi risolti durante il corso, appunti e altro materiale scritto. ?Per evitare la perdita di dati, congurare il percorso di lavoro di MATLAB seguente : Computer/Local Disk (C:)/Users/USER_LEO/Desktop ?Per avere accesso alle funzioni MATLAB richieste durante l'esame, digitare addpath('M:/MATLAB/Toolbox/MatNum20182019') nella Command Window di MATLAB.1 Esercizio 1 SianoA 1, A 2, e A 3le seguenti matrici : A1=2 42 1 0 1 21 01 23 5; A2=2 4 3 2 4 4 1 1 2 3 23 5; A3=2 44 2 1 6 3 4 2 7 53 5: a)Per ciascuna matrice, determinare se la fattorizzazione LU (senza pivoting) e/o la fattorizzazione diCholesky esistono e sono uniche. b)Considerare il sistema lineareAx=be il sistema lineare perturbato (A+A) (x+x) = (b+b):(1) Supponendo chejjA 1 jj2jj Ajj 2 1,dimostrarela seguente diseguaglianza : jjxjj 2jj xjj 2 K 2( A)1 K 2( A)jj Ajj 2jj Ajj 2 jjbjj 2jj bjj 2+ jj Ajj 2jj Ajj 2 :(2) c)Nel caso del sistema lineareA 1x =b, se si considera il sistema perturbato (A 1+ A 1) ( x+x) =b;(3) trovare il valore massimo dijjA 1jj 2tale da garantire un errore relativojj xjj 2jj xjj 2minore o uguale a 10 5 . d)Sianoe A1e bdeniti come segue : e A1=2 42 1" 1 21 "1 23 5;b=2 41 0 13 5; dove"= 10 6 . Usando il comando Matlablue le funzionibksubefwsubfornite, si risolva mediante fattorizzazione LU il sistemae A1e x=b; e si riporti il valore della dierenza relativak e xxk 2k xk 2rispetto alla soluzione esatta x= [1;1;1]T del sistemaA 1x =b. Si commenti il risultato alla luce dei punti precedenti.2 3 4 Esercizio 2 a)Si denisca il polinomio interpolante di Lagrange compositoH 1f (x)di una generica funzionef(x)in n+ 1nodi distintifx ign i=0in un intervallo  Idom(f). b)Si consideri la funzionef(x) =p4 x2 + cos(x)(4) e il polinomio interpolante di Lagrange compositoH 1f (x)che interpolafinn+1 = 51nodi equispaziati nell'intervallo I= [0;2]. Riportare i comandiMatlabnecessari per tale approssimazione, e il graco di fe del polinomio interpolante compositoH 1f (x). c)Calcolare l'erroreen( f) =kfH 1f k 1= max x2 Ij f(x)H 1f (x)j utilizzando 1000 punti equispaziati in[0;2]: kfH 1f k 1=d)Per ogni n= 10;20;40;80;160;320, costruire il polinomio interpolante compositoH 1f (x)che in- terpola la funzionefinn+ 1punti equispaziati nell'intervallo I= [0;2]e calcolare l'erroree n( f) utilizzando 1000 punti equispaziati.n = 10n = 20n = 40n = 80n = 160e n( f)Denotando con Hla distanza costante tra due nodi di interpolazione, rappresentare su un graco in scala logaritmica tali errori al variare diH. e)Come si denisce il polinomiof m( x)di gradom= 4approssimanten+ 1coppie di datif(x i; f (x i)) gn i=0 nel senso dei minimi quadrati ? f )UsandoMatlabfornire l'espressione di tale polinomio nel caso della funzionefdenita in (4) conside- rando un insieme din+ 1 = 101nodi equispaziati in I= [1;1]: f4( x) =5 6 7 Esercizio 3 y 0 Un corpo di massa m >0giace su un piano orizzontale senza attrito ed è vincolato ad una parete ssa attraverso una molla (v. gura). Si assume che l'unico movimento concesso al corpo sia lungo l'asse della molla, e che la forza a cui esso è soggetto sia data dag(y) =ky+y3 , doveyè la posizione del corpo rispetto alla posizione di equilibrioy= 0, ek >0,0sono costanti assegnate. Tale sistema può essere descritto mediante il seguente problema di Cauchy :( my00 (t) =ky(t) +y3 (t);0< t < b; y(0) =y 0; y0 (0) = ;(5) dovey 0, denotano rispettivamente la posizione e la velocità iniziale. Per il momento, si consideri= 0. a)Si riscriva il problema (5) come un problema di Cauchy per un sistema di equazioni dierenziali delprimo ordine. b)Si introduca il metodo di Heun per sistemi di equazioni dierenziali ordinarie e lo si applichi al problemadenito al punto a). c)Si discuta la stabilità assoluta del metodo di Heun applicato al problema (5). d)Sianom= 1,k= 4,b=,y 0= 1 ; = 0e si applichi il metodo di Heun introdotto alla risoluzione del problema in esame, mediante la funzione Matlabheunfornita. Si considerih= 0:01.Si riportino tutti i comandi Matlab usati e il graco di tutte le componentidella soluzione ottenuta, indicando sugli assi la scala visibile a schermo. Si riporti inoltre il valore inb=di tutte le componenti della soluzione. e)Si ricordino le proprietà di stabilità, ordine e convergenza del metodo di Heun applicato ad un genericoproblema di Cauchy scalare del tipo seguente :( y0 (t) =f(t; y(t)); t 0< t < T ; y(t 0) = y 0: Si consideri ora0generico. f )Si introduca il metodo di Crank-Nicolson per sistemi e lo si applichi al problema (5). Si determinil'espressione del sistema non lineare che si genera ad ogni passo di tempo nel metodo di Crank-Nicolson, esplicitandone la dipendenza da. Si proponga inne un metodo per la risoluzione di tale sistema non lineare, esplicitandone la costruzione. g)Siaguna funzioneC2 (I)scalare denita su un intervalloIRe sia2Iuno zero semplice dif. Si dimostri che, partendo da unx 02 Isucientemente vicino ad, il metodo di Newton converge quadraticamente.8 9 10 Esercizio 4 NB:SicopinoilemainPolifem.medataPolifem.mnellacartelladilavorolocaleesimodichino lecopie. Si consideri il seguente problema di diusione e trasporto, con condizioni al bordo miste agli estremi dell'in- tervallo e dipendente da un parametro 2R: (12 u00 (x) + u0 (x) =f(x);0< x