Mathematical Engineering - Matematica Numerica

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MATEMATICA NUMERICASECONDO APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica18 Luglio 2018 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Spazio riservato al docente Esercizio 1Esercizio 2Esercizio 3Esercizio 4Totale ....... / 27....... / 23....... / 23....... / 27....... / 100 ISTRUZIONI PER IL CORRETTO SVOLGIMENTO DELLA PROVA ?Tutti i calcoli e i risultati, graci inclusi, devono essere riportati su questo documento, che verrà restituito al docente ; si riportino i passaggi dei calcoli e le opportune giusticazioni dei risultati ottenuti. ?Tutti i comandi MATLAB usati per risolvere gli esercizi devono essere completamente riportati su questo documento ; quesiti la cui risposta contenga solo il risultato nale o il graco, giusticazioni o calcoli incompleti, verranno ritenuti scorretti. ?Scrivete usando una penna blu o nera, e non a matita. ?I fogli di brutta copia forniti durante l'esame non verranno considerati durante la correzione. ?E' vietato l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico durante l'esame. L'unico software consentito durante l'esame è MATLAB. ?E' consentito consultare un foglio fronte-retro in formato A4 manoscritto durante l'esame ; non è possibile consultare fotocopie, copie degli esercizi risolti durante il corso, appunti e altro materiale scritto. ?Per evitare la perdita di dati, congurare il percorso di lavoro di MATLAB seguente : Computer/Local Disk (C:)/Desktop/USER_DATA ?Per avere accesso alle funzioni MATLAB richieste durante l'esame, digitare addpath('M:/MATLAB/Toolbox/Manzoni') nella Command Window di MATLAB.1 Esercizio 1 Si consideri la seguente matrice tridiagonalenn: A=0 B B B B B B B B @2 1 1 21 1: ::: :: ::: 1 21 1 21 C C C C C C C C A: I suoi autovalori sonoj= 2 + 2 cos j n + 1 ; j= 1; : : : ; n; tali autovalori sono ordinati in senso decrescente, 1>  2> : : : >  n. Inoltre, indichiamo con v ji corrispon- denti autovettori normalizzati, tali cioè chekv jk 2= 1 . a)Usando le informazioni precedenti, si valuti il comportamento del numero di condizionamento diAin norma 2 in funzione din, pern! 1. Usando Matlab, si calcoli poi il numero di condizionamento diAin funzione din, conn= 10;20; : : : ;100, e si commentino questi risultati alla luce del risultato teorico trovato in precedenza. b)Si intende risolvere il sistema lineareAx=bconb=Ax ex, dove x ex= [1 1 : : :1]T . Supponiamo che, a causa degli errori di arrotondamento, il vettorebsia aetto da una perturbazioneb= 10 4 c, dovec2Rn è tale chekck 2= 1 , e che si risolva dunque il sistema lineareA(x+x) =b+b. Si stimi l'errore relativokxk 2= kxk 2commesso per n= 100en= 1000e si verichi conMatlabla validità di tale stima. Per la verica inMatlab, si utilizzi un vettorecgenerato tramite il comandorand. c)Supponiamo ora di voler risolvere il sistema lineareAx=bcon il metodo del gradiente (detto anche metodo di Richardson dinamico, con parametro ottimale) non precondizionato. Al variare di n= 10;20; : : : ;100, si calcoli il numero minimo di iterazionik minnecessarie anché ke( k) kAk e(0) kA< 10 3 dovee( k) è l'errore al passok, ek
k Aindica la norma dell'energia ; si consideri a tal proposito x(0) =0. Sempre al variare din, risolvere ora il sistema usando la funzionerichardson.me vericare che il numero di iterazioni impiegate è minore dik min. Riportare su un graco, in funzione di n, l'andamento dik mine del numero di iterazioni eettuate dal metodo. d)Si consideri ora il metodo del gradiente coniugato non precondizionato. Al variare din= 10;20; : : : ;100, si risolva il sistema lineare con il comandopcg, usando una tolleranza di10 3 e un opportuno numero massimo di iterazioni, e si riporti il graco del numero di iterazioni eettuate, in funzione din. Cosa si osserva ? Sapreste spiegare tale comportamento alla luce della teoria ? e)La matriceAdiscende dalla discretizzazione, mediante il metodo di Galerkin-elementi niti, di un problema ai valori ai limiti per un opportuno operatore dierenziale : sapreste riconoscere di quale problema si tratta ? Giusticare opportunamente la risposta.2 3 4 Esercizio 2 L'equazione non linearef(x) =xarctan(ex 1) = 0(1) ammette due zeri >1e = 0. Si consideri il metodo delle iterazioni di punto sso x( k+1) =(x( k) ); k= 0;1; : : :con(x) = arctan(ex 1):(2) Si osservi che() =e( ) = , ovvero siache sono punti ssi della funzione. a)Tracciare il graco della funzionef(x)perx2[1;2]con Matlab. b)Si consideri l'approssimazione dello zero. Mostrare che esisteuna costante positiva C