Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Fac simile di prova d'esame

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Fac-simile di prova d'esame Esercizio 1 Si consideri un sistema lineare caratterizzato dalla seguente matrice : A=0 B B @20 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C C A: a)Si dica per quali scelte dei parametri il sistema si può risolvere con il metodo delle sostituzioni all'in-dietro. b)Si dica per quali scelte dei parametri esiste la fattorizzazione LU di Gauss della matriceA. c)Si indichino condizioni sucienti sui parametri anchè i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel convergono. d)Quali condizioni deve vericare la matriceAanché il metodo del gradiente si possa applicare ? Quali scelte dei parametri , , garantiscono che tali condizioni sono soddisfatte ? Se necessario, usare Matlab per motivare la vostra risposta. e)Prendendo i valori di e trovati al punto d), e posto = 1, si applichi il metodo del gradiente coniugato precondizionato scegliendo b=Ax ex; x ex= [1 1 1 1]T e come matrice di precondizionamentoP=D, dove Dii= ( A) ii; D ij= 0 8i; j= 1; : : : ;4; i6 =j: Si calcoli il numero minimo di iterazionik minnecessarie anché ke( k) kAk e(0) kA 10 3 dovee( k) è l'errore al passok, ek
k Aindica la norma dell'energia. f )Usare inne la funzionepcgdi Matlab per risolvere il sistema lineare compiendok miniterazioni e riportare l'errore relativo ottenuto dal metodo all'iterazionek min. Si noti che la funzione pcgutilizza x(0) =0come condizione iniziale.1 Esercizio 2 a)Si denisca il polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di una generica funzionef(x)inn+ 1nodi distintifx ign 0=1. b)Si consideri la funzionef(x) = 1 +13 x 3 +12 sin(  x) sull'intervalloI= [1;1]. Determinare con Matlab il polinomio interpolante nf (x)di gradon= 4nei nodi di Chebyshev-Gauss-Lobatto sull'intervalloI, riportandone il graco. Riportare anche il valore nf (x )assunto dal polinomio inx = 0:5. Riportare tutti i comandi Matlab utilizzati. c)Si riporti la stima dell'erroreEn( f) = max x2[1;1]j f(x) nf (x)j associato al polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di gradon= 4. Si applichi questa stima dell'errore al caso discusso al punto b) riportando i valori dell'erroreE n( f)e della sua stima ottenuti con Matlab. Riportare tutti i comandi Matlab utilizzati. d)Dato un intervalloIe volendo determinare il polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di una generica funzionef(x)inn+ 1nodi distintifx ign i=0su I, scegliereste nodi di Chebyshev-Gauss- Lobatto oppure nodi equispaziati ? Motivare la risposta.2 Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema di equazioni dierenziali ordinarie : 8 > > > > < > > > > :(1 )x0 (t) x(t)y= 0; t2(0; T] y00 (t) +x(t) + y(t) = 0; t2(0; T] x(0) =x 0; y(0) =y 0; y0 (0) =z 0;(1) doveT= 5e i coecienti; ; 2[0;1)non dipendono dal tempo. a)Mostrare che tale sistema di equazioni è equivalente a un'equazione vettoriale della formaw0 (t) =Aw(t); t >0 w(0) =w 0 esplicitando la matriceA, il vettorew 0e il vettore w(t) = (w 1( t); w 2( t); w 3( t))T . b)Si consideri il metodo di Eulero all'indietro (o Eulero implicito) per risolvere il problema ottenuto alpunto precedente : si riporti la formulazione del metodo applicato al problema in esame e si mostri che occorre risolvere, a ciascun passo temporale, un sistema lineare in cui compare una matriceB indipendente dal tempo. Si indichi almeno un metodo eciente per la risoluzione di tale sistema lineare. c)Si discuta stabilità, consistenza e convergenza di questo metodo. d)Siano= 0:2; = 0:3; = 0:4e si consideri un passo temporaleh= 0:1. Determinare la matrice Be fattorizzarla, spiegando per quale motivo la fattorizzazione scelta risulta ben posta. Riportare i comandi Matlab utilizzati e il risultato ottenuto. e)Per risolvere un problema di Cauchy pery0 =f(t; y), si consideri ora il metodo seguente di Adams- Moulton a due passi : un+1= u n+h12 (5 f n+1+ 8 f n f n1) : Si discuta stabilità, consistenza e convergenza di tale metodo. f )Applicare il metodo di Adams-Moulton a due passi al problema discusso al punto a). Lo si riscrivanella formaEw n+1= Gw n+ Hw n1; riportando l'espressione delle matriciE,GedH.3 Esercizio 4 Si vuole risolvere il seguente problema di diusione e trasporto, con condizioni al bordo di Dirichlet ai due estremi dell'intervallo(0;5), usando elementi niti lineari : (3u00 + u0 =f ;0< x