Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 03

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 3 Algebra Lineare Esercizio 1 Si consideri la norma matriciale di Frobenius di una matriceA2Rn n , ovvero kAk F=v u u tn X i;j=1a 2 ij: a)Provare chek
k Fè eettivamente una norma su Rn n . b)Provare che la norma di Frobenius ècompatibilecon la norma euclidea : kAxk 2 k Ak Fk xk 28 x2Rn : c)DettaIla matrice identità, si calcolikIk F, e si usi il risultato per dimostrare che per n >1la norma k
kFnon è indotta da alcuna norma vettoriale su Rn . Esercizio 2 Si deniscep-norma, per ognip2(0;1], l'espressione seguente : kxk p=8 > > > < > > > : n X i=1j x ijp! 1p p6 =1; kxk 1= max i=1;:::;nj x ij p=1;8 x2Kn :(1) Per ogniA2Rm n si denisce la norma matricialek
k p, detta indottadallap-norma vettoriale (1)k
k p, come kAk p= sup 06 =x2Rmk Axk pk xk p: Dimostrare le relazioni seguenti, doveB = AT A: kAk 1= max j=1;:::;nm X i=1j a ijj ;kAk 1= max i=1;:::;mn X j=1j a ijj ;kAk 2= max i=1;:::;mp i(B) :(2)1 Esercizio 3 Si dimostrino le relazioni seguenti : a)Per ognix2Rn kxk 2 k xk 1pn kxk 2; kxk 1 k xk 2pn kxk 1; 1n k xk 1 k xk 1 k xk 1: b)Per ogniA2Rn n 1n K 2(A) K 1(A) nK 2(A) ;1n K 1(A) K 2(A) nK 1(A) 1n 2K 1(A) K 1(A) n2 K1(A) : Esercizio 4 Si dimostri che una norma matriciale indotta è sub-moltiplicativa. Si sfrutti il risultato trovato per provare che date due matrici quadrate non singolariA;B2Rn n , alloraK(AB)K(A)K(B). Esercizio 5 Si consideri la matriceA2R2 2 , A = 1 0 1 ; 0: Si considerino inoltre il sistema lineareAx=be il sistema lineareperturbatoA(x+x) =b+b. a)Siab= [1;0]T . Trovare una limitazione per la variazione relativa della soluzionek xk 1k xk 1in termini della variazione relativa dei datik bk 1k bk 1. Il problema è stabile rispetto alle perturbazioni bquando ! 1? b)Ripetere l'analisi del punto precedente perb= [1;1]T . c)CalcolareK 1(A) eK 1(A) . Trovare una limitazione analoga a quella dei punti a), b), che valga per ognib.2