Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 11

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 11 Equazioni non lineari Esercizio 1 Si consideri il problema del calcolo del valore2I= [0; ]tale che = 1 +12 sin : a)Utilizzando opportunamente la visualizzazione di funzioni in Matlab, si determini se il metodo dibisezione è applicabile per calcolare. In seguito, si derivi una stima teorica del numero di iterazioni del metodo di bisezione necessarie per approssimarecon una tolleranza inferiore a10 3 . Inne, si verichi medianteqssbisezche il numero eettivo di iterazioni rispetta la stima. b)Si consideri ora il metodo di punto sso seguente x( k+1) =(x( k) ) = 1 +12 sin x( k) ; x(0) 2I : Si provi che il metodo èglobalmente convergentesuI, ovvero chelim k!1x( k) =8x(0) 2I. Inoltre, si provi che l'errore di approssimazione soddisfa la stima jx( k) j Ck jx(0) j: Inne, si dia una stima della costanteCe la si usi per stimare il numero di iterazioni necessarie per approssimarecon una tolleranza inferiore a10 3 . c)Per il metodo di punto sso in b), si vuole adottare un criterio di arresto basato sull'incremento, ovverol'algoritmo si arresta non appena si abbia jx( k) x( k1) j ": Si mostri come questo criterio garantisca chex( k) soddis jx( k) j "1 C: Si fornisca il valore di"che occorre scegliere per calcolare una approssimazione dicon un errore minore ditoll= 10 3 . Implementare in Matlab il metodo di punto sso scrivendo una function che riceva in ingresso la funzione,x(0) ,"e un numero massimo di iterazioni, e restituisca in uscita il valorex( k) con il numero dikdi iterazioni eettuate,function [alpha,niter]=fixed_point(phi,x0,epsilon,kmax)La funzione deve utilizzare il criterio d'arresto descritto. Si testi il proprio codice per x(0) = 0, ve- ricando che l'errorejx( k) jsia minore della tolleranzatoll= 10 3 , e che il numero di iterazioni sia approssimativamente quello stimato (usarefsolve(f, 0)per trovare lo zero esatto di una funzionef).1 Esercizio 2 a)Datoa >0, scrivere il metodo di Newton per l'approssimazione della soluzione dell'equazione ln(ax) = 0: b)Si dimostri che nel caso considerato valejx( k+1) 1=aj< Mjx( k) 1=aj2 , pur di prenderex(0) su- cientemente vicino a1=a, per una costante opportunaM >0. c)A partire da uno sviluppo di Taylor dig(x) =xln(ax)centrato in1=a, costruire uno schema di Newton modicato che sfrutti solamente le operazioni di somma-sottrazione e moltiplicazione per approssimare il reciproco di un numero positivoa. Cosa si può dire sulla convergenza di tale metodo ? Esercizio 3 Siauna radice doppia di una funzionef:R!R, ovvero tale chef() =f0 () = 0,f00 ()6 = 0. Si supponga fdi classeC2 (I)in un intornoIdi. a)A partire dalla relazionef(x) = (x)2 h(x)oveh()6 = 0, provare che il metodo di Newton per l'approssimazione dinon può avere ordine 2. b)Provare che il metodo modicato x( k+1) =x( k) 2f (x( k) )f 0 (x( k) ) converge localmente adcon ordine 2. c)Indicare un possibile test d'arresto per il metodo di Newton (non modicato), ricavando una stimadell'errore in funzione della tolleranza. d)Come si estendono i punti precedenti al caso in cuisia una radice di molteplicitàm2N? Esercizio 4 Per il calcolo dello zero della funzionef(x) =x3 x2 + 8x8si usano 4 diversi metodi di punto sso, descritti rispettivamente dalle seguenti funzioni di iterazione : 1( x) =x3 +x2 7x+ 8,  2( x) =8 x38 x,  3( x) =110 x3 +110 x2 +15 x +45 ,  4( x) =2 x3 x2 +83 x2 2x+8. Nella tabella seguente sono riportate, in ordine sparso, le iterate successive ottenute dai 4 metodi. Giusti- cando adeguatamente la risposta, abbinare le quattro successioni a ciascuno dei quattro metodi.Metodo A Metodo B Metodo C Metodo D 5.000000000000000e-01 5.000000000000000e-01 5.000000000000000e-01 5.000000000000000e-01 9.125000000000001e-01 1.032258064516129e+00 4.625000000000000e+00 1.050000000000000e+00 9.897857421875000e-01 1.000235245684712e+00 -1.019160156250000e+02 9.845143884892086e-01 9.989578145726552e-01 1.000000012299503e+00 1.069697123778202e+06 1.004312677086027e+00 9.998955643403695e-01 1.000000000000000e+00 -1.224001861234915e+18 9.987590594698483e-01 9.999895542527895e-01 1.000000000000000e+00 1.833775789385161e+54 1.000353832012369e+00 9.999989554034564e-01 1.000000000000000e+00 -6.166499545700052e+162 9.998988463640411e-012