Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 12

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 12 Equazioni non lineari (2) Esercizio 1 Si considerino le due equazioni seguenti, nell'intervallo[0:5;2]: f(x) = ln(x) = 0;(1) g(x) = 1x+ ln(x) = 0:(2) a)Dal graco dif ; ge delle loro derivate, discutere le proprietà di convergenza del metodo di Newton per tutti gli zeri, valutando l'opportunità di applicare il metodo di Newton modicato. Noto il valore esatto delle radici, se ne valutino le molteplicità. b)Considerando lo sviluppo di Taylor al second'ordine difegin un intorno dix= 1, trovare gli esponentipeqtali che f(x) = (1x)p F(x);(3) g(x) = (1x)q G(x);(4) conF; Gfunzioni tali cheF(1)6 = 0; G(1)6 = 0. Basandosi su tale risultato, provare che il metodo di Newton per l'approssimazione della radice= 1può avere ordine 2 solo se applicato af. c)Per la funzioneg, provare che il metodo modicato x( k+1) =x( k) 2g (x( k) )g 0 (x( k) ) converge localmente ad= 1con ordine 2. d)Scrivere una funzione Matlabnewton.mche implementi il metodo di Newton ; la funzione riceve in input la guess inizialex0, la tolleranzatoll, il numero massimo di iterazioninmax, la funzionefun, la sua derivatadfune la molteplicità della radicemol. restituisce in output il vettorex_vectdelle iterate e il numeroitdi iterazioni eettivamente eseguite. Si utilizzi un criterio d'arresto basato sul modulo della dierenza tra due iterate successive. La function newton.mdeve comportarsi come il metodo di Newton classico o come il metodo di Newton modicato x( k+1) =x( k) molf (x( k) )f 0 (x( k) ) a seconda del valore della molteplicità passata come argomento. L'intestazione della funzione sarà ad esempio la seguente : [x_vect,it]=newton(x0,nmax,toll,fun,dfun,mol) e)Risolvere separatamente i problemi della ricerca degli zeri dife digtramite il metodo di Newton, utilizzando la funzionenewton.mcon tolleranza10 6 enmax= 100. Si utilizzi per il calcolo di ogni radice un opportuno valorex0. Si riporti su un graco in scala semilogaritmica l'andamento degli errori in funzione del numero di iterazioni per il metodo di Newton standard e per quello modicato.1 Esercizio 2 Si vogliono calcolare le radici 1= 2 e 2= 3 dell'equazionef(x) =x2 5x+ 6. a)A partire dall'espressione dif, proporre due metodi di punto sso per il calcolo di 1e  2. b)Analizzare la consistenza e la convergenza dei due metodi.c)Scrivere unafunctionche implementi il metodo di punto sso, con la seguente rma[xvect, niter] = fixed_point_iterations( phi, x0, tol, kmax ) dove x0è il punto di partenza,kmaxetolil numero massimo di iterazioni e la tolleranza per il criterio d'arresto,phila funzione di iterazione. In uscita, la funzione deve restituire il vettore delle iteratexvecte il numeroniterdi iterazioni eettuate. d)Vericare sperimentalmente le conclusioni tratte al punto b) utilizzando la funzionefixed_point_iterations con tolleranza10 10 e variando il dato inizialex(0) =1.5, 2.5, 2.98, 3.1, per approssimare 1. Ripe- tere considerandox(0) =2.5, 3.5, 2.1, 1.9 per approssimare 2. A partire dai vettori delle iterate, stimare anche l'ordine di convergenza con la funzioneqssstimap, che calcola l'ordinepe il fattore di riduzioneCper una successione convergentex( k) assumendo che valga jx( k+1) x( k) j 'C x( k) x( k1) p : Esercizio 3 Si considerino le seguenti coniche : C1: x2 1 4x2 2= 3; C2: x 1 x2 2= 0 :(5) Le intersezioni traC 1e C 2possono essere calcolate risolvendo il sistema non lineare f(x) = 0con f(x) = x2 1 4x2 2+ 3 x1 x2 2 ;x= x1 x2 : a)Utilizzando la funzioneplotzeros.msi disegninoC 1e C 2. b)Si generalizzi la funzionenewton.mestendendola al caso dei sistemi di equazioni non lineari di dimen- sione arbitraria. L'intestazione della funzione sarà, ad esempio,function [xvect, it] = newtonsys(x0, nmax, toll, fun, J)dove i parametri di ingresso sono analoghi a quelli di newton.m, eccettoJche ora contiene lo Jacobiano della funzione denita infun. Per quanto riguarda gli output, si richiedono la soluzionexvected il numero di iterazioniit. Si garantisca in particolare che la funzionenewtonsys.mgestisca correttamente anche la risoluzione di una singola equazione non lineare. c)Calcolare una delle intersezioni fraC 1e C 2applicando la funzione newtonsys.mal sistemaf(x) = 0 utilizzando come punto inizialex 0= (0 ;0:5)> , toleranza10 15 , numero massimo di iterazioni1000. d)Calcolare le restanti intersezioni traC 1e C 2utilizzando opportuni dati iniziali x 0.2 Esercizio 4 Si consideri l'equazionef(x) =xarctan (ex 1) = 0; che ammette due soluzioni >1e = 0. Si consideri il metodo di punto sso seguente : x( k+1) =(x( k) ); (x) = arctan (ex 1): a)Dimostrare che esiste una costante positivaC