Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 14

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 14 Interpolazione polinomiale (2) Esercizio 1 Si consideri la funzione : f(x) =e x2 sin(x);conx2[a; b]: Si prendano gli estremia=2eb= 3. a)Si calcoli il polinomio interpolante composito lineareH 1f sun= 3sottointervalli di uguale ampiezza H= (ba)=n, si utilizzi la funzioneinterp1, e se ne disegni il graco insieme a quello della funzione f(x). b)Si calcoli l'errore in norma innito "H= max x2[a;b] f(x)H 1f : c)Si calcoli ora il polinomio interpolante composito lineareH 1f sun= 4;8;16;32;64;128sottointervalli di uguale ampiezza. Si valuti l'errore in norma innito" Hin ciascun caso e se ne visualizzi l'andamento in funzione diHsu un graco in scala logaritmica su entrambi gli assi. Vericare gracamente che ci sia accordo con la stima teorica dell'errore : "HH 28 max x2[a;b]j f00 (x)j: Esercizio 2 Si consideri la funzione f(x) =11 + x; x 2I= [0;1]: a)Determinare il numero minimoNdi intervalli uniformi (di lunghezzah= 1=N) tale per cui il polinomio lineare a tratti che interpola la funzioneffornisca un errore massimo inferiore a10 5 . b)Si considerino i puntix 0= 0 ,x 1= 1 =2,x 2= 1 . Trovare i coecientia 0e a 1del polinomio p(x) = a0+ a 1x di grado 1 che interpolafnei puntix i( i= 0;1;2) nel senso dei minimi quadrati (retta di regressione), minimizzando la funzione distanza polinomio-dati seguente : (a 0; a 1) =2 X i=0[ f(x i) p(x i)]2 =2 X i=0[ f(x i) a 0 a 1x i]2 : Sugg. :imporre le condizioni di minimo@ @ a 0= @ @ a 1= 0 per calcolarea 0; a 1.1 Esercizio 3 Sono state svolte delle prove a trazione su una nuova lega per determinare la relazione tra losforzo(forza per unità di supercie) e ladeformazione"(allungamento per unità di lunghezza). I risultati delle prove sono riportati nella seguente tabella : [1000kg F= cm2 ]0.1800 0.3000 0.5000 0.6000 0.7200 0.7500 0.8000 0.9000 1.0000 " [cm/cm]0.0005 0.0010 0.0013 0.0015 0.0020 0.0045 0.0060 0.0070 0.0085 A partire da questi dati si vuole stimare la deformazione"della lega in corrispondenza dei valori dei sforzo per cui non si ha a disposizione un dato sperimentale. A tal ne si utilizzano opportune tecniche di interpolazione. Le funzioni interpolanti da utilizzare sono le seguenti :interpolazione polinomiale di Lagrange (polyfitepolyval) ; interpolazione polinomiale composita lineare (interp1) ; approssimazione nel senso dei minimi quadrati di grado1,2e4(polyfitepolyval) ; spline cubica naturale interpolante (cubicspline) ; spline cubica interpolante con condizioni di chiusura not-a-knot (spline). In particolare si richiede di a)rappresentare gracamente le singole funzioni interpolanti (ed approssimanti) a confronto con i datisperimentali ; b)confrontare in un unico graco i dati sperimentali con tutte le interpolanti (per l'approssimante aiminimi quadrati si consideri solo il polinomio di grado4) ; c)valutare, per ogni interpolante ed approssimante, la deformazione"in corrispondenza di= 400kg F= cm2 e= 650kg F= cm2 ; si commentino i risultati ottenuti. Esercizio 4 Si consideri un generico strumento di misurazione digitale che campioni un segnale espresso dalla funzione g(x) = 10x2 perNvalori dixnell'intervalloI= [0;1]. Le misure rilevate dallo strumento sono aette da rumore casuale e pertanto si possono rappresentare mediante una funzionef(x) =g(x) +"(x), dovej"(x)j 1. Tale rumore può essere espresso in Matlab dall'espressione2 *rand(size(x))-1 , che restituisce un vettore di valori pseudo-casuali nell'intervallo[1;1], e dunque consideriamo le seguenti denizioni pergef:g = @(x) 10 *x.^2; %Segnalefisicof = @(x) g(x) + 2 *rand(size(x))-1; %RilevazionedellostrumentoSi noti che la funzione frestituisce un vettore diverso ogni volta che viene valutata (anche sexcontiene gli stessi valori). a)Usando i comandi Matlabpolyfitepolyval, calcolare il polinomio 9f (x)di gradon= 9in- terpolantef(x)inn+ 1nodi equispaziati suI. Usando gli stessi nodi, si calcoli il polinomioe f2( x) di gradom= 2che approssimaf(x)nel senso dei minimi quadrati. Si traccino, dunque, in un'unica gura i graci dif ; g; 9f ;e f2. Quale polinomio approssima meglio il segnale originale ? b)Usare i polinomi 9f (x)ee f2per estrapolare il valore di g(x)inx= 2. Si discutano i risultati ottenuti. c)A causa della presenza di rumore, misurazioni ripetute forniscono tipicamente segnalif(x)diversi. Questa caratteristica è già inclusa nell'implementazione Matlab considerata ; infatti, la funzionerand restituisce valori diversi ad ogni chiamata. Pertanto, è possibile analizzare la stabilità delle approssi- mazioni polinomiali 9f ee f2valutando le variazioni dei risultati rispetto alle variazioni delle coppie f(x i; f (x i) g9 i=0fornite come input. Cosa si può osservare, ripetendo i punti precedenti ? Si discutano i risultati ottenuti.2