Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/5/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Tichue un gioco di carte per quattro giocatori. Si gioca con un mazzo da 56 carte contenente, oltre alle classiche 52 carte, 4 carte speciali: Drago, Fenice, Piccione e Cane. Ogni giocatore riceve inizialmente 8 carte e, sulla base di queste, puo decidere se dichiarare \Grande Tichu", raddoppiando la posta del gioco.Gabrio e solito dichiarare \Grande Tichu" quando fra le sue 8 carte ci sono il Drago, la Fenice e almeno 2 Assi. Qual e la percentuale di mani in cui Gabrio dichiara \Grande Tichu"? (a) Introdurre lo spazio campionario con cui si intende risolvere il problema. Tale sceltadeve permettere di supporre equiprobabili gli esiti elementari!2 , in caso di gioco non truccato. (b) Identi care il sottoinsieme diAdi corrispondente all'evento di interesse. (c) Calcolare la cardinalita di . (d) Calcolare la cardinalita diA. (e) Calcolare in ne la percentuale richiesta. Soluzione. (a) = spazio dei sottoinsiemi!, non ordinati, di 8 carte! idel mazzo da 56. Ogni esito elementare rappresenta una possibile mano di Gabrio. Se le carte sono distribuite pescando ogni carta con equiprobabilita fra le rimanenti, allora gli esiti!di riuslatno equiprobabili. (b) A=n !=f! 1; : : : ; ! 4; A; A; F; D go [n !=f! 1; ! 2; ! 3; A; A; A; F; D go [n !=f! 1; ! 2; A; A; A; A; F; D go ; dove le carte! idi ogni possibile mano devono essere diverse fra di loro e diverse da A,F,D. (c) # = 56 8! = 1: 420: 494: 075. 1 (d) # A= 4 2! 50 4! + 4 3! 50 3! + 50 2! = 1: 461: 425 (e)P(A) = #A=# = 0:0010 quindi 0:10%. 2 2. Viene lanciato un icosaedro, cioe un dado a 20 facce, che si suppone equilibrato. Il risultato e un successo se si ottiene almeno 18. 1. Quanti lanci ci vogliono per avere almeno un successo con probabilita di almeno 1/2? 2. Se nei primi 10 lanci avete ottenuto almeno un successo, con quale probabilita l'ultimolancio e stato un successo? 3. Se nei primi 10 lanci avete ottenuto esattamente un successo, con quale probabilital'ultimo lancio e stato un successo? 4. Quanto vale la probabilita di avere almeno un successo su in niti lanci? 5. Quanto vale la probabilita di avere solo insuccessi a partire dal quinto lancio? Soluzione (sintetica).Siamo in presenza di uno schema di Bernoulli con probabilita di successop= 3=20 = 0:15. SiaX kla variabile indicatrice di successo alla prova k-esima e siaX=X 1+ : : :+X n B(n; p). 1. ConP(X >0) = 1P(X= 0) = 1(1p)n = 1(0:85)n 1=2 se risultan5. 2. Conn= 10, P(X 10= 1 jX >0) =P (X 10= 1 ; X >0)P (X >0)= P (X 10= 1)P (X >0)= p1 (1p)n= 0 :1868: 3. Conn= 10, P(X 10= 1 jX= 1) =P (X 10= 1 ; X= 1)P (X= 1)= (1 p)9 p10(1 p)9 p= 110 : 4. SiaAl'evento indicato. AlloraAc =fsolo insuccessig B n:= fsolo insuccessi nei priminlancige poicheP(Ac )P(B n) = (1 p)n per ogninsi haP(Ac ) = 0 e P(A) = 1. 5. SiaCl'evento indicato. AlloraCD n:= fninsuccessi consecutivi a partire dal quinto lancioge poicheP(C)P(D n) = (1 p)n per ogninsi haP(C) = 0. 3 3. Aldo possiede un vecchio cronometro che, una volta avviato, si arresta dopo un tempo casualeX, che si puo considerare una variabile aleatoria con legge esponenziale di media 10 minuti. 1. Dopo aver fatto partire il cronometro Aldo evita di guardarlo per 5 minuti al terminedei quali lo osserva e annota l'ora indicataY. Trovare la legge diY. 2.Ye una variabile aleatoria discreta? E' assolutamente continua? 3. Aldo gioca contro Bruno nel modo seguente: se al momento dell'arresto del cronometroil numero di minuti interamente trascorsi e un numero pari allora vince Aldo (ad esempio seX= 2:5 oppureX= 0:15); se invece e dispari allora vince Bruno (ad esempio seX= 5 oppureX= 7:4). Calcolare la probabilita di vittoria per Aldo. Soluzione. 1.Y= min(X;5). Si puo calcolare la funzione di ripartizioneFdiYosservando che se t5 si haP(Y > t) = 0 da cuiF(t) =P(Yt) = 1, mentre se 0t t) =P(X > t) =e 0:1t da cuiF(t) =P(Yt) = 1e 0:1t . In neF(t) = 0 set